Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Variations et extremums : quiz de première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Le signe de la dérivée donne le sens de variation : dérivée positive, fonction croissante ; dérivée négative, fonction décroissante.2
- Un extremum local en un point intérieur impose f'(a) = 0, mais la réciproque est fausse.3
- Si la dérivée s'annule en changeant de signe en a, la fonction atteint un extremum local en a.3
- On présente le tout dans un tableau de variations, et l'on calcule la valeur de l'extremum avec f(a).1
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le lien entre la dérivée d'une fonction, ses variations et ses extremums. Tu y retrouveras des fonctions polynômes de degré 2 et 3, comme dans le programme de première technologique.1 Pour chaque question, essaie de répondre sans calculatrice, sur une feuille de brouillon, puis lis l'explication même si ta réponse est juste : elle détaille la méthode et l'erreur qui guette.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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On dérive terme à terme : donne , donne et la constante donne . La réponse oublie le facteur 2 de la dérivée de . La réponse garde à tort la constante au lieu de la supprimer.
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On résout , donc . La valeur 4 vient d'une division oubliée : on ne passe pas de l'autre côté sans diviser par 2. La valeur 1 est la constante de la fonction, elle n'a rien à voir avec l'équation de la dérivée.
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La dérivée est négative pour et positive pour : la fonction décroît puis croît, avec un minimum en . On calcule alors . Attention : la valeur du minimum est , pas l'abscisse où il est atteint.
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On a . Ce trinôme est négatif entre ses deux racines et , donc décroît sur . Sur les deux autres intervalles proposés, est positive : la fonction y est croissante.2
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Pour une fonction dérivable, un extremum local en un point intérieur impose une dérivée nulle en ce point.3 Une dérivée strictement positive ou négative signifierait que la fonction monte ou descend encore, donc qu'on n'est pas au sommet ni au creux. Le cas « la dérivée n'existe pas » est exclu par l'hypothèse de dérivabilité.
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On a , qui s'annule en , est positive avant et négative après : croît puis décroît. Le maximum est donc . Répondre 3 revient à donner l'abscisse du maximum au lieu de sa valeur.
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Le signe de est positif pour , négatif entre 0 et 2, positif pour . La fonction croît, décroît, puis croît : elle a un maximum local en 0 et un minimum local en 2, car la dérivée y change de signe.3 Inverser les deux est l'erreur classique quand on oublie que le signe d'un produit de deux facteurs change à chaque racine.
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On calcule . Le maximum local, lui, vaut . Ne confonds pas ces deux valeurs : l'extremum demandé est celui obtenu en .
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On calcule . La dérivée est négative entre 0 et 1 puis positive après 1 : la fonction décroît puis croît, donc donne bien un minimum local. Si tu trouves 0, tu as calculé , qui est le maximum local.
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Une dérivée strictement positive sur un intervalle signifie que la fonction y est croissante : sa courbe monte quand on se déplace vers la droite.2 Elle ne peut pas être décroissante en même temps. Elle n'a pas non plus de maximum à l'intérieur de l'intervalle : il faudrait que la dérivée s'y annule, or elle reste strictement positive.3
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Lire un tableau de variations à partir d'une courbe fait partie des capacités attendues.1 Une courbe qui monte puis descend correspond à une flèche montante suivie d'une flèche descendante : le sommet est un maximum. Le minimum correspondrait à un creux, donc à l'ordre inverse.
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C'est vrai pour une parabole tournée vers le haut : elle décroît jusqu'au sommet puis croît toujours, donc son minimum local est aussi son minimum sur . Cela ne vaut pas pour toutes les fonctions : un polynôme de degré 3, par exemple, peut avoir un minimum local sans minimum global, car il prend des valeurs aussi petites que l'on veut.
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On a , qui est positive sur : la fonction y est croissante.2 Le maximum est donc atteint à l'extrémité droite : . Le minimum, lui, vaut . L'erreur tentante est de chercher un zéro de la dérivée, qui n'existe pas dans cet intervalle.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un extremum est un maximum ou un minimum ?
Regarde le signe de la dérivée de part et d'autre du point où elle s'annule.3 Si elle passe de positive à négative, la fonction monte puis descend : c'est un maximum. Si elle passe de négative à positive, la fonction descend puis monte : c'est un minimum. Le tableau de variations résume ces deux cas par des flèches.1
Pourquoi ne suffit-il pas de résoudre $f'(x) = 0$ ?
Sources
Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse
- Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
- Ressources mathématiques STI2D - Programme et dérivation, Éduscol STI. Consulté le 11 novembre 2026.
- Extremum, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
- Calcul des variations, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
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