Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Développer, c'est transformer un produit en somme : k(a+b)=ka+kb (distributivité simple), (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (double distributivité).
Factoriser, c'est transformer une somme en produit : on repère un facteur commun et on écrit ka+kb=k(a+b).
Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : −2x+4x+2x2=2x+2x2.
Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur : −(3x−7)=−3x+7.
Contrôle toujours un résultat en remplaçant la lettre par un nombre simple dans l'expression de départ et dans celle d'arrivée.
Pourquoi développer et factoriser ?
Une même quantité peut s'écrire de plusieurs façons. Par exemple, 3×(49+5) et 3×49+3×5 donnent le même nombre. Le calcul littéral te permet de passer d'une écriture à l'autre, avec des lettres à la place des nombres.
Au programme de 3e, on s'entraîne à développer (par simple et double distributivité), à factoriser et à réduire des expressions 1. Ces trois gestes reviennent sans cesse : pour résoudre une équation, démontrer qu'une égalité est vraie ou simplifier un calcul. Ils sont aussi la base des identités remarquables et de l'équation produit nul que tu verras ensuite.
Ce cours avance dans cet ordre :
le vocabulaire (terme, facteur, expression développée, expression factorisée) ;
la réduction, qui nettoie une expression ;
la distributivité simple, puis double ;
la factorisation, souvent plus délicate que le développement 3 ;
les erreurs fréquentes et la manière de se contrôler.
Le vocabulaire et la réduction
Développer ou factoriser
Opération
Départ
Arrivée
Exemple
Développer
Produit
Somme
2(x+3) = 2x + 6
Factoriser
Somme
Produit
2x + 6 = 2(x+3)
Développer ou factoriser
Avant de développer ou après l'avoir fait, on réduit : on regroupe les termes qui ont la même partie littérale. On additionne ensemble les x, ensemble les x2, ensemble les nombres seuls.
Les pratiques régulières de réduction recommandées en 3e portent sur des écritures comme x×1, (5x)2 ou −2x+4x+2x23.
La distributivité simple
Pour développer, on multiplie le facteur placé devant la parenthèse par chaque terme de la parenthèse. Un nombre d'abord, pour comprendre : 3×(49+5)=3×49+3×5=147+15=162. Ce même type de calcul mental sert d'entraînement avec une expression comme 3×49−32.
La double distributivité
Démonstration · Pourquoi cette formule est vraie
On pose k=(a+b) et on applique deux fois la distributivité simple.
(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd
Il suffit de ranger les termes dans l'ordre pour retrouver la formule.
Factoriser : trouver le facteur commun
Factoriser, c'est faire le chemin inverse du développement. Cela demande un coup d'œil différent : on cherche ce que les termes ont en commun. Ce travail sur les sommes est en général plus délicat que le passage d'un produit à une somme 3.
Repérer les termesSépare la somme en termes.
DécomposerÉcris chaque terme en produit.
Choisir le facteurTrouve ce qui est commun à tous.
Écrire le produitFacteur devant, reste dans la parenthèse.
VérifierRedéveloppe pour retrouver le départ.
Factoriser en cinq gestes
Factoriser quand le facteur est une parenthèse
Le facteur commun n'est pas toujours un nombre ou une lettre : cela peut être une parenthèse entière. On traite alors cette parenthèse comme un bloc, de la même façon que k dans ka+kb.
Un aperçu des deux sens du calcul
Le programme prévoit de savoir factoriser une expression de la forme a2−b2 et de développer une expression de la forme (a+b)(a−b)1. Ces égalités portent le nom d'identités remarquables et doivent s'utiliser dans les deux sens 2. Tu les verras en détail dans la suite du chapitre.
Se contrôler et éviter les erreurs
Développer et factoriser sont des tâches techniques, mais elles gagnent à s'accompagner d'une réflexion sur les stratégies de calcul : anticiper le résultat, contrôler les signes, vérifier 4. Voici des réflexes simples.
Exercices corrigés
Exercice 1 Développer et réduire
★☆☆Environ 5 min
On pose A=3(2x−5)+4(x+1).
Développe puis réduis A.
Calcule la valeur de A pour x=2 à partir de l'expression de départ.
Indice 1
Développe chaque produit séparément avant d'additionner.
Indice 2
Pour la question 2, remplace x par 2 dans l'expression de départ.
Voir la correction pas à pas
On développe le premier produit : 3(2x−5)=6x−15.
On développe le second produit : 4(x+1)=4x+4.
On écrit la somme : A=6x−15+4x+4.
On réduit : A=10x−11.
Pour x=2 dans l'expression de départ : 3×(2×2−5)+4×(2+1)=3×(−1)+12=9. On retrouve 10×2−11=9.
A=10x−11, et sa valeur pour x=2 est 9. Les deux écritures concordent, ce qui valide le développement.
Exercice 2 Double distributivité
★★☆Environ 8 min
On pose D=(2x+3)(4x−7).
Développe et réduis D.
Calcule D pour x=3 à partir de l'expression de départ.
Indice 1
Écris les quatre produits : 2x×4x, 2x×(−7), 3×4x et 3×(−7).
Indice 2
Fais attention au signe du produit 3×(−7).
Voir la correction pas à pas
On calcule 2x×4x=8x2.
On calcule 2x×(−7)=−14x.
On calcule 3×4x=12x.
On calcule 3×(−7)=−21.
On additionne et on réduit : D=8x2−14x+12x−21=8x2−2x−21.
Pour x=3 : (2×3+3)(4×3−7)=9×5=45. Avec la forme développée : 72−6−21=45.
D=8x2−2x−21 et D=45 lorsque x=3. Les deux calculs donnent la même valeur.
Exercice 3 Factoriser avec un facteur commun
★★☆Environ 8 min
Factorise E=6x2+9x.
Factorise 3a+42.
Vérifie ta factorisation de E en calculant la valeur de E pour x=2 avec l'expression de départ.
Indice 1
Pour E, cherche le plus grand nombre qui divise 6 et 9, puis regarde la lettre.
Indice 2
Pour 3a+42, écris d'abord 42 comme un produit avec le facteur 3.
Voir la correction pas à pas
Dans E, le nombre 3 divise 6 et 9, et la lettre x figure dans les deux termes. Le facteur commun est 3x.
On décompose : 6x2=3x×2x et 9x=3x×3.
On factorise : E=3x(2x+3).
Pour 3a+42 : 42=3×14, donc 3a+42=3×a+3×14=3(a+14).
Contrôle de E pour x=2 : 6×4+9×2=24+18=42. Avec la forme factorisée : 3×2×(2×2+3)=6×7=42.
E=3x(2x+3) et 3a+42=3(a+14). La valeur de E pour x=2 est 42 dans les deux écritures.
Exercice 4 Un parenthèse comme facteur commun
★★★Environ 10 min
On pose G=(x+2)(x−3)−4(x+2).
Factorise G.
Développe la forme factorisée et compare avec le développement direct de G.
Calcule G pour x=5.
Indice 1
Le bloc (x+2) apparaît dans les deux termes.
Indice 2
À l'intérieur des crochets, soustrais 4 à (x−3).
Voir la correction pas à pas
On repère le facteur commun (x+2).
On factorise : G=(x+2)[(x−3)−4].
On réduit dans les crochets : G=(x+2)(x−7).
Développement de la forme factorisée : (x+2)(x−7)=x2−7x+2x−14=x2−5x−14.
Développement direct : (x+2)(x−3)=x2−x−6 et −4(x+2)=−4x−8. En additionnant : x2−5x−14. Les deux résultats sont égaux.
Pour x=5 : (5+2)(5−7)=7×(−2)=−14.
G=(x+2)(x−7)=x2−5x−14, et G=−14 pour x=5.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On multiplie 2x par chaque terme : 2x×x=2x2 et 2x×(−5)=−10x3. La réponse 2x2−5 oublie de multiplier le second terme, et 2x−10x confond 2x×x avec 2x. Le signe de −10x reste négatif car on multiplie par −5.
Le signe moins change le signe de chaque terme : −(3x−7)=−3x+71. La réponse −3x−7 ne change que le premier signe, ce qui est l'erreur la plus fréquente.
Les quatre produits sont 5x, xy, −10 et −2y3. La réponse 5x+xy−10+2y se trompe sur le signe de −2×y. La troisième oublie des produits : il en faut quatre.
Comme 42=3×144, on a 3a+42=3(a+14). La réponse 3(a+42) redonne 3a+126 en redéveloppant. La réponse 3(a+7) redonne 3a+21. Redévelopper permet de vérifier.
Ici (10+6)(10−6)=16×4=64. On retrouve la forme développée x2−36=100−36=641. Si tu as trouvé 136, tu as probablement calculé x2+36, ce qui oublie que les termes du milieu s'annulent.
Vrai : développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit 2. Les deux s'appuient sur la distributivité, lue dans un sens ou dans l'autre. On peut donc toujours vérifier une factorisation en la redéveloppant.
Comme 64=82, on reconnaît une différence de deux carrés 1, et (x−8)(x+8)=x2−8x+8x−64=x2−64. La réponse (x−8)2 donnerait x2−16x+64, qui contient un terme en x en plus.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois développer ou factoriser ?
Regarde la consigne, puis l'objectif. Si l'expression est un produit et qu'on veut une somme (pour réduire, ou comparer des termes), on développe. Si c'est une somme et qu'on veut un produit (pour résoudre une équation ou simplifier), on factorise. La factorisation est souvent plus délicate que le développement 3, d'où l'intérêt de s'y entraîner souvent.
Pourquoi je n'arrive pas à factoriser alors que je comprends la méthode ?
Le blocage vient souvent d'un manque d'habitude pour décomposer les nombres, pas du principe lui-même 4. Pour factoriser 3a+42, il faut avoir en tête que 42=3×14. Entraîne-toi à écrire des décompositions de nombres en produits : tables de multiplication, multiples, diviseurs.
Comment vérifier rapidement mon résultat ?
Deux moyens. D'abord, remplace la lettre par un nombre simple dans l'expression de départ et dans le résultat : les deux valeurs doivent être égales. Ensuite, pour une factorisation, redéveloppe-la : tu dois retrouver l'expression de départ. Ces démarches de contrôle sont recommandées au programme 4.
À quoi servent développer et factoriser ?
À simplifier des écritures et à résoudre des problèmes. Développer permet de réduire une expression et de comparer deux écritures. Factoriser permet de voir qu'un produit est nul, ce que tu utiliseras pour l'équation produit nul. Ces gestes servent aussi à utiliser les identités remarquables dans les deux sens 2.
Quelles formes tombent à l'examen du DNB ?
Le programme cite comme questions rapides la factorisation de x2−64 et 4x2−49, ainsi que le développement de (x+6)(x−6) et (2x−5)(2x+5)1. Il faut aussi savoir développer par simple et double distributivité et réduire une expression 1. Maîtrise bien ces formes.