Théorème de Thalès : exercices corrigés de CAP

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une droite parallèle à un côté d'un triangle crée un second triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du premier ³.
On écrit les trois rapports égaux $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ puis on résout un produit en croix.
Deux configurations à reconnaître : les triangles emboîtés et le papillon ¹.
Toujours vérifier que le parallélisme est donné avant d'écrire un rapport, et que les longueurs comparées sont bien dans le même ordre.
Pour une longueur d'un côté « restant » (comme NC), calcule d'abord la longueur totale puis soustrais.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font travailler le théorème de Thalès du plus simple au plus complet. Commence par les premiers, qui demandent une seule proportion. Les derniers mêlent plusieurs étapes, un calcul de longueur avec le théorème de Pythagore et une équation.

Pour chaque exercice, cherche d'abord seul : fais un schéma, écris la proportion, puis résous. Les indices sont là pour te débloquer sans tout dévoiler. Ouvre la correction à la fin, pas avant d'avoir une réponse à comparer.

Les exercices

Exercice 1 Calculer un côté entier

★☆☆Environ 5 min

Dans le triangle $ABC$ , le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ est sur $[AC]$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

On donne $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm et $AN = 4{,}5$ cm.

Calcule la longueur $AC$ en cm.

Indice 1

Écris d'abord $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ .

Indice 2

Le produit en croix donne $AM\times AC = AB\times AN$ .

Voir la correction pas à pas

Le parallélisme de $(MN)$ et $(BC)$ est donné, et $M$ , $N$ sont sur les côtés issus de $A$ : on peut appliquer le théorème de Thalès.
On écrit les rapports égaux : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ , soit $\frac{3}{5}=\frac{4{,}5}{AC}$ .
Produit en croix : $3\times AC = 5\times 4{,}5 = 22{,}5$ .
On divise : $AC = \frac{22{,}5}{3} = 7{,}5$ cm.

On trouve $AC = 7{,}5$ cm. Contrôle : $AC$ est plus grand que $AN$ , ce qui est logique puisque $N$ est entre $A$ et $C$ .

Exercice 2 Calculer la longueur de la parallèle

★☆☆Environ 5 min

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est sur $[AB]$ , $N$ est sur $[AC]$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ .

On donne $AM = 2$ cm, $AB = 6$ cm et $BC = 9$ cm.

Calcule la longueur $MN$ en cm.

Indice 1

Cette fois, les rapports utiles sont $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{MN}{BC}$ .

Indice 2

Tu n'as pas besoin de $AN$ ni de $AC$ .

Voir la correction pas à pas

On applique Thalès : $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ .
On remplace par les valeurs : $\frac{2}{6}=\frac{MN}{9}$ .
Produit en croix : $6\times MN = 2\times 9 = 18$ .
On divise : $MN = \frac{18}{6} = 3$ cm.

$MN = 3$ cm. Le petit triangle est trois fois plus petit que le grand : $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et $9\div 3 = 3$ .

Exercice 3 Calculer un petit côté

★☆☆Environ 6 min

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est sur $[AB]$ , $N$ est sur $[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$ .

On donne $AB = 10$ cm, $AN = 3$ cm et $AC = 12$ cm.

Calcule la longueur $AM$ en cm.

Indice 1

Écris $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ : l'inconnue est au numérateur.

Indice 2

Pour isoler $AM$ , multiplie les deux côtés par $AB$ .

Voir la correction pas à pas

Le théorème de Thalès s'applique : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ .
On remplace : $\frac{AM}{10}=\frac{3}{12}$ .
On simplifie le rapport connu : $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .
Donc $AM = 10\times\frac{1}{4} = 2{,}5$ cm.

$AM = 2{,}5$ cm. Vérifie : $AM < AB$ , puisque $M$ est sur le segment $[AB]$ .

Exercice 4 La hauteur d'un arbre grâce aux ombres

★★☆Environ 8 min

Sur un sol plat, un bâton vertical de $1{,}5$ m projette une ombre de $2$ m. Au même moment, un arbre vertical projette une ombre de $12$ m. Les rayons du soleil sont considérés comme parallèles.

Calcule la hauteur de l'arbre en m.

Indice 1

Fais un schéma : le sol, le bâton et son ombre forment un triangle rectangle ; l'arbre en forme un autre, plus grand.

Indice 2

Les rayons du soleil sont parallèles : cela donne deux droites parallèles.

Voir la correction pas à pas

On modélise : le sommet de l'arbre, le pied de l'arbre et le bout de son ombre forment un grand triangle. Le bâton et son ombre forment un petit triangle de même forme. Si l'on imagine le bâton placé dans l'ombre de l'arbre, au point où son ombre finit au même endroit, on obtient deux triangles emboîtés, car les rayons sont parallèles et le bâton est parallèle à l'arbre.
On écrit les rapports : $\frac{\text{hauteur du bâton}}{\text{hauteur de l'arbre}}=\frac{\text{ombre du bâton}}{\text{ombre de l'arbre}}$ .
On remplace : $\frac{1{,}5}{h}=\frac{2}{12}$ .
Produit en croix : $2\times h = 1{,}5\times 12 = 18$ .
Donc $h=\frac{18}{2}=9$ m.

L'arbre mesure $9$ m. Contrôle : l'ombre de l'arbre est $6$ fois plus longue que celle du bâton, et $1{,}5\times 6 = 9$ . Une légende raconte que Thalès aurait mesuré une pyramide de cette façon ³.

Exercice 5 Configuration papillon

★★☆Environ 8 min

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $O$ , avec $O$ entre $A$ et $B$ et entre $C$ et $D$ . Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.

On donne $OA = 4$ cm, $OB = 10$ cm et $AC = 6$ cm.

Calcule la longueur $BD$ en cm.

Indice 1

Les deux triangles à comparer sont $OAC$ et $OBD$ .

Indice 2

Le rapport utile est $\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}$ .

Voir la correction pas à pas

On repère la configuration papillon : les triangles $OAC$ et $OBD$ se touchent en $O$ et $(AC)\parallel(BD)$ ¹.
On écrit les rapports égaux : $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$ .
On garde les deux rapports utiles : $\frac{4}{10}=\frac{6}{BD}$ .
Produit en croix : $4\times BD = 10\times 6 = 60$ .
On divise : $BD = \frac{60}{4}=15$ cm.

$BD = 15$ cm. Le grand triangle $OBD$ est $2{,}5$ fois plus grand que $OAC$ : $\frac{10}{4}=2{,}5$ et $6\times 2{,}5=15$ .

Exercice 6 Calculer la partie restante d'un côté

★★☆Environ 8 min

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est sur $[AB]$ , $N$ est sur $[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$ .

On donne $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm et $AN = 5$ cm.

Calcule la longueur $NC$ en cm.

Indice 1

Commence par calculer $AB$ à partir de $AM$ et $MB$ .

Indice 2

Trouve ensuite $AC$ , puis déduis-en $NC$ par soustraction.

Voir la correction pas à pas

On calcule le côté entier : $AB = AM + MB = 4 + 2 = 6$ cm.
Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ , soit $\frac{4}{6}=\frac{5}{AC}$ .
Produit en croix : $4\times AC = 6\times 5 = 30$ , donc $AC = 7{,}5$ cm.
$N$ est entre $A$ et $C$ : $NC = AC - AN = 7{,}5 - 5 = 2{,}5$ cm.

$NC = 2{,}5$ cm. Cohérence : $\frac{MB}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et $\frac{NC}{AC}=\frac{2{,}5}{7{,}5}=\frac{1}{3}$ .

Exercice 7 Une équation avec Thalès

★★★Environ 10 min

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est sur $[AB]$ , $N$ est sur $[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$ .

On donne $AM = x$ cm, $MB = 2$ cm, $AN = 3$ cm et $NC = 1{,}5$ cm.

Calcule la valeur de $x$ en cm.

Indice 1

Exprime $AB$ et $AC$ en fonction des données : $AB = x + 2$ et $AC = 3 + 1{,}5$ .

Indice 2

Tu obtiens une équation d'inconnue $x$ : résous-la par produit en croix.

Voir la correction pas à pas

On exprime les côtés entiers : $AB = x + 2$ et $AC = 3 + 1{,}5 = 4{,}5$ cm.
Thalès : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ , soit $\frac{x}{x+2}=\frac{3}{4{,}5}$ .
On simplifie : $\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3}$ , donc $\frac{x}{x+2}=\frac{2}{3}$ .
Produit en croix : $3x = 2(x+2) = 2x + 4$ .
On isole $x$ : $3x - 2x = 4$ , donc $x = 4$ cm.

$x = 4$ cm. Vérification : $AB = 6$ cm, $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3}$ : les deux rapports sont bien égaux.

Exercice 8 L'échelle et la barre horizontale

★★★Environ 12 min

Un mur vertical est perpendiculaire au sol horizontal. Une échelle est posée contre le mur : son sommet est en $S$ sur le mur, son pied en $P$ sur le sol. Le pied du mur est le point $H$ .

On donne $SH = 3{,}6$ m et $HP = 1{,}5$ m. Une barre horizontale relie le point $M$ du mur au point $N$ de l'échelle, avec $SM = 1{,}2$ m. La barre $(MN)$ est parallèle au sol $(HP)$ .

Calcule la longueur $SN$ de l'échelle jusqu'à la barre, en m.

Indice 1

Le triangle $SHP$ est rectangle en $H$ : utilise Pythagore pour trouver $SP$ .

Indice 2

Applique ensuite Thalès avec $\frac{SM}{SH}=\frac{SN}{SP}$ .

Voir la correction pas à pas

Le triangle $SHP$ est rectangle en $H$ (mur perpendiculaire au sol). Pythagore : $SP^2 = SH^2 + HP^2 = 3{,}6^2 + 1{,}5^2 = 12{,}96 + 2{,}25 = 15{,}21$ .
On en déduit $SP = \sqrt{15{,}21} = 3{,}9$ m.
$(MN)\parallel(HP)$ , $M$ est sur $[SH]$ et $N$ sur $[SP]$ : Thalès donne $\frac{SM}{SH}=\frac{SN}{SP}$ , soit $\frac{1{,}2}{3{,}6}=\frac{SN}{3{,}9}$ .
On simplifie : $\frac{1{,}2}{3{,}6}=\frac{1}{3}$ .
Donc $SN = \frac{3{,}9}{3}=1{,}3$ m.

$SN = 1{,}3$ m. Ce problème enchaîne deux théorèmes : Pythagore pour le côté inconnu, Thalès pour la barre. Contrôle : $SN < SP$ , ce qui est logique puisque $N$ est sur le segment $[SP]$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser Thalès ou Pythagore ?

Regarde les données de l'énoncé. S'il y a un angle droit et que tu cherches un côté du triangle rectangle, c'est Pythagore. S'il y a deux droites parallèles qui coupent les côtés d'un triangle, c'est Thalès. Certains problèmes, comme celui de l'échelle, utilisent les deux à la suite.

Dans quel ordre écrire les rapports de Thalès ?

Choisis un ordre et garde-le des deux côtés du signe égal. Par exemple, mets toujours le petit triangle au numérateur et le grand au dénominateur : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ . Si tu inverses un seul rapport, ton résultat sera faux.

Faut-il écrire les trois rapports ?

On les écrit souvent tous les trois pour montrer qu'ils sont égaux, mais le calcul n'en utilise que deux : celui qui contient l'inconnue et un rapport dont les deux longueurs sont connues. Le troisième ne sert que si tu en as besoin pour une autre question.

Sources

Focus n°3 : l'introduction du théorème de Thalès en 4ème, en 3ème, Académie de Toulouse. Consulté le 9 novembre 2026.
Proportionnalité et géométrie plane au cycle 4, Académie de Toulouse. Consulté le 9 novembre 2026.
Théorème de Thalès, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Thalès, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Exercice 1 Calculer un côté entier

Exercice 2 Calculer la longueur de la parallèle

Exercice 3 Calculer un petit côté

Exercice 4 La hauteur d'un arbre grâce aux ombres

Exercice 5 Configuration papillon

Exercice 6 Calculer la partie restante d'un côté

Exercice 7 Une équation avec Thalès

Exercice 8 L'échelle et la barre horizontale

Les questions qu'on se pose

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