Trigonométrie dans le triangle rectangle : exercices de CAP

On repère les côtés par rapport à l'angle $\widehat{B}$ : $[BC]$ est l'hypoténuse (en face de l'angle droit en $A$) et $[AB]$ est le côté adjacent.

Les côtés connus sont l'adjacent et l'hypoténuse, donc on utilise le cosinus : $\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$.

On remplace : $\cos \widehat{B} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$.

On cherche l'angle avec la touche cos⁻¹ : $\widehat{B} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ$.

Par rapport à l'angle $\widehat{G}$, $[FG]$ est l'hypoténuse et $[EF]$ est le côté opposé.

On utilise le sinus : $\sin \widehat{G} = \dfrac{EF}{FG}$.

On remplace : $\sin 30^\circ = \dfrac{EF}{12}$.

On isole $EF$ : $EF = 12 \times \sin 30^\circ = 12 \times 0{,}5 = 6$ cm.

Par rapport à l'angle $\widehat{A}$, $[AC]$ est le côté adjacent et $[BC]$ le côté opposé.

On utilise la tangente : $\tan \widehat{A} = \dfrac{BC}{AC}$.

On remplace : $\tan 40^\circ = \dfrac{BC}{5}$.

On isole $BC$ : $BC = 5 \times \tan 40^\circ \approx 5 \times 0{,}8391 \approx 4{,}20$ cm.

Par rapport à l'angle $\widehat{S}$, $[ST]$ est l'hypoténuse (en face de l'angle droit en $R$) et $[RS]$ est le côté adjacent.

On utilise le cosinus : $\cos \widehat{S} = \dfrac{RS}{ST}$, donc $\cos 35^\circ = \dfrac{8}{ST}$.

On isole $ST$ : $ST = \dfrac{8}{\cos 35^\circ}$.

On calcule : $\cos 35^\circ \approx 0{,}8192$, donc $ST \approx \dfrac{8}{0{,}8192} \approx 9{,}77$ cm.

Contrôle : l'hypoténuse (9,77 cm) est bien plus longue que l'autre côté connu (8 cm).

Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle formé est rectangle au pied du mur. L'échelle, en face de l'angle droit, est l'hypoténuse (4 m).

Notons $h$ la hauteur cherchée. Par rapport à l'angle de 70° au sol, $h$ est le côté opposé.

On utilise le sinus : $\sin 70^\circ = \dfrac{h}{4}$.

On isole $h$ : $h = 4 \times \sin 70^\circ \approx 4 \times 0{,}9397 \approx 3{,}76$ m.

Le triangle est rectangle : le dénivelé est vertical, la distance est horizontale. Par rapport à l'angle $\alpha$ de la rampe avec le sol, le côté opposé vaut 0,5 m et le côté adjacent vaut 6 m.

Les deux côtés connus sont l'opposé et l'adjacent : on utilise la tangente. $\tan \alpha = \dfrac{0{,}5}{6} \approx 0{,}0833$.

On cherche l'angle : $\alpha = \tan^{-1}(0{,}0833) \approx 4{,}76^\circ$.

Le triangle est rectangle en $B$ : $AC$ est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore, $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

Donc $AC = \sqrt{169} = 13$ cm.

Pour l'angle $\widehat{A}$, $[BC]$ est le côté opposé et $[AB]$ le côté adjacent : $\tan \widehat{A} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$.

On en déduit $\widehat{A} = \tan^{-1}(2{,}4) \approx 67{,}38^\circ$.

Vérification avec le sinus : $\sin \widehat{A} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{12}{13} \approx 0{,}9231$, et $\sin^{-1}(0{,}9231) \approx 67{,}38^\circ$. Les deux méthodes donnent le même angle.

On trace l'horizontale passant par les yeux de l'élève. Elle forme avec la verticale de l'arbre un angle droit : le triangle est rectangle. Le côté adjacent à l'angle de 52° vaut 20 m.

Notons $x$ la hauteur de l'arbre au-dessus des yeux : c'est le côté opposé. $\tan 52^\circ = \dfrac{x}{20}$.

On isole $x$ : $x = 20 \times \tan 52^\circ \approx 20 \times 1{,}2799 \approx 25{,}60$ m.

Cette hauteur part des yeux de l'élève : on ajoute $1{,}60$ m. Hauteur de l'arbre $\approx 25{,}60 + 1{,}60 = 27{,}20$ m.