Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Variations et extremums : exercices corrigés de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour étudier les variations, on calcule $f'(x)$ , on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations.
Si $f'$ est positive sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f'$ est négative, $f$ y est décroissante.
Un extremum local apparaît là où $f'$ s'annule en changeant de signe : $f'(a)=0$ ne suffit pas.
Sur un intervalle fermé, compare toujours les valeurs aux bornes avec celles des points où $f'$ s'annule.

Comment utiliser ces exercices

En première technologique, tu dois savoir étudier les variations d'une fonction polynôme, jusqu'au degré 3, et en trouver les extremums.¹ Les exercices ci-dessous suivent cette démarche, en allant du plus simple au plus délicat. Essaie d'abord seul(e) sur papier, ouvre l'indice si tu bloques, puis compare avec la correction.

Les exercices

Exercice 1 Un minimum pour une parabole

★☆☆Environ 6 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+5$ .

Calcule $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ .
En quelle valeur de $x$ le minimum est-il atteint ? Quelle est sa valeur ?

Indice 1

La dérivée de $x^2$ est $2x$ et celle de $-6x$ est $-6$ .

Indice 2

$f'(x)$ est une fonction affine : elle change de signe quand elle s'annule.

Voir la correction pas à pas

Dérivée : $f'(x)=2x-6$ .
$f'(x)=0$ équivaut à $2x=6$ , donc $x=3$ .
Signe : $2x-6<0$ pour $x<3$ et $2x-6>0$ pour $x>3$ .
Variations : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$ .
Valeur : $f(3)=9-18+5=-4$ .
La dérivée s'annule en changeant de signe de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum, égal à $-4$ , atteint en $x=3$ .

Le minimum de $f$ vaut $-4$ et il est atteint en $x=3$ . Pour une parabole tournée vers le haut, le sommet est toujours ce minimum.

Exercice 2 Maximum et minimum locaux d'une fonction cubique

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x)=x^3-3x$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $f'(x)$ et factorise-la.
Dresse le tableau de variations de $f$ .
Détermine la valeur du maximum local de $f$ .

Indice 1

$3x^2-3=3(x^2-1)$ et $x^2-1=(x-1)(x+1)$ .

Indice 2

Une expression du second degré de la forme $3(x-1)(x+1)$ est négative entre ses deux racines.

Voir la correction pas à pas

Dérivée : $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ .
Les racines de $f'$ sont $-1$ et $1$ .
Signe : $f'(x)>0$ pour $x<-1$ , $f'(x)<0$ pour $-1<x<1$ , $f'(x)>0$ pour $x>1$ .
Variations : $f$ croît sur $]-\infty\,;-1]$ , décroît sur $[-1\,;1]$ , puis croît sur $[1\,;+\infty[$ .
Images : $f(-1)=-1+3=2$ et $f(1)=1-3=-2$ .
La dérivée passe de $+$ à $-$ en $-1$ : maximum local $2$ ; elle passe de $-$ à $+$ en $1$ : minimum local $-2$ .

Le maximum local vaut $2$ (en $x=-1$ ) et le minimum local vaut $-2$ (en $x=1$ ). Ce sont des extremums locaux : la fonction prend ensuite des valeurs plus grandes et plus petites.

Exercice 3 Extremums sur un intervalle fermé

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x)=x^2+4x$ définie sur l'intervalle $[-3\,;1]$ .

Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
Dresse le tableau de variations de $f$ sur $[-3\,;1]$ .
Donne le minimum et le maximum de $f$ sur cet intervalle.

Indice 1

Calcule aussi $f(-3)$ et $f(1)$ : les bornes comptent.

Indice 2

Le maximum est la plus grande des valeurs repérées dans le tableau.

Voir la correction pas à pas

Dérivée : $f'(x)=2x+4$ , qui s'annule pour $x=-2$ .
Signe : $f'(x)<0$ sur $[-3\,;-2[$ et $f'(x)>0$ sur $]-2\,;1]$ .
Variations : $f$ décroît sur $[-3\,;-2]$ puis croît sur $[-2\,;1]$ .
Images : $f(-3)=9-12=-3$ , $f(-2)=4-8=-4$ , $f(1)=1+4=5$ .
Le minimum est $-4$ , atteint en $x=-2$ .
Le maximum est $5$ , atteint à la borne $x=1$ , car $5>-3$ .

Sur $[-3\,;1]$ , le minimum vaut $-4$ et le maximum vaut $5$ . Ce maximum est atteint à une borne, là où la dérivée ne s'annule pas : sur un intervalle fermé, il faut toujours comparer avec les bornes.

Exercice 4 Deux extremums locaux d'un polynôme de degré 3

★★☆Environ 12 min

Soit $f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $f'(x)=6(x-1)(x-2)$ .
Dresse le tableau de variations de $f$ .
Calcule l'écart entre le maximum local et le minimum local de $f$ .

Indice 1

Factorise d'abord par 6 : $6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)$ .

Indice 2

Vérifie que $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ en développant.

Voir la correction pas à pas

Dérivée : $f'(x)=6x^2-18x+12$ .
Factorisation : $f'(x)=6(x^2-3x+2)$ et $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ , donc $f'(x)=6(x-1)(x-2)$ .
Signe : positif pour $x<1$ , négatif pour $1<x<2$ , positif pour $x>2$ (un trinôme dont le coefficient de $x^2$ est positif est négatif entre ses racines).
Variations : $f$ croît sur $]-\infty\,;1]$ , décroît sur $[1\,;2]$ , croît sur $[2\,;+\infty[$ .
Images : $f(1)=2-9+12+1=6$ et $f(2)=16-36+24+1=5$ .
Maximum local $6$ en $x=1$ , minimum local $5$ en $x=2$ ; l'écart vaut $6-5=1$ .

Le maximum local vaut $6$ , le minimum local vaut $5$ , et l'écart est $1$ . Les deux valeurs sont proches (6 et 5) : le tableau de variations permet de savoir sans hésiter laquelle est le maximum local et laquelle est le minimum local.

Exercice 5 Le rectangle d'aire maximale

★★☆Environ 12 min

On dispose de $40$ m de grillage pour construire un enclos rectangulaire. On note $x$ la largeur, en mètres, avec $0\leqslant x\leqslant 20$ .

Exprime la longueur en fonction de $x$ , puis l'aire $A(x)$ .
Étudie les variations de $A$ sur $[0\,;20]$ .
Quelle est l'aire maximale, en m² ? Quelle forme a alors l'enclos ?

Indice 1

Le périmètre vaut $2\times(\text{longueur}+\text{largeur})$ .

Indice 2

Développe $A(x)=x(20-x)$ avant de dériver.

Voir la correction pas à pas

Le demi-périmètre vaut $20$ , donc la longueur est $20-x$ .
Aire : $A(x)=x(20-x)=20x-x^2$ .
Dérivée : $A'(x)=20-2x$ , qui s'annule pour $x=10$ .
Signe : $A'(x)>0$ sur $[0\,;10[$ et $A'(x)<0$ sur $]10\,;20]$ .
Variations : $A$ croît sur $[0\,;10]$ puis décroît sur $[10\,;20]$ ; $A(0)=A(20)=0$ .
Maximum : $A(10)=10\times 10=100$ m². La longueur vaut aussi $20-10=10$ m : l'enclos est un carré.

L'aire maximale est de $100$ m², obtenue pour un carré de $10$ m de côté. Ce type de problème se résout toujours de la même façon : modéliser par une fonction, dériver, étudier le signe, conclure.

Exercice 6 Bénéfice maximal d'une entreprise

★★☆Environ 12 min

Une petite entreprise fabrique $x$ centaines d'objets par semaine, avec $0\leqslant x\leqslant 10$ . Son bénéfice, en milliers d'euros, est modélisé par $B(x)=-x^2+12x-20$ .

Calcule $B'(x)$ et dresse le tableau de variations de $B$ .
Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ?
Quel est ce bénéfice maximal, en milliers d'euros ? Compare-le aux valeurs aux bornes.

Indice 1

La dérivée de $-x^2$ est $-2x$ .

Indice 2

Calcule $B(0)$ et $B(10)$ pour vérifier que le maximum est bien en dehors des bornes.

Voir la correction pas à pas

Dérivée : $B'(x)=-2x+12$ .
$B'(x)=0$ équivaut à $x=6$ .
Signe : $B'(x)>0$ sur $[0\,;6[$ et $B'(x)<0$ sur $]6\,;10]$ .
Variations : $B$ croît sur $[0\,;6]$ puis décroît sur $[6\,;10]$ .
Images : $B(0)=-20$ , $B(6)=-36+72-20=16$ , $B(10)=-100+120-20=0$ .
Le bénéfice maximal est $16$ milliers d'euros, pour $6$ centaines d'objets, soit $600$ objets.

Le bénéfice est maximal, à $16$ milliers d'euros, pour $600$ objets par semaine. Produire davantage fait baisser le bénéfice : à $1\,000$ objets, il retombe à $0$ .

Exercice 7 Un point critique sans extremum

★★★Environ 12 min

Soit $f(x)=x^3+3x^2+3x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $f'(x)$ et montre que $f'(x)=3(x+1)^2$ .
Résous $f'(x)=0$ et étudie le signe de $f'(x)$ .
La fonction $f$ admet-elle un extremum local ? Justifie.

Indice 1

Factorise par 3 : $3x^2+6x+3=3(x^2+2x+1)$ .

Indice 2

Un carré est toujours positif ou nul.

Voir la correction pas à pas

Dérivée : $f'(x)=3x^2+6x+3$ .
Factorisation : $f'(x)=3(x^2+2x+1)=3(x+1)^2$ .
Équation : $f'(x)=0$ équivaut à $x=-1$ : c'est l'unique point critique.
Signe : un carré étant positif ou nul, $f'(x)\geqslant 0$ pour tout réel $x$ , avec $f'(x)>0$ si $x\neq -1$ .
Variations : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[-1\,;+\infty[$ , donc croissante sur $\mathbb{R}$ .
La dérivée s'annule en $-1$ sans changer de signe : il n'y a aucun extremum local. On a $f(-1)=0$ , mais la fonction prend des valeurs négatives avant et positives après.

La fonction $f$ n'a aucun extremum local, bien que $f'(-1)=0$ . Annuler la dérivée est nécessaire pour un extremum intérieur, mais ce n'est pas suffisant : il faut un changement de signe.³

Exercice 8 Trouver un paramètre à partir d'un extremum

★★★Environ 15 min

Soit $a$ un réel et $f(x)=x^3-6x^2+ax+1$ définie sur $\mathbb{R}$ . On sait que $f$ admet un extremum local en $x=3$ .

Exprime $f'(x)$ en fonction de $a$ .
Détermine la valeur de $a$ .
Pour cette valeur de $a$ , dresse le tableau de variations de $f$ et vérifie que l'extremum en $x=3$ est bien un minimum local.

Indice 1

Un extremum local en un point intérieur impose $f'(3)=0$ .³

Indice 2

Une fois $a$ trouvé, factorise $f'(x)$ : $1$ en est une racine évidente.

Voir la correction pas à pas

Dérivée : $f'(x)=3x^2-12x+a$ .
Condition : $f'(3)=0$ donne $27-36+a=0$ , donc $a=9$ .
Avec $a=9$ : $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$ .
Signe : positif pour $x<1$ , négatif pour $1<x<3$ , positif pour $x>3$ .
Variations : $f$ croît sur $]-\infty\,;1]$ , décroît sur $[1\,;3]$ , croît sur $[3\,;+\infty[$ .
Images : $f(1)=1-6+9+1=5$ et $f(3)=27-54+27+1=1$ . En $x=3$ , la dérivée passe de $-$ à $+$ : c'est un minimum local, égal à $1$ .

On trouve $a=9$ . En $x=3$ , $f$ atteint un minimum local égal à $1$ ; elle a aussi un maximum local égal à $5$ en $x=1$ . Vérifier le changement de signe après avoir trouvé $a$ est indispensable : la condition $f'(3)=0$ ne dit pas, seule, de quel type d'extremum il s'agit.

Les questions qu'on se pose

Si $f'(a)=0$, est-ce forcément un extremum ?

Non. Annuler la dérivée est une condition nécessaire pour un extremum local en un point intérieur,³ mais il faut aussi que la dérivée change de signe en $a$ .³ Pour $f(x)=(x+1)^3$ , la dérivée s'annule en $-1$ sans changer de signe, et il n'y a pas d'extremum. Dresse toujours le tableau de signes avant de conclure.

Pourquoi faut-il regarder les bornes de l'intervalle ?

Sur un intervalle fermé, le plus grand ou le plus petit des résultats peut se trouver à une extrémité, là où la dérivée ne s'annule pas. Dans l'exercice sur $x^2+4x$ avec $x\in[-3\,;1]$ , le maximum $5$ est atteint à la borne $x=1$ . Compare donc toujours les images des bornes et celles des points critiques.

Quelle différence entre un extremum local et un maximum sur tout l'intervalle ?

Un extremum local est la plus grande ou la plus petite valeur autour d'un point seulement. Pour $x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ , $2$ est un maximum local, mais la fonction prend des valeurs bien plus grandes ensuite. Pour trouver le maximum sur un intervalle précis, il faut comparer tous les candidats : points critiques et bornes.

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources mathématiques STI2D - Programme et dérivation, Éduscol STI. Consulté le 11 novembre 2026.
Extremum, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Calcul des variations, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Variations et extremums : exercices corrigés de 1re technologique

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Un minimum pour une parabole

Exercice 2 Maximum et minimum locaux d'une fonction cubique

Exercice 3 Extremums sur un intervalle fermé

Exercice 4 Deux extremums locaux d'un polynôme de degré 3

Exercice 5 Le rectangle d'aire maximale

Exercice 6 Bénéfice maximal d'une entreprise

Exercice 7 Un point critique sans extremum

Exercice 8 Trouver un paramètre à partir d'un extremum

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur