Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Variations et extremums : cours de Première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le signe de f′ sur un intervalle donne le sens de variation de f : f′>0 → croissante, f′<0 → décroissante, f′=0 partout → constante.2
Un extremum local est un maximum ou un minimum atteint autour d'un point ; en un point intérieur où f est dérivable, il impose f′(a)=0.3
La réciproque est fausse : f′(a)=0 ne suffit pas. Il faut que f′change de signe en a.3
Méthode : dériver, étudier le signe de f′, dresser le tableau de variations, lire les extremums et calculer leurs valeurs avec f.
Le programme de la classe porte sur les variations et les extremums des polynômes jusqu'au degré 3.1
Pourquoi étudier les variations d'une fonction ?
Un fabricant veut connaître le nombre d'objets à produire pour que son bénéfice soit le plus grand possible. Un ingénieur cherche la forme d'une pièce qui résiste le mieux. Un élève veut savoir à quel moment une température cesse de monter pour commencer à baisser. Dans chaque cas, la question est la même : où la fonction monte-t-elle, où descend-elle, et où atteint-elle sa valeur la plus haute ou la plus basse ?
Ce cours répond à cette question avec un outil que tu connais déjà : la dérivée. Tu as vu le taux de variation, le nombre dérivé, la tangente à une courbe et la fonction dérivée. Ici, tu vas t'en servir pour dresser un tableau de variations et repérer les extremums.
Le programme de ta classe fixe deux objectifs : lire sur un graphique le signe d'une fonction ou son tableau de variations, puis étudier par le calcul les variations et les extremums d'un polynôme qui ne dépasse pas le degré 3.1 Autrement dit, tu dois savoir interpréter une courbe, mais aussi mener une étude complète avec la dérivée.
Fonction croissante, décroissante, constante
Sur un graphique, une fonction croissante se lit de gauche à droite : la courbe monte. Une fonction décroissante : la courbe descend. Une fonction constante : la courbe est un segment horizontal. Cette lecture visuelle est utile, mais elle reste approximative. Le calcul avec la dérivée donne une réponse exacte.
Étudier le signe de la dérivée d'un polynôme
Pour appliquer la propriété précédente, il faut calculer f′ puis déterminer son signe. Rappelons les dérivées usuelles que tu connais :
la dérivée d'une constante est 0 ;
la dérivée de ax+b est a ;
la dérivée de x2 est 2x ;
la dérivée de x3 est 3x2.
Et on dérive une somme terme à terme, en gardant les coefficients multiplicateurs.
Le tableau de variations
Tableau de variations de f(x) = x³ − 3x + 1
Intervalle
x < −1
−1 < x < 1
x > 1
Signe de f'(x)
+
−
+
Variations de f
croissante
décroissante
croissante
Valeur remarquable
f(−1) = 3 (maximum local)
—
f(1) = −1 (minimum local)
Tableau de variations de f(x) = x³ − 3x + 1 · Le signe de f' détermine les flèches ; les valeurs sont calculées avec f.
Pour ne rien oublier, rédige toujours dans cet ordre : dérivée, signe de la dérivée, tableau, conclusion avec les valeurs calculées par f (jamais par f′).
Les extremums : maximum et minimum
Courbe de f(x) = x³ − 3x : sommet et creux · En ces deux points, la tangente est horizontale et la dérivée change de signe.
Dérivée nulle et extremum : la condition et sa réciproque
Cette propriété sert à trouver les candidats : pour chercher les extremums, on commence par résoudre f′(x)=0. Mais attention, elle ne dit pas que tout zéro de la dérivée donne un extremum.
Méthode complète pour une fonction polynôme
DériverCalculer f'(x) terme à terme.
Signe de f'Racines, puis signe sur chaque intervalle.
TableauReporter le signe et les flèches.
ValeursCalculer f aux changements de signe.
ConclureNature, position et valeur des extremums.
Étudier les variations et les extremums · Cette démarche s'applique aux polynômes de degré au plus 3.
Lire un tableau de variations et une courbe
Le programme prévoit aussi que tu saches lire sur une courbe le signe d'une fonction et en déduire son tableau de variations.1 Voici comment procéder à partir d'une courbe.
Variations : repère les endroits où la courbe passe d'une montée à une descente (sommet) ou d'une descente à une montée (creux). Entre deux de ces points, le sens de variation est constant.
Extremums : lis l'ordonnée du sommet ou du creux, pas son abscisse. L'abscisse dit où l'extremum est atteint ; l'ordonnée donne sa valeur.
Signe de f : f(x)>0 là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, f(x)<0 là où elle est en dessous.
Applications : optimiser une situation
Beaucoup de problèmes concrets se ramènent à chercher un maximum ou un minimum : un bénéfice maximal, un coût minimal, une aire maximale. On modélise par une fonction polynôme, puis on applique la méthode.
Exercices corrigés
Exercice 1 Minimum d'une parabole
★☆☆Environ 8 min
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x2−4x+1.
Calcule f′(x).
Étudie le signe de f′ et dresse le tableau de variations de f.
Donne l'extremum de f : sa nature et sa valeur.
Indice 1
La dérivée de x2 est 2x et celle de −4x est −4.
Indice 2
Résous f′(x)=0, puis calcule f en cette valeur.
Voir la correction pas à pas
On dérive terme à terme : f′(x)=2x−4.
On résout 2x−4=0 : x=2. Comme le coefficient 2 est positif, f′(x)<0 pour x<2 et f′(x)>0 pour x>2.
Tableau : f est décroissante sur ]−∞;2] puis croissante sur [2;+∞[.
On calcule f(2)=22−4×2+1=4−8+1=−3.
La dérivée passe de − à + : f admet un minimum égal à −3, atteint pour x=2.
Le minimum de f est −3, atteint pour x=2. Attention à ne pas répondre « 2 » : c'est l'abscisse, pas la valeur de l'extremum.
Exercice 2 Extremums d'un polynôme de degré 3
★★☆Environ 15 min
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x3−12x+5.
Calcule f′(x) et factorise-la.
Dresse le tableau de variations de f.
Détermine la valeur du maximum local de f.
Indice 1
Factorise 3x2−12 en 3(x2−4) puis reconnais une identité remarquable.
Indice 2
Le maximum local se situe là où f′ passe de + à −.
Voir la correction pas à pas
On dérive : f′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2).
Les racines sont −2 et 2. Le coefficient de x2 est 3>0 : f′>0 pour x<−2, f′<0 entre −2 et 2, f′>0 pour x>2.
Tableau : f croissante sur ]−∞;−2], décroissante sur [−2;2], croissante sur [2;+∞[.
On calcule f(−2)=(−2)3−12×(−2)+5=−8+24+5=21 et f(2)=8−24+5=−11.
En −2, f′ passe de + à − : maximum local égal à 21. En 2, f′ passe de − à + : minimum local égal à −11.
Le maximum local de f vaut 21 (en x=−2) et le minimum local vaut −11 (en x=2). Ce sont des extremums locaux : f n'a ni maximum ni minimum sur R entier.
Exercice 3 Optimiser un bénéfice
★★★Environ 15 min
Un artisan fabrique x objets par jour, avec 0≤x≤60. Son bénéfice journalier, en euros, est modélisé par B(x)=−x2+60x−200.
Calcule B′(x) et étudie son signe sur [0;60].
Dresse le tableau de variations de B.
Pour quel nombre d'objets le bénéfice est-il maximal, et quel est ce bénéfice maximal en euros ?
Indice 1
B′(x)=−2x+60 : cherche pour quelle valeur de x elle s'annule.
Indice 2
Calcule B en cette valeur et compare avec B(0) et B(60).
Voir la correction pas à pas
On dérive : B′(x)=−2x+60.
−2x+60=0 donne x=30. Le coefficient −2 est négatif : B′(x)>0 pour x<30 et B′(x)<0 pour x>30.
Tableau : B croissante sur [0;30] puis décroissante sur [30;60].
On calcule B(30)=−302+60×30−200=−900+1800−200=700.
Contrôle aux bornes : B(0)=−200 et B(60)=−3600+3600−200=−200, donc plus petits que 700.
Conclusion : le maximum de B sur [0;60] est atteint pour x=30.
L'artisan réalise un bénéfice maximal de 700 euros en fabriquant 30 objets par jour. Aux deux bornes de l'intervalle, il perd 200 euros.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Une dérivée négative signifie que les tangentes descendent : f est décroissante.2 La réponse « négative » est tentante, mais le signe de f′ renseigne sur la pente, pas sur le signe des valeurs de f. « Constante » demanderait f′=0.
C'est faux : l'annulation de la dérivée est seulement nécessaire.3 Avec g(x)=x3, on a g′(0)=0 mais g′ ne change pas de signe, donc il n'y a pas d'extremum en 0. Il faut un changement de signe de f′.
On a f′(x)=2x−6, qui s'annule en x=3 en passant de − à +. Le minimum est f(3)=9−18+2=−7. Répondre 3 serait donner l'abscisse du minimum, pas sa valeur.
Un changement de signe de f′ donne un extremum local.3 Avec + puis −, la courbe monte puis descend : c'est un sommet, donc un maximum local. Le minimum local correspond au passage de − à +.
La dérivée est 3x2−3=3(x−1)(x+1), positive avant −1, négative entre −1 et 1, positive après 1. Donc maximum local f(−1)=−1+3=2 et minimum local f(1)=1−3=−2. L'affirmation sur la croissance est fausse : entre −1 et 1, f′<0, donc f décroît.
On a f′(x)=−2x+4, qui s'annule en x=2, avec f′>0 avant et f′<0 après. Le maximum est f(2)=−4+8=4. La valeur 2 est l'abscisse du maximum, pas sa valeur.
La fonction monte puis descend : le point intermédiaire est un sommet, donc un maximum local, et le nombre inscrit est une valeur de f. Ce n'est pas une valeur de f′, qui vaudrait 0 en ce point, et ce n'est pas l'abscisse, qui figure dans la ligne des x.
On a h′(x)=3x2+1≥1>0 pour tout réel x. La dérivée ne s'annule jamais, donc h croît partout et n'a aucun extremum. Le minimum en 0 serait plausible à cause du cas de x2, mais ici h′(0)=1=0.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre un extremum local et un extremum sur tout l'intervalle ?
Un extremum local est la plus grande (ou plus petite) valeur de f seulement dans un petit voisinage du point. Un extremum sur un intervalle est la plus grande (ou plus petite) valeur sur tout l'intervalle. Un polynôme de degré 3 sur R a souvent des extremums locaux mais pas d'extremum sur R entier. Sur un intervalle fermé comme [0;60], compare les extremums locaux avec les valeurs aux bornes.
Pourquoi faut-il vérifier le changement de signe de la dérivée ?
Parce que f′(a)=0 est seulement une condition nécessaire à un extremum local intérieur.3 La courbe peut avoir une tangente horizontale sans changer de sens, comme x3 en 0. Le changement de signe de f′ prouve que la courbe passe de la montée à la descente (ou l'inverse), donc qu'il y a bien un sommet ou un creux.3
Comment savoir si un extremum est un maximum ou un minimum ?
Regarde le signe de f′ autour de la valeur où elle s'annule. De + vers − : la courbe monte puis descend, c'est un maximum local. De − vers + : elle descend puis monte, c'est un minimum local. Tu peux aussi lire les flèches du tableau de variations.
Que doit-on écrire pour avoir tous les points à l'évaluation ?
Écris les étapes dans l'ordre : domaine, calcul de f′, signe de f′ justifié (racines et règle ou nombre test), tableau de variations, valeurs de f aux changements de signe, puis une phrase de conclusion avec la nature, la position et la valeur de chaque extremum. Pense aux unités quand l'énoncé décrit une situation concrète. Le barème précis dépend de l'épreuve.
À quoi sert l'étude des variations dans la vie réelle ?
Elle permet d'optimiser : trouver un bénéfice maximal, un coût minimal, une aire maximale ou le moment d'une température record. On modélise la situation par une fonction, on dérive, on cherche le changement de signe de la dérivée, puis on traduit le résultat dans le contexte.