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Mathématiques · CAPCAP

Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de CAP

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; pour un angle aigu choisi, on distingue le côté opposé et le côté adjacent.
  • sin⁡=opposeˊhypoteˊnuse\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, cos⁡=adjacenthypoteˊnuse\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, tan⁡=opposeˊadjacent\tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.
  • Pour trouver une longueur, on écrit le rapport adapté puis on résout l'équation ; pour trouver un angle, on utilise les touches sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} ou tan⁡−1\tan^{-1} de la calculatrice.
  • Calculatrice en mode degré ; les deux angles aigus ont pour somme 90°.

Introduction : à quoi sert la trigonométrie ?

Un menuisier doit connaître l'inclinaison d'une rampe. Un couvreur veut savoir de quelle hauteur monte un toit. Un électricien cherche la longueur d'un câble tendu entre deux points. Dans tous ces cas, tu peux mesurer certaines longueurs, mais pas toutes. La trigonométrie répond à ce problème : elle relie les longueurs des côtés d'un triangle aux mesures de ses angles 6. Elle sert en géométrie, mais aussi en navigation et pour des calculs de position et de distance 6.

Au programme du CAP, l'objectif est précis : savoir déterminer, dans un triangle rectangle, la mesure d'un angle en degré ou la longueur d'un côté 13. Tu as déjà vu le théorème de Pythagore, qui permet de trouver un côté quand on connaît les deux autres. La trigonométrie complète cet outil : elle permet de trouver un côté ou un angle quand on connaît un angle aigu et un côté, ou bien deux côtés et qu'on cherche un angle.

Dans ce cours, tu vas apprendre à nommer les côtés, à connaître trois rapports (sinus, cosinus, tangente), à bien utiliser ta calculatrice, puis à suivre une méthode sûre pour chaque type de problème. Les exercices à la fin te permettent de t'entraîner avec des corrections détaillées.

Rappels : le triangle rectangle et son vocabulaire

Pour la suite, nous prenons toujours le même triangle : ABC rectangle en A. L'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est le côté [BC][BC]. Les deux autres côtés, [AB][AB] et [AC][AC], touchent l'angle droit 5.

Triangle ABC rectangle en ATriangle rectangle ABC avec l'angle droit en A, AB = 4 cm, AC = 3 cm et l'hypoténuse BC = 5 cm.4 cm3 cm5 cmABC
Triangle ABC rectangle en A · Pour l'angle B : AB est adjacent, AC est opposé, BC est l'hypoténuse.

Pourquoi des rapports qui ne dépendent que de l'angle

Dessine deux triangles rectangles, l'un petit, l'autre grand, avec le même angle aigu de 40∘40^\circ. Ils ont la même forme : l'un est un agrandissement de l'autre. On dit qu'ils sont semblables. Deux triangles rectangles qui ont un même angle aigu sont semblables 5. Tu connais déjà ce principe grâce au théorème de Thalès : les longueurs sont proportionnelles.

Exemple concret : dans un triangle rectangle ayant un angle de 30∘30^\circ, le côté opposé à cet angle vaut toujours la moitié de l'hypoténuse (nous le démontrerons plus loin). Que l'hypoténuse mesure 2 cm ou 20 m, le rapport reste 12\frac{1}{2}. La calculatrice sait calculer ces rapports pour n'importe quel angle : tu n'as pas à les mesurer toi-même.

Sinus, cosinus et tangente

Choisir le bon rapport
RapportCôtés utilisésFormule
Sinusopposé et hypoténuseopposé / hypoténuse
Cosinusadjacent et hypoténuseadjacent / hypoténuse
Tangenteopposé et adjacentopposé / adjacent
Choisir le bon rapport · Les deux côtés qui interviennent dans le problème déterminent le rapport.

Utiliser la calculatrice

La calculatrice donne la valeur de sin⁡\sin, cos⁡\cos ou tan⁡\tan d'un angle, et fait aussi le travail inverse. Avant tout calcul, vérifie le mode : l'écran doit indiquer que les angles sont en degrés (souvent « DEG » ou « D »). En mode radian ou grade, tes résultats seront faux, même avec les bons calculs.

Calculer la longueur d'un côté

Calculer un côté en quatre étapesQuatre étapes : schéma, nommer les côtés, choisir le rapport, résoudre.1SchémaDessine et marque l'angle donné2NommerHypoténuse, opposé, adjacent3ChoisirSinus, cosinus ou tangente4RésoudreIsole l'inconnue, écris l'unité
  1. SchémaDessine et marque l'angle donné
  2. NommerHypoténuse, opposé, adjacent
  3. ChoisirSinus, cosinus ou tangente
  4. RésoudreIsole l'inconnue, écris l'unité
Calculer un côté en quatre étapes

Calculer la mesure d'un angle

Les angles particuliers : 30°, 45° et 60°

Pour trois angles, on peut trouver les rapports exacts sans calculatrice, grâce à deux figures simples. Cela aide à vérifier un résultat de calculatrice.

Démonstration · Le cas de 45°

Un triangle rectangle avec un angle de 45∘45^\circ a deux angles aigus égaux : il est isocèle, ses deux côtés de l'angle droit ont la même longueur. On peut les prendre égaux à 1 6. Par Pythagore, l'hypoténuse vaut 12+12=2\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} 6. Donc :

sin⁡45∘=12=22cos⁡45∘=22tan⁡45∘=11=1\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \tan 45^\circ = \frac{1}{1} = 1

Démonstration · Les cas de 30° et 60°

On part d'un triangle équilatéral de côté 2, dont les angles mesurent tous 60∘60^\circ 6. On le coupe en deux par une hauteur : on obtient un triangle rectangle d'angles 30∘30^\circ et 60∘60^\circ. Son plus petit côté vaut la moitié du côté du triangle équilatéral, soit 1 6. Le troisième côté vaut, d'après Pythagore, 22−12=3\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} 6. L'hypoténuse mesure 2. Pour l'angle de 30∘30^\circ, le côté opposé est 1 et le côté adjacent est 3\sqrt{3} :

sin⁡30∘=12cos⁡30∘=32tan⁡30∘=13=33\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Pour l'angle de 60∘60^\circ, c'est l'inverse : opposé 3\sqrt{3}, adjacent 1.

sin⁡60∘=32cos⁡60∘=12tan⁡60∘=3\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}

Valeurs exactes pour 30°, 45° et 60°
AngleSinusCosinusTangente
30°1/2√3/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
Valeurs exactes pour 30°, 45° et 60° · Ces valeurs se retrouvent avec un triangle équilatéral coupé en deux et un triangle isocèle rectangle.

Erreurs fréquentes et problèmes de la vie professionnelle

Dans les métiers, la trigonométrie apparaît dès qu'une pente, un toit, une rampe, une échelle ou un câble est en jeu. Un énoncé de problème se ramène presque toujours à un triangle rectangle que l'on dessine soi-même : le sol et le mur forment l'angle droit, l'échelle est l'hypoténuse. Prends l'habitude de faire un schéma, d'y noter les données, et de repérer l'angle utile.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un côté avec le sinus

★☆☆Environ 5 min

Le triangle ABC est rectangle en A. On donne B^=35∘\widehat{B} = 35^\circ et BC=10BC = 10 cm. Calcule la longueur ACAC, arrondie au centième de cm.

Indice 1

Par rapport à l'angle B, le côté [AC] est le côté opposé.

Indice 2

Le côté connu est l'hypoténuse.

Voir la correction pas à pas

  1. On repère l'angle B : le côté [AC] est opposé, le côté [BC] est l'hypoténuse.

  2. Opposé et hypoténuse : on utilise le sinus, donc sin⁡35∘=AC10\sin 35^\circ = \dfrac{AC}{10}.

  3. On isole AC : AC=10×sin⁡35∘AC = 10 \times \sin 35^\circ.

  4. Avec la calculatrice en mode degré : AC≈5,74AC \approx 5{,}74 cm.

Le côté [AC][AC] mesure environ 5,74 cm. Il est bien plus court que l'hypoténuse de 10 cm.

Exercice 2 Calculer un angle avec le cosinus

★☆☆Environ 5 min

Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB=6AB = 6 cm et BC=10BC = 10 cm. Calcule la mesure de l'angle B^\widehat{B}, arrondie au centième de degré.

Indice 1

Par rapport à B, le côté [AB] est adjacent.

Indice 2

Utilise la touche cos⁡−1\cos^{-1} à la fin.

Voir la correction pas à pas

  1. Par rapport à B : [AB] est adjacent, [BC] est l'hypoténuse.

  2. Adjacent et hypoténuse : cosinus, donc cos⁡B^=610=0,6\cos \widehat{B} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6.

  3. On cherche l'angle : B^=cos⁡−1(0,6)\widehat{B} = \cos^{-1}(0{,}6).

  4. La calculatrice donne B^≈53,13∘\widehat{B} \approx 53{,}13^\circ.

L'angle B^\widehat{B} mesure environ 53,13°. L'angle C^\widehat{C} mesure alors 90−53,13=36,87∘90 - 53{,}13 = 36{,}87^\circ.

Exercice 3 La hauteur atteinte par une échelle

★★☆Environ 8 min

Une échelle de 4 m est posée contre un mur vertical sur un sol horizontal. Elle forme un angle de 65∘65^\circ avec le sol. À quelle hauteur du sol l'échelle touche-t-elle le mur ? Arrondis au centième de mètre.

Indice 1

Fais un schéma : le mur et le sol forment l'angle droit.

Indice 2

L'échelle est l'hypoténuse ; la hauteur est le côté opposé à l'angle de 65°.

Voir la correction pas à pas

  1. On dessine un triangle rectangle : sol, mur, échelle. L'échelle est l'hypoténuse (4 m).

  2. La hauteur hh est le côté opposé à l'angle de 65∘65^\circ ; on connaît l'hypoténuse : sinus.

  3. On écrit sin⁡65∘=h4\sin 65^\circ = \dfrac{h}{4}.

  4. On isole hh : h=4×sin⁡65∘≈3,63h = 4 \times \sin 65^\circ \approx 3{,}63 m.

L'échelle touche le mur à environ 3,63 m de hauteur, ce qui est inférieur à sa longueur de 4 m.

Exercice 4 Retrouver l'hypoténuse

★★★Environ 10 min

Le triangle KLM est rectangle en K. On donne KM=8KM = 8 cm et M^=40∘\widehat{M} = 40^\circ. Calcule la longueur LMLM de l'hypoténuse, arrondie au centième de cm. Vérifie ensuite ton résultat avec le bon sens.

Indice 1

Par rapport à M, le côté [KM] est adjacent.

Indice 2

L'inconnue sera au dénominateur : tu devras diviser.

Voir la correction pas à pas

  1. Par rapport à M : [KM] est adjacent, [LM] est l'hypoténuse.

  2. Adjacent et hypoténuse : cosinus, donc cos⁡40∘=8LM\cos 40^\circ = \dfrac{8}{LM}.

  3. Produit en croix : LM×cos⁡40∘=8LM \times \cos 40^\circ = 8, donc LM=8cos⁡40∘LM = \dfrac{8}{\cos 40^\circ}.

  4. La calculatrice donne LM≈10,44LM \approx 10{,}44 cm.

  5. Contrôle : 10,44 cm est plus long que 8 cm, ce qui est normal pour une hypoténuse.

L'hypoténuse [LM][LM] mesure environ 10,44 cm.

Quiz

8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté situé en face de l'angle droit ?

  2. Dans le triangle ABC rectangle en A, quelle égalité est vraie pour l'angle B^\widehat{B} ?

  3. Pour calculer un angle à partir de son cosinus, quelle touche de la calculatrice faut-il utiliser ?

  4. L'hypoténuse est toujours le plus long côté d'un triangle rectangle.

  5. Un triangle rectangle a une hypoténuse de 12 cm et un angle aigu de 30∘30^\circ. Quelle est la longueur, en cm, du côté opposé à cet angle ?

  6. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle mesure 3 cm et le côté adjacent 4 cm. Quelle est la mesure de cet angle, arrondie au centième de degré ?

  7. L'un des angles aigus d'un triangle rectangle mesure 35∘35^\circ. Que mesure l'autre angle aigu ?

  8. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu peut valoir 1,2.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quel rapport (sinus, cosinus ou tangente) choisir ?

Repère l'angle de travail, puis les deux côtés concernés : celui que tu connais et celui que tu cherches (ou les deux que tu connais, si tu cherches l'angle). Opposé et hypoténuse : sinus. Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et adjacent : tangente. Le mot SOH-CAH-TOA aide à s'en souvenir.

Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle un résultat absurde ?

La cause la plus fréquente est le mode : elle est réglée en radians ou en grades au lieu des degrés. Vérifie l'indicateur « DEG » à l'écran. Contrôle aussi que tu as utilisé la bonne touche : sin⁡\sin pour partir d'un angle, sin⁡−1\sin^{-1} pour retrouver un angle.

Quelle différence entre Pythagore et la trigonométrie ?

Pythagore relie les trois longueurs d'un triangle rectangle et ne sert que si deux côtés sont connus. La trigonométrie relie les longueurs aux angles : elle est nécessaire dès qu'un angle (autre que l'angle droit) est donné ou demandé.

Faut-il apprendre les valeurs de 30°, 45° et 60° ?

Ce n'est pas indispensable pour calculer, puisque la calculatrice donne ces valeurs. Savoir les retrouver est utile pour contrôler un résultat : par exemple, le sinus de 30∘30^\circ vaut 12\frac{1}{2}, donc le côté opposé à cet angle est la moitié de l'hypoténuse.

Peut-on utiliser la trigonométrie dans un triangle qui n'est pas rectangle ?

Les trois rapports de ce cours ne s'appliquent que dans un triangle rectangle. Si le triangle n'est pas rectangle, on peut parfois en faire apparaître un en traçant une hauteur, ce qui ramène le problème à deux triangles rectangles.

Sources

Programme visé : Programme officiel CAP Mathématiques – Trigonométrie dans le triangle rectangle · Ministère de l'Éducation nationale

  1. Programme officiel CAP Mathématiques – Trigonométrie dans le triangle rectangle, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
  2. Apprendre la trigonométrie, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
  3. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle – CAP, Sesamath. Consulté le 9 novembre 2026.
  4. Trigonométrie – Définitions et calculs, Sesamath. Consulté le 9 novembre 2026.
  5. Triangle rectangle, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
  6. Fonction trigonométrique, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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