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Équations différentielles y' = ay + f : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'équation $y' = ay + f$ a pour solutions $y = y_p + Ce^{ax}$ , où $y_p$ est une solution particulière et $C$ un réel quelconque.
Les solutions de l'équation sans second membre $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ ; la différence de deux solutions de $y' = ay + f$ en est une.
Pour trouver $y_p$ , on essaie une forme proche de $f$ : constante, polynôme du même degré, $m\,e^{kx}$ (avec $x\,e^{kx}$ si $k = a$ ).
Quand le second membre est une somme, on additionne les solutions particulières de chaque morceau.
La condition initiale $y(x_0) = y_0$ fixe $C$ : on la calcule en dernier, une fois $y_p$ ajoutée à $Ce^{ax}$ .

Où se placent ces équations dans le programme

Tu connais déjà les équations de la forme $y' = ay$ et $y' = ay + b$ , où $b$ est un nombre. Dans cette page, on franchit un pas : le terme qui s'ajoute n'est plus forcément constant, c'est une fonction $f$ de la variable $x$ . On écrit alors $y' = ay + f$ .

Le programme de spécialité présente cette partie comme l'introduction de la notion d'équation différentielle sur des cas simples, après la résolution de $y' = f$ , qui revient à chercher une primitive.¹ Pour $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ , il s'agit de déterminer une solution particulière.¹ C'est exactement l'idée qu'on généralise ici : une solution particulière, plus toutes les solutions de l'équation sans second membre.

Les solutions de y' = ay

Avant de traiter le second membre, il faut maîtriser l'équation $(E_0)$ , car c'est elle qui fournit la « partie libre » de toutes les solutions de $(E)$ .

Démonstration · Pourquoi il n'y a pas d'autres solutions

Les fonctions $Ce^{ax}$ conviennent. Si $y(x) = Ce^{ax}$ , alors $y'(x) = aCe^{ax} = a\,y(x)$ .

Il n'y en a pas d'autres. Soit $y$ une solution de $(E_0)$ . Pose $g(x) = y(x)\,e^{-ax}$ . Cette fonction est dérivable et

$g'(x) = y'(x)e^{-ax} - a\,y(x)e^{-ax} = \bigl(y'(x) - a\,y(x)\bigr)e^{-ax} = 0.$

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : $g = C$ . Donc $y(x) = Ce^{ax}$ .

Le principe : une solution particulière suffit

Voici l'idée centrale du chapitre. Les équations linéaires d'ordre un avec second membre se ramènent à une seule recherche : trouver une solution, n'importe laquelle. Une fois qu'on la tient, les autres s'en déduisent. Dès que le second membre n'est pas la fonction nulle, la connaissance d'un seul exemple de solution ouvre l'accès à toutes les autres.⁵

Démonstration · Démonstration par différence

Soit $y$ une fonction dérivable sur $I$ . Calculons ce que vaut $(y - y_p)'$ :

$(y - y_p)' = y' - y_p'.$

Si $y$ est solution de $(E)$ , alors $y' = ay + f$ . Comme $y_p$ est aussi solution, $y_p' = ay_p + f$ . En soustrayant,

$(y - y_p)' = (ay + f) - (ay_p + f) = a\,(y - y_p).$

Ainsi $y - y_p$ est solution de $(E_0)$ , donc $y - y_p = Ce^{ax}$ pour un réel $C$ .

Réciproquement, si $y = y_p + Ce^{ax}$ , alors $y' = y_p' + aCe^{ax} = ay_p + f + aCe^{ax} = a\,y + f$ : c'est bien une solution.

Comment trouver une solution particulière

Il n'existe pas de recette unique qui marche pour tous les seconds membres. Les sources notent d'ailleurs que la résolution explicite des équations différentielles avec les fonctions usuelles est rarement possible dans le cas général.⁶ Dans les exercices de Terminale, le second membre est choisi pour qu'une forme guidée fonctionne. L'idée est de chercher $y_p$ parmi des fonctions qui ressemblent à $f$ , avec des coefficients inconnus qu'on détermine en reportant dans l'équation.

Quelle forme essayer pour la solution particulière ?
Second membre f	Forme essayée pour y_p	Remarque
Constante b	Constante m	Si a est non nul, m = -b/a
Polynôme de degré n	Polynôme de degré n	Si a est non nul
e^(kx) avec k différent de a	m e^(kx)	m = 1/(k - a)
e^(ax)	m x e^(ax)	m = 1
Somme f1 + f2	Somme y1 + y2	Superposition
Fonction quelconque	Changement y = z e^(ax)	z' = f e^(-ax)

Quelle forme essayer pour la solution particulière ? · Ces formes sont des points de départ : on identifie ensuite les coefficients.

ExempleSecond membre polynomial

Résolvons $y' = 2y + 3x - 1$ .

Forme essayée. Le second membre est un polynôme de degré 1, donc on cherche $y_p(x) = px + q$ . Alors $y_p' = p$ .

Report dans l'équation.

$p = 2(px + q) + 3x - 1 = (2p + 3)x + (2q - 1).$

Identification. Devant $x$ : $0 = 2p + 3$ , donc $p = -\dfrac{3}{2}$ . Termes constants : $p = 2q - 1$ , donc $q = \dfrac{p + 1}{2} = -\dfrac{1}{4}$ .

Vérification. $y_p(x) = -\dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{4}$ donne $y_p' = -\dfrac{3}{2}$ et $2y_p + 3x - 1 = -3x - \dfrac{1}{2} + 3x - 1 = -\dfrac{3}{2}$ . Les deux membres coïncident.

Conclusion. Les solutions sont

$y(x) = Ce^{2x} - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{4},\qquad C \in \mathbb{R}.$

ExempleSecond membre exponentiel, cas particulier $k = a$

Résolvons $y' = 3y + e^{3x}$ . L'exposant du second membre est le même que celui des solutions de $(E_0)$ .

Si l'on essaie $m\,e^{3x}$ , on obtient $3m\,e^{3x} = 3m\,e^{3x} + e^{3x}$ , soit $0 = 1$ : impossible. La forme essayée est déjà solution de l'équation sans second membre, elle ne peut pas « produire » un second membre.

On essaie alors $y_p(x) = m\,x\,e^{3x}$ . Avec la dérivée d'un produit : $y_p' = m\,e^{3x} + 3m\,x\,e^{3x}$ . L'équation donne

$m\,e^{3x} + 3m\,x\,e^{3x} = 3m\,x\,e^{3x} + e^{3x} \iff m = 1.$

Les solutions sont $y(x) = (x + C)\,e^{3x}$ .

Quand la forme ne se devine pas : la variation de la constante

Que faire si le second membre est une fonction pour laquelle aucune forme n'est évidente ? Il existe une méthode générale, qui ramène le problème à un calcul de primitive. Les sources la décrivent comme un procédé systématique faisant appel au calcul de primitives.⁵ La simplicité de l'équation $y' = b$ , qui n'est qu'une recherche de primitive, en est le point de départ.⁶

Résoudre avec une condition initiale

Une équation différentielle seule a une infinité de solutions. Pour en choisir une, on impose la valeur de la fonction en un point : c'est la condition initiale, notée $y(x_0) = y_0$ . Cela correspond à une situation concrète : on connaît l'état d'un système à un instant donné, et on veut prévoir la suite.

Démonstration · Calcul de la constante

On veut $y_p(x_0) + C\,e^{a x_0} = y_0$ . Comme $e^{a x_0} \neq 0$ , cette équation d'inconnue $C$ a une unique solution : $C = (y_0 - y_p(x_0))\,e^{-a x_0}$ .

Repérer a et fÉcrire l'équation sous la forme y' = ay + f.
Résoudre y' = ayLes solutions sont les fonctions C e^(ax).
Trouver y_pEssayer une forme adaptée à f, identifier, vérifier.
AdditionnerLes solutions sont y_p + C e^(ax), C réel.
Fixer CUtiliser y(x0) = y0 et calculer C.

Résoudre y' = ay + f avec une condition initiale · La constante C se détermine toujours en dernier.

Erreurs fréquentes et lien avec l'examen

Attention, erreur fréquenteLes erreurs que l'on voit le plus souvent

Oublier le second membre en dérivant : pour $y_p = px + q$ dans $y' = 2y + 3x - 1$ , ne pas remplacer $y'$ par $p$ mais par $2y + 3x - 1$ évalué en $y_p$ est une confusion. On calcule $y_p'$ à gauche et $a\,y_p + f$ à droite, puis on égalise.
Se tromper de signe sur $a$ : dans $y' = -y + e^{2x}$ , le coefficient est $a = -1$ , pas $1$ . Les solutions de $(E_0)$ sont $Ce^{-x}$ .
Ajouter $Ce^{ax}$ à la mauvaise fonction : la structure est $y_p + Ce^{ax}$ , jamais $y_p\times Ce^{ax}$ .
Écrire $y_p$ avec une constante $C$ : une solution particulière ne contient pas de constante libre ; on lui donne des valeurs précises.
Ne pas vérifier : le contrôle $y_p' - a\,y_p = f$ prend trente secondes et évite de perdre des points.

Un dernier point utile avant l'examen : les textes officiels précisent parfois les contenus exclus de l'épreuve. Le texte d'adaptation de l'épreuve de spécialité mathématiques de terminale, à partir de la session 2022, indique que la section « primitives, équations différentielles » reste mobilisable, à l'exclusion de l'équation $y' = ay$ et de l'équation $y' = ay + b$ .⁴ On retrouve cette même exclusion dans le programme d'examen des épreuves terminales de spécialité, pour la partie Analyse.² Ces adaptations dépendent de la session : consulte le texte qui s'applique à ton année, auprès de ton professeur, avant de décider de ce que tu mets de côté.

Exercices corrigés

Exercice 1 Équation avec second membre affine

★☆☆Environ 10 min

On considère l'équation différentielle $(E)\ y' = 3y + 6x$ sur $\mathbb{R}$ .

Détermine une solution particulière de la forme $y_p(x) = px + q$ .
Donne toutes les solutions de $(E)$ .
Détermine la solution vérifiant $y(0) = 1$ , puis donne la valeur de la constante $C$ associée.

Indice 1

Remplace $y$ par $px + q$ dans l'équation et identifie les coefficients devant $x$ et les termes constants.

Indice 2

Les solutions de $y' = 3y$ sont les fonctions $Ce^{3x}$ ; ajoute-les à $y_p$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $y_p = px + q$ , on a $y_p' = p$ . L'équation donne $p = 3(px + q) + 6x = (3p + 6)x + 3q$ .
Devant $x$ : $0 = 3p + 6$ , donc $p = -2$ . Termes constants : $p = 3q$ , donc $q = -\dfrac{2}{3}$ . Ainsi $y_p(x) = -2x - \dfrac{2}{3}$ .
Vérification : $y_p' = -2$ et $3y_p + 6x = -6x - 2 + 6x = -2$ . Les deux membres sont égaux.
Les solutions de $y' = 3y$ sont $Ce^{3x}$ , donc les solutions de $(E)$ sont $y(x) = Ce^{3x} - 2x - \dfrac{2}{3}$ .
Condition initiale : $y(0) = C - \dfrac{2}{3} = 1$ , donc $C = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$ .

La solution cherchée est $y(x) = \dfrac{5}{3}e^{3x} - 2x - \dfrac{2}{3}$ , avec $C = \dfrac{5}{3}$ .

Exercice 2 Le cas où l'exposant est le même

★★☆Environ 12 min

On considère l'équation $(E)\ y' = -y + e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Montre que la fonction $x \mapsto m\,e^{-x}$ ne peut être solution pour aucune valeur de $m$ .
Montre que $y_p(x) = x\,e^{-x}$ est solution de $(E)$ .
Donne toutes les solutions, puis détermine celle qui vérifie $y(0) = 2$ .
Calcule la valeur de cette solution en $x = 1$ .

Indice 1

Pour la première question, calcule la dérivée de $m\,e^{-x}$ et compare avec $-m\,e^{-x} + e^{-x}$ .

Indice 2

Dérive $x\,e^{-x}$ avec la formule du produit.

Voir la correction pas à pas

Pour $y = m\,e^{-x}$ , on a $y' = -m\,e^{-x}$ . L'équation exigerait $-m\,e^{-x} = -m\,e^{-x} + e^{-x}$ , c'est-à-dire $0 = e^{-x}$ , impossible puisque $e^{-x} > 0$ .
Pour $y_p = x\,e^{-x}$ : $y_p' = e^{-x} - x\,e^{-x}$ . D'autre part $-y_p + e^{-x} = -x\,e^{-x} + e^{-x}$ . Les deux expressions sont égales, donc $y_p$ est solution.
Les solutions de $y' = -y$ sont $Ce^{-x}$ , donc celles de $(E)$ sont $y(x) = (x + C)\,e^{-x}$ .
Condition initiale : $y(0) = C = 2$ . La solution est $y(x) = (x + 2)\,e^{-x}$ .
En $x = 1$ : $y(1) = 3e^{-1} \approx 1{,}1036$ .

La solution vérifiant $y(0) = 2$ est $y(x) = (x + 2)\,e^{-x}$ et $y(1) = 3e^{-1} \approx 1{,}104$ .

Exercice 3 Un second membre exponentiel

★★☆Environ 12 min

On considère l'équation $(E)\ y' = 2y + e^{x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Cherche une solution particulière de la forme $m\,e^{x}$ .
Donne toutes les solutions de $(E)$ .
Détermine la solution $y$ telle que $y(0) = 0$ .
Calcule $y(\ln 2)$ , sachant que $e^{\ln 2} = 2$ .

Indice 1

Si $y_p = m\,e^{x}$ , alors $y_p' = m\,e^{x}$ : écris l'équation et simplifie par $e^{x}$ .

Indice 2

Pour la dernière question, remarque que $e^{2\ln 2} = (e^{\ln 2})^2$ .

Voir la correction pas à pas

Avec $y_p = m\,e^{x}$ , on a $y_p' = m\,e^{x}$ . L'équation donne $m\,e^{x} = 2m\,e^{x} + e^{x}$ , donc $m = 2m + 1$ après simplification par $e^{x}$ , soit $m = -1$ . Ainsi $y_p = -e^{x}$ .
Vérification : $y_p' = -e^{x}$ et $2y_p + e^{x} = -2e^{x} + e^{x} = -e^{x}$ .
Les solutions de $y' = 2y$ sont $Ce^{2x}$ , donc celles de $(E)$ sont $y(x) = Ce^{2x} - e^{x}$ .
Condition initiale : $y(0) = C - 1 = 0$ , donc $C = 1$ et $y(x) = e^{2x} - e^{x}$ .
En $x = \ln 2$ : $e^{2\ln 2} = 2^2 = 4$ et $e^{\ln 2} = 2$ , donc $y(\ln 2) = 4 - 2 = 2$ .

La solution est $y(x) = e^{2x} - e^{x}$ et $y(\ln 2) = 2$ .

Exercice 4 Variation de la constante

★★★Environ 15 min

On considère l'équation $(E)\ y' = y + x\,e^{x}$ sur $\mathbb{R}$ .

On pose $y(x) = z(x)\,e^{x}$ . Montre que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z'(x) = x$ .
En déduire toutes les solutions de $(E)$ .
Détermine la solution vérifiant $y(0) = 3$ et calcule $y(2)$ .

Indice 1

Dérive $z\,e^{x}$ avec la formule du produit puis compare avec $z\,e^{x} + x\,e^{x}$ .

Indice 2

Une primitive de $x$ est $\dfrac{x^2}{2}$ ; n'oublie pas la constante.

Voir la correction pas à pas

Si $y = z\,e^{x}$ , alors $y' = z'e^{x} + z\,e^{x}$ . D'autre part $y + x\,e^{x} = z\,e^{x} + x\,e^{x}$ .
L'égalité $y' = y + x\,e^{x}$ équivaut à $z'e^{x} = x\,e^{x}$ , donc à $z' = x$ puisque $e^{x} \neq 0$ .
Les primitives de $x$ sont $z(x) = \dfrac{x^2}{2} + C$ . Les solutions de $(E)$ sont donc $y(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} + C\right)e^{x}$ .
Condition initiale : $y(0) = C = 3$ , donc $y(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} + 3\right)e^{x}$ .
En $x = 2$ : $y(2) = (2 + 3)\,e^{2} = 5e^{2} \approx 36{,}95$ .

La solution est $y(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} + 3\right)e^{x}$ et $y(2) = 5e^{2} \approx 36{,}95$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi une seule solution particulière suffit-elle ?

Parce que la différence de deux solutions de $y' = ay + f$ est solution de $y' = ay$ , et que l'on connaît toutes les solutions de cette dernière équation : les $Ce^{ax}$ . Dès qu'on possède une solution de $(E)$ , toutes les autres s'obtiennent en lui ajoutant un $Ce^{ax}$ . Le principe est standard pour les équations linéaires d'ordre un.⁵ Peu importe laquelle tu prends : si tu en choisis une autre, la constante $C$ sera décalée mais l'ensemble des solutions sera identique.

Comment savoir quelle forme choisir pour la solution particulière ?

On regarde le second membre $f$ : constante, polynôme, exponentielle. On essaie une fonction du même type, avec des coefficients inconnus, puis on les identifie. Si $f = e^{kx}$ avec $k \neq a$ , essaie $m\,e^{kx}$ ; si $k = a$ , essaie $m\,x\,e^{ax}$ . Si aucune forme ne s'impose, la méthode du changement de fonction $y = z\,e^{ax}$ ramène le problème à un calcul de primitive.⁵ En pratique, l'énoncé t'oriente presque toujours vers la bonne forme.

Quelle différence entre y' = ay + b et y' = ay + f ?

Dans $y' = ay + b$ , le terme ajouté est un nombre constant. Dans $y' = ay + f$ , c'est une fonction de $x$ . La constante est un cas particulier de fonction, donc ce chapitre englobe le précédent. Pour $a \neq 0$ et $f = b$ , la solution constante $-\dfrac{b}{a}$ joue le rôle de solution particulière.¹

Faut-il vérifier la solution particulière ?

Oui, et c'est rapide : on calcule $y_p'$ , puis $a\,y_p + f$ , et on compare. Cette vérification détecte presque toutes les erreurs de signe ou d'identification des coefficients. Elle n'est pas toujours demandée, mais elle te donne la certitude de ne pas avoir transformé une erreur de calcul en une fausse famille de solutions.

Cette notion tombe-t-elle au bac ?

Elle fait partie de la section « primitives, équations différentielles » du programme de spécialité.¹ Cependant, des textes officiels d'adaptation de l'épreuve excluent parfois $y' = ay$ et $y' = ay + b$ pour une session donnée.⁴² Les textes évoluant, vérifie avec ton professeur ce qui s'applique à ta session. Dans tous les cas, la démarche « solution particulière + solution de l'équation sans second membre » est un bon réflexe, et les calculs de primitives et de dérivées de produits qu'elle mobilise servent partout ailleurs.

Sources

Document Éduscol - Spécialité mathématiques terminale (PDF officiel), Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme d'examen des épreuves terminales - Enseignements de spécialité (session 2023+), Bulletin Officiel - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Projet d'aménagement du programme de mathématiques de terminale générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Adaptation de l'épreuve de spécialité mathématiques - Classe de terminale (session 2022+), Bulletin Officiel - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation différentielle linéaire d'ordre un, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation différentielle linéaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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