Développer et factoriser : exercices corrigés de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est faire le chemin inverse.
Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur : $-(3x-7)=-3x+7$ .¹
Avec la double distributivité, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, puis on réduit.
Pour factoriser, cherche d'abord le facteur commun, puis vérifie en redéveloppant.
Un test avec une valeur de $x$ permet de contrôler un résultat en quelques secondes.

Comment utiliser ces exercices

Cette page rassemble des exercices de difficulté croissante sur le calcul littéral. Ils portent sur les deux gestes qui reviennent sans cesse en 3e et au DNB : développer et factoriser.¹ Chaque exercice propose un ou deux indices, puis une correction où chaque étape correspond à une action expliquée.

Le bon réflexe : cherche d'abord seul, sur ta feuille, sans ouvrir l'indice. Si tu bloques au bout de quelques minutes, ouvre le premier indice, puis reprends ton calcul. Ne regarde la correction qu'à la fin, pour comparer ta démarche et pas seulement ton résultat.

MéthodeRappel des méthodes

Développer un produit par une somme (distributivité simple) : le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme de la parenthèse. On écrit $k(a+b)=ka+kb$ .² Le programme demande aussi de savoir développer un produit comme $2x(x-5)$ , où le facteur est lui-même un terme en $x$ .³

Développer un produit de deux sommes (double distributivité) : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Cette méthode permet par exemple de développer $(2x+3)(4x-7)$ .⁴

Réduire : après avoir développé, on regroupe les termes de même nature (les termes en $x^2$ ensemble, les termes en $x$ ensemble, les nombres ensemble).

Factoriser : on repère un facteur commun à tous les termes et on l'écrit devant une parenthèse. L'écriture de départ est du type $k\times a+k\times b$ , qui devient $k\times(a+b)$ .²

Les exercices

Exercice 1 Distributivité en calcul mental

★☆☆Environ 5 min

On veut calculer de tête $3\times(49+5)$ .

Développe ce produit en utilisant la distributivité simple.
Calcule chaque produit, puis donne le résultat final.
Vérifie en calculant d'abord la somme entre parenthèses.

Indice 1

Écris $3\times 49+3\times 5$ .

Indice 2

Pour $3\times 49$ , tu peux faire $3\times 50-3$ .

Voir la correction pas à pas

On applique la distributivité : $3\times(49+5)=3\times 49+3\times 5$ .
On calcule $3\times 49=147$ (car $3\times 50=150$ , puis on retire $3$ ).
On calcule $3\times 5=15$ .
On additionne : $147+15=162$ .
Vérification : $49+5=54$ et $3\times 54=162$ . Les deux méthodes donnent le même résultat.

La distributivité marche aussi avec des nombres : c'est exactement le même mécanisme qu'avec des lettres.

Exercice 2 Développer avec un facteur en x

★☆☆Environ 6 min

Développe et réduis les expressions suivantes.

$A=2x(x-5)\qquad B=4(2x-3)+5x$

Indice 1

Pour $A$ , le facteur $2x$ multiplie $x$ puis $5$ .

Indice 2

Pour $B$ , développe d'abord $4(2x-3)$ , puis regroupe les termes en $x$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $A$ : $2x\times x=2x^2$ .
Toujours pour $A$ : $2x\times(-5)=-10x$ . Donc $A=2x^2-10x$ .
Pour $B$ : $4\times 2x=8x$ et $4\times(-3)=-12$ , donc $4(2x-3)=8x-12$ .
On ajoute $5x$ : $B=8x-12+5x$ .
On regroupe les termes en $x$ : $8x+5x=13x$ . Donc $B=13x-12$ .

$A=2x^2-10x$ et $B=13x-12$ . Remarque que $A$ ne peut plus être réduit : $2x^2$ et $10x$ ne sont pas des termes de même nature.

Exercice 3 Le signe moins devant une parenthèse

★★☆Environ 8 min

Développe et réduis.

$D=5x-(3x-7)\qquad E=4-(2x-1)+3x$

Indice 1

Retire la parenthèse en changeant le signe de chaque terme qu'elle contient.

Indice 2

Pour $E$ , pense à $-(2x-1)=-2x+1$ .

Voir la correction pas à pas

On rappelle que $-(3x-7)=-3x+7$ .¹
Pour $D$ : $D=5x-3x+7$ .
On regroupe : $5x-3x=2x$ . Donc $D=2x+7$ .
Pour $E$ : $-(2x-1)=-2x+1$ , donc $E=4-2x+1+3x$ .
On regroupe les nombres : $4+1=5$ . On regroupe les termes en $x$ : $-2x+3x=x$ .
Donc $E=x+5$ .
Contrôle de $E$ avec $x=2$ : au départ, $4-(4-1)+6=7$ ; avec le résultat, $2+5=7$ .

$D=2x+7$ et $E=x+5$ . Le contrôle avec une valeur de $x$ confirme le résultat de $E$ .

Exercice 4 Factoriser avec un facteur commun

★★☆Environ 10 min

Factorise chaque expression.

$F=6x+15\qquad G=3a+42\qquad H=8x^2-12x\qquad K=5x+5$

Indice 1

Cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients. Pour $G$ , décompose $42$ .

Indice 2

Pour $H$ , le facteur commun contient un nombre et une lettre.

Voir la correction pas à pas

Pour $F$ : $6=3\times 2$ et $15=3\times 5$ . Le facteur commun est $3$ . Donc $F=3(2x+5)$ .
Pour $G$ : $42=3\times 14$ , donc $3a+42=3\times a+3\times 14$ . Donc $G=3(a+14)$ .⁴
Pour $H$ : $8x^2=4x\times 2x$ et $12x=4x\times 3$ . Le facteur commun est $4x$ . Donc $H=4x(2x-3)$ .
Pour $K$ : $5x+5=5\times x+5\times 1$ . Le $1$ ne doit pas être oublié. Donc $K=5(x+1)$ .
Vérification de $H$ en redéveloppant : $4x\times 2x=8x^2$ et $4x\times(-3)=-12x$ . On retrouve l'expression de départ.

$F=3(2x+5)$ , $G=3(a+14)$ , $H=4x(2x-3)$ , $K=5(x+1)$ . Pour être sûr d'avoir factorisé, redéveloppe toujours : tu dois retomber sur l'expression de départ.

Exercice 5 Double distributivité

★★☆Environ 12 min

Développe $(x-2)(5+y)$ .
Développe et réduis $F=(2x+3)(4x-7)$ .
Calcule la valeur de l'expression réduite obtenue en 2 pour $x=2$ .

Indice 1

Chaque terme de la première parenthèse multiplie les deux termes de la seconde : il y a quatre produits à écrire.

Indice 2

Pense aux signes : $(+3)\times(-7)=-21$ .

Voir la correction pas à pas

Question 1. On multiplie $x$ par chaque terme : $x\times 5=5x$ et $x\times y=xy$ .³
On multiplie $-2$ par chaque terme : $-2\times 5=-10$ et $-2\times y=-2y$ .
Donc $(x-2)(5+y)=5x+xy-10-2y$ . Aucun terme n'est de même nature, on ne peut pas réduire.
Question 2. $2x\times 4x=8x^2$ ; $2x\times(-7)=-14x$ ; $3\times 4x=12x$ ; $3\times(-7)=-21$ .⁴
On écrit $F=8x^2-14x+12x-21$ , puis on réduit : $-14x+12x=-2x$ . Donc $F=8x^2-2x-21$ .
Question 3. Pour $x=2$ : $8\times 4-2\times 2-21=32-4-21=7$ .
Contrôle avec l'expression de départ : $(2\times 2+3)(4\times 2-7)=7\times 1=7$ . Les deux valeurs sont égales.

$F=8x^2-2x-21$ et sa valeur pour $x=2$ est $7$ , confirmée par le calcul avec la forme factorisée.

Exercice 6 Différence de deux produits

★★★Environ 12 min

On considère $M=(x+3)(2x-1)-(x-4)(x+2)$ .

Développe et réduis chaque produit séparément.
Déduis l'expression réduite de $M$ .
Calcule la valeur de $M$ pour $x=1$ à partir de l'expression de départ.

Indice 1

Développe chaque produit entre des parenthèses pour ne pas perdre le signe moins qui précède le second.

Indice 2

Soustraire un produit, c'est changer le signe de tous ses termes.

Voir la correction pas à pas

Premier produit : $(x+3)(2x-1)=2x^2-x+6x-3=2x^2+5x-3$ .
Second produit : $(x-4)(x+2)=x^2+2x-4x-8=x^2-2x-8$ .
On écrit $M=(2x^2+5x-3)-(x^2-2x-8)$ .
On retire la deuxième parenthèse en changeant les signes : $M=2x^2+5x-3-x^2+2x+8$ .¹
On regroupe : $2x^2-x^2=x^2$ ; $5x+2x=7x$ ; $-3+8=5$ . Donc $M=x^2+7x+5$ .
Pour $x=1$ avec l'expression de départ : $(1+3)(2-1)-(1-4)(1+2)=4\times 1-(-3)\times 3=4+9=13$ .
Contrôle avec le résultat réduit : $1+7+5=13$ .

$M=x^2+7x+5$ , et $M=13$ pour $x=1$ . L'erreur la plus courante ici est d'oublier de changer le signe de $-8$ en $+8$ .

Exercice 7 Un facteur commun qui est une parenthèse

★★★Environ 12 min

On considère $N=(x+1)(2x-3)+(x+1)(x+5)$ .

Repère le facteur commun et factorise $N$ .
Vérifie ta factorisation en développant les deux écritures.
Calcule la valeur de $N$ pour $x=3$ .

Indice 1

Le facteur commun n'est pas forcément un nombre : ici c'est toute une parenthèse.

Indice 2

Après avoir sorti $(x+1)$ , additionne ce qui reste dans une seule parenthèse.

Voir la correction pas à pas

Les deux termes de la somme contiennent le facteur $(x+1)$ . On écrit $N=(x+1)\big[(2x-3)+(x+5)\big]$ , c'est la forme $k\times a+k\times b=k\times(a+b)$ avec $k=x+1$ .²
On réduit l'intérieur du crochet : $2x-3+x+5=3x+2$ .
Donc $N=(x+1)(3x+2)$ .
Vérification, forme factorisée : $(x+1)(3x+2)=3x^2+2x+3x+2=3x^2+5x+2$ .
Vérification, forme de départ : $(x+1)(2x-3)=2x^2-3x+2x-3=2x^2-x-3$ et $(x+1)(x+5)=x^2+5x+x+5=x^2+6x+5$ . La somme vaut $3x^2+5x+2$ . Les deux écritures coïncident.
Pour $x=3$ : $(3+1)(3\times 3+2)=4\times 11=44$ .

$N=(x+1)(3x+2)$ et $N=44$ pour $x=3$ . Quand une même parenthèse apparaît dans deux termes, c'est ce bloc qu'on met en facteur.

Exercice 8 Aire d'un rectangle

★★★Environ 12 min

Un rectangle a pour longueur $(x+4)$ cm et pour largeur $(x-2)$ cm, avec $x>2$ .

Écris l'aire du rectangle sous forme développée et réduite.
Calcule l'aire pour $x=10$ avec la forme de ton choix, puis avec l'autre forme pour vérifier.

Indice 1

L'aire d'un rectangle est longueur $\times$ largeur.

Indice 2

Développe $(x+4)(x-2)$ avec la double distributivité.

Voir la correction pas à pas

On écrit l'aire : $\mathcal{A}=(x+4)(x-2)$ .
On développe : $x\times x=x^2$ ; $x\times(-2)=-2x$ ; $4\times x=4x$ ; $4\times(-2)=-8$ .
On réduit : $-2x+4x=2x$ . Donc $\mathcal{A}=x^2+2x-8$ .
Pour $x=10$ , forme factorisée : longueur $14$ cm, largeur $8$ cm, aire $14\times 8=112$ .
Pour $x=10$ , forme développée : $100+20-8=112$ . Les deux formes donnent le même résultat.

L'aire vaut $x^2+2x-8$ en cm², soit $112$ cm² pour $x=10$ . La forme factorisée est plus commode pour calculer avec une valeur donnée de $x$ ici, la forme développée est plus commode pour comparer des expressions.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois développer ou factoriser ?

Regarde la forme de l'expression. Si c'est un produit (des facteurs multipliés, comme $3(x+2)$ ), on te demande en général de développer pour obtenir une somme. Si c'est une somme (comme $3x+6$ ) dont tous les termes ont un facteur en commun, on te demande de factoriser pour obtenir un produit. Le programme précise que passer d'un produit à une somme est en général plus simple que l'inverse.³ Dans le doute, l'énoncé donne le verbe : c'est lui qui impose le sens.

Je n'arrive pas à factoriser : par où commencer ?

Écris chaque terme comme un produit en décomposant les nombres. Par exemple, pour $3a+42$ , écris $42=3\times 14$ : le facteur $3$ apparaît alors dans les deux termes.⁴ Cherche ensuite le plus grand facteur commun (nombre, lettre ou même parenthèse), écris-le devant une parenthèse et complète l'intérieur en te demandant : « par quoi ai-je multiplié ? ». Termine toujours en redéveloppant : tu dois retrouver l'expression de départ.

Sources

Programme visé : Mathématiques 3e — Calcul littéral (DNB) · Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale

Mathématiques 3e — Calcul littéral (DNB), Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Développer et factoriser — Ressources pédagogiques 3e, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Calcul littéral — Utiliser le calcul littéral (Cycle 4), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources pour l'enseignement de mathématiques 3e, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.

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Les exercices

Exercice 1 Distributivité en calcul mental

Exercice 2 Développer avec un facteur en x

Exercice 3 Le signe moins devant une parenthèse

Exercice 4 Factoriser avec un facteur commun

Exercice 5 Double distributivité

Exercice 6 Différence de deux produits

Exercice 7 Un facteur commun qui est une parenthèse

Exercice 8 Aire d'un rectangle

Les questions qu'on se pose

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