Équations différentielles y' = ay + f : exercices de Tle

On dérive : $g'(x) = \alpha$.

On remplace dans l'équation : $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$, soit $\alpha = (2\alpha + 4)x + 2\beta$.

On identifie les termes en $x$ : $2\alpha + 4 = 0$, donc $\alpha = -2$.

On identifie les termes constants : $\alpha = 2\beta$, donc $\beta = -1$.

Une solution particulière est $g(x) = -2x - 1$.

Les solutions de $y' = 2y$ sont les $Ce^{2x}$, donc les solutions de $(E)$ sont $y(x) = Ce^{2x} - 2x - 1$, avec $C$ réel.

On dérive : $g'(x) = 2\lambda e^{2x}$.

On remplace : $2\lambda e^{2x} = 3\lambda e^{2x} + e^{2x}$.

On divise par $e^{2x}$, non nul : $2\lambda = 3\lambda + 1$, donc $\lambda = -1$.

La solution particulière est $g(x) = -e^{2x}$.

Les solutions sont $y(x) = Ce^{3x} - e^{2x}$, avec $C$ réel.

Avec $g(x) = \alpha x + \beta$, on a $g'(x) = \alpha$ et l'équation donne $\alpha = \alpha x + \beta + 2x$.

Termes en $x$ : $\alpha + 2 = 0$, donc $\alpha = -2$. Termes constants : $\alpha = \beta$, donc $\beta = -2$.

Solution particulière : $g(x) = -2x - 2$.

Solution générale : $y(x) = Ce^{x} - 2x - 2$.

Condition initiale : $y(0) = C - 2 = 1$, donc $C = 3$.

Ainsi $y(x) = 3e^{x} - 2x - 2$, et $y(1) = 3e - 4 \approx 4{,}1548$.

Avec $g(x) = \alpha x + \beta$ : $\alpha = -2(\alpha x + \beta) + 4x = (-2\alpha + 4)x - 2\beta$.

Termes en $x$ : $-2\alpha + 4 = 0$, donc $\alpha = 2$. Termes constants : $\alpha = -2\beta$, donc $\beta = -1$.

Solution particulière : $g(x) = 2x - 1$.

Solution générale : $y(x) = Ce^{-2x} + 2x - 1$.

$y(0) = C - 1 = 3$, donc $C = 4$ et $y(x) = 4e^{-2x} + 2x - 1$.

$y(1) = 4e^{-2} + 1 \approx 1{,}5413$.

$y(x) - g(x) = 4e^{-2x}$, qui tend vers 0 : la courbe de $y$ se rapproche de la droite d'équation $y = 2x - 1$.

Pour $g_1 = c$ : $0 = 3c + 6$, donc $c = -2$.

Pour $g_2 = \lambda e^{x}$ : $\lambda e^{x} = 3\lambda e^{x} + 4e^{x}$, donc $\lambda = 3\lambda + 4$ et $\lambda = -2$.

Par superposition ⁵, $g = g_1 + g_2$, soit $g(x) = -2 - 2e^{x}$.

Alors $g(0) = -2 - 2 = -4$.

Vérification : $g'(x) = -2e^{x}$ et $3g(x) + 6 + 4e^{x} = -6 - 6e^{x} + 6 + 4e^{x} = -2e^{x}$.

On dérive : $g'(x) = -A\sin x + B\cos x$.

On remplace : $-A\sin x + B\cos x = 2A\cos x + 2B\sin x + \cos x$.

Coefficients de $\cos x$ : $B = 2A + 1$. Coefficients de $\sin x$ : $-A = 2B$.

De la seconde équation, $A = -2B$. En remplaçant : $B = -4B + 1$, donc $B = \frac{1}{5}$.

Alors $A = -\frac{2}{5}$.

Solution particulière : $g(x) = -\frac{2}{5}\cos x + \frac{1}{5}\sin x$, et solutions générales $y(x) = Ce^{2x} - \frac{2}{5}\cos x + \frac{1}{5}\sin x$.

Si $g(x) = \lambda e^{x}$, alors $g'(x) = \lambda e^{x}$ et l'équation donne $\lambda e^{x} = \lambda e^{x} + e^{x}$, soit $0 = e^{x}$ : impossible, car $e^{x}$ est strictement positif.

Pour $h(x) = xe^{x}$ : $h'(x) = e^{x} + xe^{x}$.

Or $h(x) + e^{x} = xe^{x} + e^{x}$, donc $h' = h + e^{x}$ : $h$ est bien solution particulière.

Solution générale : $y(x) = Ce^{x} + xe^{x} = (x + C)e^{x}$.

$y(0) = C = 2$, donc $y(x) = (x + 2)e^{x}$.

$y(2) = 4e^{2} \approx 29{,}5562$.