Équations différentielles y' = ay + f : quiz de Terminale

Quiz

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1. Pour résoudre $y' = ay + f$ avec $f$ non nulle, que suffit-il de trouver en plus des solutions de $y' = ay$ ?

   Une solution particulière de l'équation complèteUne primitive de $a$La dérivée seconde de $f$Deux solutions particulières indépendantes
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2. Une solution particulière $y_p$ de $y' = ay + f$ est trouvée. L'ensemble des solutions est alors $\{y_p\}$, c'est-à-dire que $y_p$ est la seule solution.

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3. Quelle fonction est une solution particulière de $y' = 2y + 6x$ ?

   $y = -3x - \dfrac{3}{2}$$y = -3x + \dfrac{3}{2}$$y = 3x + \dfrac{3}{2}$$y = -3x - 3$
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4. On cherche une solution particulière de $y' = 2y + e^{3x}$ sous la forme $y = ke^{3x}$. Quelle est la valeur de $k$ ?

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5. On considère $y' = -y + 2x$. Une solution particulière affine est $y_p(x) = 2x - 2$. Quelle est la valeur de $y_p(3)$ ?

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6. Pour $y' = 2y + 6x$, dont la solution générale est $y(x) = -3x - \frac{3}{2} + Ce^{2x}$, on impose $y(0) = 1$. Quelle est la valeur de $C$ ?

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7. Quelle est la solution générale de $y' = 2y + 6x$ ?

   $y(x) = -3x - \dfrac{3}{2} + Ce^{2x}$$y(x) = -3x - \dfrac{3}{2}$$y(x) = Ce^{2x}$$y(x) = -3x + Ce^{-2x}$
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8. Si $y_1$ est solution de $y' = ay + c_1$ et $y_2$ est solution de $y' = ay + c_2$, alors $y_1 + y_2$ est solution de $y' = ay + (c_1 + c_2)$.

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9. On étudie $y' = y + x + 1$. En cherchant séparément une solution particulière pour le second membre $x$ (qui est $-x - 1$) et pour le second membre $1$ (qui est $-1$), on obtient par somme une solution particulière $y_p$. Quelle est la valeur de $y_p(2)$ ?

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10. Parmi ces équations, lesquelles sont des équations différentielles linéaires d'ordre 1 ?

    Plusieurs réponses possibles.

    $y' = 3y + x$$y' = y^2 + 1$$y'' + y = 0$$y' = -2y + \cos x$
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11. Quelle est l'équation homogène associée à $y' = 4y + x^2$ ?

    $y' = 4y$$y' = x^2$$y' = 4y + 1$$y' = 0$
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12. Un élève trouve $y_p(x) = x - 1$ comme solution particulière de $y' = y - x + 2$ et rédige : « La solution est $y(x) = x - 1$. » Quelle est l'erreur de rédaction ?

    Il oublie d'ajouter $Ce^{x}$, solution générale de $y' = y$Il devrait diviser par $a$Il doit remplacer $x - 1$ par sa primitiveIl n'y a aucune erreur
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