Équations différentielles y' = ay + f : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation y′=ay+f a un second membre f : une fonction donnée, pas forcément constante.
Pour connaître toutes les solutions, il suffit d'en trouver une (la solution particulière) 5.
Les solutions sont alors y=yp+Ceax, où Ceax décrit les solutions de y′=ay.
Si f=f1+f2, on additionne une solution particulière pour f1 et une pour f25.
La constante C se fixe avec une condition initiale, en dernier.
L'essentiel à retenir
Pourquoi une seule solution suffit
Démonstration · Différence de deux solutions
Soit yp une solution de y′=ay+f et y une autre fonction dérivable. Calculons la dérivée de la différence :
(y−yp)′=y′−yp′.
Si y est solution, on remplace y′ et yp′ :
(y−yp)′=(ay+f)−(ayp+f)=a(y−yp).
La différence y−yp vérifie donc z′=az. Réciproquement, si z′=az, alors yp+z vérifie (yp+z)′=ayp+f+az=a(yp+z)+f. Le second membre f disparaît dans la soustraction : c'est ce qui permet de ramener le problème à y′=ay. Cette idée est celle d'une solution particulière plus les solutions de l'équation homogène 5.
Méthode de résolution
RepérerIdentifier a et le second membre f
Sans second membreRésoudre y' = ay : y = Ce^(ax)
Solution particulièreChercher y_p de même type que f
ConclureÉcrire y = y_p + Ce^(ax)
Condition initialeDéterminer C à la fin
Résoudre y' = ay + f
Exemple rédigé
Pièges à éviter
Questions flash
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Pour une constante k, y′=0, donc 0=3k−6 et k=2. La réponse −2 vient d'une erreur de signe en isolant k. La valeur 6 est la constante du second membre, pas la solution, et 0 donne 0=−6, ce qui est faux.
Vrai : en soustrayant, (y1−y2)′=ay1+f−ay2−f=a(y1−y2). Le second membre f s'annule. Croire que y1−y2 vérifie encore l'équation avec f est l'erreur tentante, mais f disparaît dans la différence 5.
La condition y(0)=C+2=5 donne C=3. Alors y(ln3)=3e−ln3+2=3×31+2=3. Si tu oublies la solution particulière 2 en fin de calcul, tu trouves 1, ce qui est faux.
La linéarité permet d'additionner les solutions particulières 5. Multiplier les seconds membres n'a aucun sens ici, et ignorer f2 donnerait une fonction qui ne vérifie pas l'équation complète.
Les questions qu'on se pose
Comment trouver la forme d'une solution particulière ?
Cherche une fonction de même nature que le second membre : une constante si f est constante, un polynôme de même degré si f est un polynôme. Remplace-la dans l'équation et identifie les coefficients, comme dans l'exemple de la fiche. Si le programme de ta session ou l'énoncé en donne une, vérifie-la simplement en la substituant.
Pourquoi y a-t-il toujours une constante $C$ dans la réponse ?
Parce que l'équation sans second membre admet une infinité de solutions Ceax, une pour chaque réel C. Seule une condition initiale, comme y(0)=3, permet d'en choisir une. Sans cette condition, on donne toutes les solutions 5.
Que faire si l'énoncé donne la solution particulière ?
Tu n'as pas besoin de la chercher : vérifie-la en la remplaçant dans l'équation si on te le demande, puis utilise la structure y=yp+Ceax et termine avec la condition initiale.