Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Probabilités conditionnelles : cours de première technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une probabilité conditionnelle mesure les chances d'un événement quand on sait qu'un autre est réalisé : l'univers se réduit à cet événement.³
Notation du programme : $P_A(B)$ , « probabilité de $B$ sachant $A$ », définie seulement si $P(A)\neq 0$ .¹⁴
Avec un tableau croisé : $P_A(B)=\dfrac{\text{effectif de } A\cap B}{\text{effectif de } A}$ ; on divise par le total de la ligne ou de la colonne de la condition.
Formule : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ ; en général $P_A(B)\neq P_B(A)$ .
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants quand $P_B(A)=P(A)$ ; savoir que $B$ est réalisé ne change alors rien.²

Pourquoi tenir compte d'une information

Une probabilité décrit tes chances avant de savoir quoi que ce soit. Mais il arrive qu'on reçoive une information en cours de route : « le nombre obtenu est pair », « la carte est rouge », « la personne est abonnée ». Cette information change la situation, donc elle change les probabilités. C'est exactement ce que traite ce chapitre.

Tu as déjà rencontré une idée voisine en statistiques : les fréquences conditionnelles, calculées dans un tableau croisé en ne regardant qu'une partie de la population. Le programme de première technologique demande de transposer ce travail aux probabilités.² Tu vas donc retrouver des gestes connus, avec un vocabulaire nouveau.

Définition et notation

Calculer avec un tableau croisé d'effectifs

Le programme insiste sur les situations présentées sous forme de tableau croisé d'effectifs.¹² C'est la situation la plus fréquente en première technologique, et la plus simple : il n'y a pas besoin de formule, seulement de savoir quelle ligne ou quelle colonne regarder.

Tableau croisé : sexe et abonnement à une salle de sport
	Abonné (S)	Non abonné	Total
Femme (F)	54	66	120
Homme (H)	16	64	80
Total	70	130	200

Tableau croisé : sexe et abonnement à une salle de sport · Pour

P_F(S)

, on ne regarde que la ligne des femmes (total 120).

On choisit une personne au hasard parmi les 200.

Probabilité d'être abonné : $P(S)=\dfrac{70}{200}=0{,}35$ .
Probabilité d'être abonné sachant que la personne est une femme : on ne regarde que la ligne des femmes, qui totalise 120. Donc $P_F(S)=\dfrac{54}{120}=0{,}45$ .
Probabilité d'être abonné sachant que c'est un homme : $P_H(S)=\dfrac{16}{80}=0{,}2$ .
Probabilité que ce soit une femme sachant que la personne est abonnée : on ne regarde que la colonne des abonnés, qui totalise 70. Donc $P_S(F)=\dfrac{54}{70}=\dfrac{27}{35}\approx 0{,}771$ .

Les quatre résultats sont différents, et cela n'a rien d'étonnant : à chaque fois, l'univers de départ n'est pas le même.

Probabilité de l'intersection et arbres

Quand on connaît $P(A)$ et $P_A(B)$ mais pas $P(A\cap B)$ , on retourne la formule de la section précédente. C'est le principe qui fonde les arbres de probabilités, que tu étudieras plus en détail dans le chapitre suivant.

Démonstration · Pourquoi cette égalité

On part de $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ avec $P(A)\neq 0$ . On multiplie les deux membres par $P(A)$ : on obtient $P(A)\times P_A(B)=P(A\cap B)$ . C'est l'égalité annoncée.

Deux événements indépendants

Parfois, savoir qu'un événement est réalisé ne change rien à la probabilité d'un autre. On dit alors que les deux événements sont indépendants. Le programme introduit cette idée à partir de la probabilité conditionnelle.²

Démonstration · Du premier critère au second

Supposons $P_B(A)=P(A)$ . D'après la formule de l'intersection, $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$ . En remplaçant $P_B(A)$ par $P(A)$ , on obtient $P(A\cap B)=P(B)\times P(A)$ .

Réciproquement, si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ avec $P(B)\neq 0$ , alors $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)\times P(B)}{P(B)}=P(A)$ .

ExempleTester l'indépendance sur un tableau

Dans un lycée, 200 élèves de première sont interrogés : 120 filles et 80 garçons. 50 élèves suivent l'option théâtre, dont 30 filles et 20 garçons. On note $F$ : « c'est une fille » et $T$ : « l'élève suit l'option théâtre ».

$P(T)=\dfrac{50}{200}=0{,}25$ .
$P_F(T)=\dfrac{30}{120}=0{,}25$ .

Les deux valeurs sont égales : $F$ et $T$ sont indépendants. Autrement dit, la proportion d'élèves qui suivent le théâtre est la même chez les filles que dans l'ensemble du groupe.

Contrôle avec l'autre critère : $P(F\cap T)=\dfrac{30}{200}=0{,}15$ et $P(F)\times P(T)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15$ . Le résultat est identique.

Méthode générale et pièges à éviter

Repérer la conditionElle suit « sachant que ».
Prendre son totalLigne ou colonne concernée.
Compter les cas favorablesDans ce groupe seulement.
Écrire la fractionFavorables sur total de la condition.

Méthode pour une probabilité conditionnelle · Les quatre gestes à enchaîner pour un tableau croisé.

Exercices corrigés

Exercice 1 Lire une probabilité dans un tableau croisé

★☆☆Environ 8 min

Dans un lycée, on interroge 240 élèves de première technologique : 135 filles et 105 garçons. Parmi eux, 123 élèves mangent à la cantine : 81 filles et 42 garçons. On choisit un élève au hasard. On note $F$ : « l'élève est une fille » et $C$ : « l'élève mange à la cantine ».

Calcule la probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il mange à la cantine. Arrondis à $10^{-4}$ .

Indice 1

La condition est « mange à la cantine » : quelle colonne du tableau faut-il regarder ?

Indice 2

Le dénominateur est le nombre total d'élèves qui mangent à la cantine.

Voir la correction pas à pas

On repère la condition : « sachant qu'il mange à la cantine ». L'univers se réduit aux 123 élèves qui mangent à la cantine.
Dans ce groupe, on compte les filles : 81.
On écrit $P_C(F)=\dfrac{81}{123}$ .
On simplifie par 3 : $\dfrac{27}{41}$ , soit environ 0,6585.

$P_C(F)=\dfrac{81}{123}=\dfrac{27}{41}\approx 0{,}6585$ . Attention : $\dfrac{81}{240}$ serait la probabilité d'être une fille et de manger à la cantine, pas celle qu'on cherche.

Exercice 2 Abonnés et bus : une intersection

★★☆Environ 10 min

Dans une ville, 35 % des habitants possèdent un abonnement de transport (événement $T$ ). Parmi les abonnés, 80 % prennent le bus au moins une fois par semaine (événement $B$ ).

Écris les deux données avec la notation des probabilités.
Calcule la probabilité qu'un habitant choisi au hasard soit abonné et prenne le bus chaque semaine. Donne le résultat sous forme décimale.

Indice 1

Le pourcentage « parmi les abonnés » est une probabilité conditionnelle.

Indice 2

Pour une intersection, on utilise $P(T\cap B)=P(T)\times P_T(B)$ .

Voir la correction pas à pas

Les données donnent $P(T)=0{,}35$ et $P_T(B)=0{,}8$ , car les 80 % concernent seulement les abonnés.
On applique la formule de l'intersection : $P(T\cap B)=P(T)\times P_T(B)$ .
On calcule : $0{,}35\times 0{,}8=0{,}28$ .

La probabilité d'être abonné et de prendre le bus chaque semaine est $0{,}28$ , soit 28 % des habitants. On multiplie parce que 80 % s'applique à une partie (35 %) de la population, pas à toute la population.

Exercice 3 Deux événements sont-ils indépendants ?

★★★Environ 12 min

Dans un club de 150 adhérents, 90 sont des adultes et 60 sont des enfants. 30 adhérents participent au stage d'été, dont 18 adultes et 12 enfants. On note $A$ : « l'adhérent est un adulte » et $E$ : « l'adhérent participe au stage d'été ».

Calcule $P_A(E)$ .
Calcule $P(E)$ .
Les événements $A$ et $E$ sont-ils indépendants ? Justifie.

Indice 1

Pour $P_A(E)$ , la condition est « adulte » : l'univers compte 90 adhérents.

Indice 2

Compare $P_A(E)$ et $P(E)$ : sont-ils égaux ?

Voir la correction pas à pas

On calcule $P_A(E)$ : parmi les 90 adultes, 18 participent au stage, donc $P_A(E)=\dfrac{18}{90}=0{,}2$ .
On calcule $P(E)$ : 30 participants sur 150 adhérents, donc $P(E)=\dfrac{30}{150}=0{,}2$ .
On compare : $P_A(E)=P(E)$ .
Conclusion : $A$ et $E$ sont indépendants. On peut vérifier avec l'autre critère : $P(A\cap E)=\dfrac{18}{150}=0{,}12$ et $P(A)\times P(E)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12$ .

Les deux probabilités valent $0{,}2$ : être adulte ne change pas la chance de participer au stage. Les événements sont indépendants. Le critère $P(A\cap E)=P(A)\times P(E)$ donne le même verdict.

Les questions qu'on se pose

Comment reconnaître une probabilité conditionnelle dans un énoncé ?

Cherche les tournures « sachant que », « parmi les… », « si l'on sait que ». Un pourcentage qui ne porte que sur une partie de la population (« parmi les abonnés, 80 % ») est une probabilité conditionnelle : la condition est le groupe cité.

Pourquoi $P_A(B)$ n'est-elle pas égale à $P_B(A)$ ?

Parce que la condition n'est pas la même. $P_A(B)$ restreint l'univers à $A$ , $P_B(A)$ le restreint à $B$ . Les dénominateurs sont donc différents, et les résultats aussi en général. Dans un tableau croisé, l'un se lit sur une ligne, l'autre sur une colonne.

Faut-il apprendre la formule ou peut-on tout faire avec un tableau ?

Quand on te donne des effectifs, le tableau suffit : tu divises par le total de la condition. La formule $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ sert quand on te donne des probabilités ou des pourcentages. Savoir passer de l'une à l'autre te permet de contrôler tes résultats.

Quelle différence entre événements indépendants et incompatibles ?

Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble ( $P(A\cap B)=0$ ). Des événements indépendants peuvent se produire ensemble, mais la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Deux événements de probabilités non nulles ne peuvent pas être à la fois incompatibles et indépendants.

À quoi servent les probabilités conditionnelles ensuite ?

Elles sont la base des arbres pondérés, où chaque branche du second niveau porte une probabilité conditionnelle. Elles servent aussi à définir l'indépendance, qu'on retrouve avec les variables aléatoires et les épreuves de Bernoulli.

Sources

Blocs de programme - Épreuves communes classe de première technologique, Académie de Toulouse. Consulté le 11 novembre 2026.
Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Académie de Bordeaux. Consulté le 11 novembre 2026.
Probabilité conditionnelle, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Théorie des probabilités, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi tenir compte d'une information

Définition et notation

Calculer avec un tableau croisé d'effectifs

Probabilité de l'intersection et arbres

Deux événements indépendants

Méthode générale et pièges à éviter

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Exercice 2 Abonnés et bus : une intersection

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