Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Variations et extremums : fiche de 1re technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Le signe de la dérivée donne le sens de variation : sur un intervalle, f croît ; , f décroît.
- Un extremum est une valeur maximale ou minimale de la fonction.
- Si f est dérivable et admet un extremum local à l'intérieur de son domaine, alors 3.
- La réciproque est fausse : il faut que change de signe en a pour conclure à un extremum local 3.
- Pour un polynôme de degré 3 au plus : dériver, étudier le signe, dresser le tableau, lire les extremums 1.
L'essentiel à retenir
En première technologique, on attend de toi que tu étudies les variations d'une fonction polynôme de degré 3 au plus et que tu trouves ses extremums 1. On te demande aussi de lire sur un graphique le signe d'une fonction ou son tableau de variations 1. Un seul outil sert de fil conducteur à cette fiche : la fonction dérivée.
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Un zéro de la dérivée est un point critique, et seul un changement de signe de prouve l'extremum local 23. Les réponses « extremum » ou « maximum » sont tentantes, mais en 0 montre qu'une dérivée nulle ne suffit pas. Une fonction constante aurait une dérivée nulle sur tout un intervalle, pas seulement en un point.
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Une dérivée négative ou nulle traduit une fonction décroissante. Croissante serait vrai avec . Le signe de f et le signe de sont deux choses distinctes : une fonction décroissante peut très bien être positive.
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C'est la condition nécessaire d'extremum local pour une fonction dérivable en un point intérieur du domaine 3. L'erreur serait de croire que la réciproque marche aussi : elle exige un changement de signe de la dérivée.
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On a , qui s'annule en . Comme , c'est un minimum. On calcule . Donner serait confondre la position du minimum et sa valeur.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un extremum est un maximum ou un minimum ?
Regarde le signe de autour du point critique. Si la dérivée passe de à , la fonction monte puis descend : c'est un maximum. Si elle passe de à , c'est un minimum 3. Le tableau de variations te donne la réponse d'un coup d'œil.
Faut-il toujours dresser un tableau de variations ?
C'est la présentation la plus courante et la plus claire pour justifier un sens de variation ou un extremum 2. Il montre le signe de et les variations de f, et il rend la conclusion lisible. Une simple phrase sans signe de la dérivée ne prouve rien.
Une dérivée nulle donne-t-elle toujours un extremum ?
Non. Pour , la dérivée s'annule en 0 sans changer de signe, donc il n'y a pas d'extremum. Il faut vérifier le changement de signe 3.
Sources
Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse
- Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
- Ressources mathématiques STI2D - Programme et dérivation, Éduscol STI. Consulté le 11 novembre 2026.
- Extremum, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
- Calcul des variations, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
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