Produit scalaire dans l'espace : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (un scalaire), pas un vecteur : u⋅v=∥u∥∥v∥cos(u,v).4
Il est symétrique et bilinéaire ; il prolonge à l'espace ce que tu connais du plan.3
Dans une base orthonormée, on le calcule avec les coordonnées : xx′+yy′+zz′.3
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.3
Il sert à démontrer une orthogonalité et à calculer un angle.3
Ce qu'est le produit scalaire
Le produit scalaire est une opération de plus sur les vecteurs : elle prend deux vecteurs et fournit en retour un scalaire, autrement dit un réel.4 En Terminale, tu l'utilises dans l'espace comme tu l'as fait dans le plan : cette extension donne un outil efficace pour relier calcul et géométrie, notamment autour de l'orthogonalité.3
Calculer avec les coordonnées
Le programme prévoit des expressions du produit scalaire à partir des coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée.3 C'est l'outil de calcul le plus utilisé.
Orthogonalité et angles
Les pièges et réflexes à garder
Questions flash
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Le produit scalaire associe à deux vecteurs un scalaire, c'est-à-dire un nombre réel.4 Le piège « un vecteur » vient de l'addition de vecteurs, qui, elle, donne un vecteur.
On calcule 2×1+1×1+(−3)×1=0. Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux.3 Répondre « Faux » vient souvent d'un oubli du signe de −3.
2×4+(−1)×5+3×(−2)=8−5−6=−3. L'erreur classique est d'oublier le signe de −1×5 ou de 3×(−2).
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je peux utiliser la formule avec les coordonnées ?
Il faut que les coordonnées soient données dans une base orthonormée (ou un repère orthonormé).3 Si l'énoncé ne le précise pas, la formule xx′+yy′+zz′ n'est pas justifiée. Dans ce cas, utilise la définition avec les normes et le cosinus.4
À quoi sert le produit scalaire dans l'espace ?
Il sert à démontrer une orthogonalité et à calculer un angle.3 C'est ce qui est demandé dans les problèmes de géométrie dans l'espace : droites orthogonales, angle entre deux directions.
Que signifie un produit scalaire négatif ?
Comme u⋅v=∥u∥∥v∥cosθ avec des normes positives,4 le signe du produit scalaire est celui du cosinus. Un produit scalaire négatif correspond donc à un cosinus négatif, soit un angle obtus.