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Le théorème de Thalès : cours de CAP
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Le théorème de Thalès s'utilise quand une droite est parallèle à l'un des côtés d'un triangle : les longueurs des deux triangles obtenus sont proportionnelles.3
- Dans la configuration « triangles emboîtés » comme dans la configuration « papillon », on écrit trois rapports égaux : sommet-point sur sommet-sommet, deux fois, puis les côtés parallèles.1
- Pour calculer une longueur : repérer le parallélisme, écrire l'égalité des rapports, remplacer par les valeurs connues, puis faire un produit en croix.
- Chaque rapport compare des longueurs prises dans le même ordre (petit triangle sur grand triangle, ou l'inverse, mais jamais mélangé).
- Si les rapports ne sont pas égaux, les droites ne sont pas parallèles.
À quoi sert le théorème de Thalès ?
Tu connais déjà la proportionnalité : si tu doubles la quantité de farine dans une recette, tu doubles aussi la quantité de sucre. Le théorème de Thalès applique la même idée à la géométrie. Il permet de calculer une longueur que l'on ne peut pas mesurer directement, à partir d'autres longueurs que l'on connaît.
On s'en sert souvent dans les métiers : un charpentier qui veut la longueur d'une pièce de bois, un menuisier qui découpe une planche en biais, un maçon qui doit connaître la hauteur d'un pignon, un paysagiste qui évalue la hauteur d'un arbre par son ombre.
Ce cours se place après le théorème de Pythagore. Les deux théorèmes se travaillent dans des triangles, mais ils ne répondent pas à la même question : Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle, alors que Thalès compare deux triangles dont les côtés sont proportionnels, grâce à une droite parallèle.
Dans la suite, tu vas apprendre à :
- reconnaître les situations où le théorème s'applique ;
- écrire correctement l'égalité des rapports ;
- calculer une longueur avec un produit en croix ;
- éviter les erreurs de calcul les plus courantes.
Les deux configurations à reconnaître
Pour utiliser le théorème, il faut d'abord reconnaître la figure. On rencontre deux dessins classiques : les triangles emboîtés et le papillon.1 Dans les deux cas, on a deux droites qui se coupent en un point, et deux droites parallèles qui les coupent.
L'égalité des rapports
Calculer une longueur : la méthode
- RepérerTrouver les droites parallèles et la configuration
- ÉcrirePoser l'égalité des trois rapports
- CalculerRemplacer, puis faire le produit en croix
- ConclureDonner la longueur avec son unité
Avec une longueur de morceau : AB, AM et MB
Souvent, l'énoncé ne donne pas la longueur du côté entier, mais celle de ses morceaux. Par exemple : cm et cm. Le piège est alors d'utiliser au lieu de dans le rapport. Il faut d'abord reconstituer le côté entier.
Un lien avec l'histoire et avec la vie courante
Le nom du théorème vient de Thalès, un philosophe et mathématicien grec du VIe siècle avant J.-C.3 Pourtant, les historiens ne retiennent pas vraiment cette attribution. On pense qu'elle vient d'une légende rapportée par Plutarque : Thalès aurait trouvé la hauteur d'une pyramide en comparant son ombre à celle d'un bâton dont la hauteur était connue.3
Aucune source ancienne ne permet d'attribuer ce résultat à Thalès.3 En revanche, un énoncé de ce type, valable dans un triangle quelconque, apparaît dans les Éléments d'Euclide, environ trois siècles après Thalès.4
Vérifier si deux droites sont parallèles
Le théorème de Thalès part du parallélisme pour conclure sur des longueurs. Il existe aussi une réciproque, qui fait le chemin inverse et qui s'étudie en classe après le théorème.1 Même sans la détailler, tu peux déjà tirer une information utile par un raisonnement simple.
Exercices corrigés
Exercice 1 Une poutre dans un triangle
Dans le triangle , le point est sur et le point est sur . Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calcule la longueur .
Indice 1
Écris l'égalité des rapports en commençant par .
Indice 2
Utilise le rapport qui contient et celui qui est entièrement connu.
Voir la correction pas à pas
Les droites et sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : .
On remplace par les valeurs : .
Produit en croix : .
On divise : cm.
cm. Le côté du grand triangle est bien plus long que cm, le résultat est cohérent.
Exercice 2 La hauteur d'un poteau
Un piquet vertical de m de haut projette une ombre de m au sol. Au même moment, un poteau projette une ombre de m. On considère que les rayons du soleil sont parallèles.
Quelle est la hauteur du poteau ?
Indice 1
Fais un schéma avec deux triangles rectangles de même forme.
Indice 2
Les hauteurs et les ombres sont proportionnelles.
Voir la correction pas à pas
Les rayons du soleil sont parallèles : on peut écrire l'égalité des rapports entre hauteurs et ombres.
On note la hauteur du poteau : .
Produit en croix : .
On divise : m.
Le poteau mesure m. Le poteau est plus grand que le piquet, comme son ombre est plus longue que celle du piquet.
Exercice 3 Un papillon à compléter
Les droites et se coupent en et les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calcule la longueur .
Indice 1
Cette figure est un papillon : le sommet commun est .
Indice 2
Écris .
Voir la correction pas à pas
Les droites et sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : .
On garde le rapport utile : .
Produit en croix : .
On divise : cm.
cm. Ici, est plus long que cm, ce qui est cohérent avec le grand triangle qui contient cm.
Quiz
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Le théorème repose sur le parallélisme de et . L'angle droit est utile pour Pythagore, pas pour Thalès. Deux côtés parallèles n'ont d'ailleurs pas la même longueur, puisque le petit triangle est une réduction du grand.
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Chaque rapport compare un côté du petit triangle au côté correspondant du grand, dans le même ordre. La deuxième proposition utilise , qui n'est qu'un morceau de . La troisième retourne un rapport. La quatrième mélange des côtés qui ne se correspondent pas.
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On écrit , donc et cm. Une erreur fréquente est de calculer , qui donne : ce résultat est plus petit que , ce qui est impossible pour un grand triangle.
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C'est faux. Le parallélisme est la condition de départ : sans lui, les côtés des deux triangles ne sont pas proportionnels. Penser que le théorème marche « à peu près » conduit à des longueurs fausses.
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Configuration papillon : , donc et cm. Si tu trouves , tu as calculé : il faut multiplier les deux nombres placés en diagonale ( et ), puis diviser par le troisième ().
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Les deux configurations classiques sont les triangles emboîtés et le papillon.1 Un cercle avec sa tangente ou un parallélogramme isolé ne contiennent pas, par eux-mêmes, deux triangles formés par une parallèle.
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Les deux rapports valent et . Ils sont différents. Si les droites étaient parallèles, le théorème imposerait des rapports égaux. Le calcul prouve donc qu'elles ne le sont pas. La perpendicularité n'a pas de lien avec ces rapports.
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Il faut reconstituer le côté entier : cm. Utiliser cm reviendrait à employer , qui n'est qu'un morceau du côté. Utiliser cm donnerait un rapport égal à 1.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser Thalès ou Pythagore ?
Pythagore s'emploie dans un triangle rectangle, pour relier ses trois côtés. Thalès s'emploie quand une droite est parallèle à un côté du triangle et que l'on compare les côtés de deux triangles. Cherche d'abord un angle droit (Pythagore) ou un parallélisme (Thalès) dans l'énoncé.
Quel rapport dois-je écrire en premier ?
L'ordre n'a pas d'importance tant que tu restes cohérent. Écris les trois rapports égaux, puis garde celui qui contient l'inconnue et un rapport entièrement connu. Vérifie que le petit triangle est toujours au même endroit (numérateur ou dénominateur) dans chaque fraction.
Pourquoi faut-il citer le théorème dans la rédaction ?
La phrase « les droites et sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès » justifie le calcul. Sans elle, on ne sait pas pourquoi les rapports sont égaux. Au contrôle, cette justification fait partie de la démonstration attendue.
Thalès a-t-il vraiment inventé ce théorème ?
Les historiens ne retiennent pas cette attribution. Une légende rapportée par Plutarque raconte qu'il aurait mesuré une pyramide grâce à son ombre, et c'est probablement l'origine du nom.3 Un énoncé semblable figure aussi chez Euclide, environ trois siècles après Thalès.4 Pour tes calculs, cette histoire ne change rien.
Mon résultat est plus petit que la longueur du petit triangle : est-ce normal ?
Non. Le côté du grand triangle doit être plus long que le côté correspondant du petit. Si ce n'est pas le cas, tu as probablement inversé un rapport ou effectué la division dans le mauvais sens. Reprends le produit en croix : l'inconnue est égale au produit des deux nombres en diagonale, divisé par le troisième.
Sources
- Focus n°3 : l'introduction du théorème de Thalès en 4ème, en 3ème, Académie de Toulouse. Consulté le 9 novembre 2026.
- Proportionnalité et géométrie plane au cycle 4, Académie de Toulouse. Consulté le 9 novembre 2026.
- Théorème de Thalès, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
- Thalès, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
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