Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Probabilités conditionnelles : exercices corrigés de 1re techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La probabilité de A sachant B se note $P_B(A)$ et se calcule quand $P(B)\neq 0$ : on se place dans la situation où B est réalisé.⁴
Avec un tableau croisé d'effectifs, on garde seulement la ligne ou la colonne de la condition, puis on divise.²
Formule utile : $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$ .
A et B sont indépendants quand $P_B(A)=P(A)$ : savoir que B est réalisé ne change rien pour A.²
Le piège numéro un : confondre $P_B(A)$ avec $P_A(B)$ , deux nombres en général différents.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font travailler la probabilité conditionnelle, de la lecture d'un tableau croisé jusqu'à la notion d'indépendance. Ils sont classés par difficulté : le niveau 1 vérifie que tu maîtrises le vocabulaire et le calcul de base, le niveau 2 demande de choisir la bonne formule, le niveau 3 mélange plusieurs idées. Cherche chaque exercice sur ton cahier avant d'ouvrir les indices, puis compare avec la correction étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Lire un tableau croisé

★☆☆Environ 6 min

Dans un lycée, on interroge 200 élèves de première technologique. Parmi eux, 120 sont des filles et 80 sont des garçons. On sait que 90 filles et 40 garçons sont demi-pensionnaires.

	Demi-pensionnaire	Externe	Total
Filles	90	30	120
Garçons	40	40	80
Total	130	70	200

On choisit un élève au hasard. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire ».

Calcule $P_F(D)$ .

Indice 1

La condition est « sachant que c'est une fille » : quelle ligne du tableau garder ?

Indice 2

Le dénominateur est l'effectif de la condition, pas les 200 élèves.

Voir la correction pas à pas

La condition est $F$ : on ne regarde que la ligne des filles, soit 120 élèves.
Dans cette ligne, les demi-pensionnaires sont 90.
On calcule $P_F(D)=\dfrac{90}{120}$ .
On simplifie : $\dfrac{90}{120}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$ .

Sachant que l'élève est une fille, la probabilité qu'elle soit demi-pensionnaire est $P_F(D)=0{,}75$ , soit 75 %.

Exercice 2 Un dé et une information partielle

★☆☆Environ 5 min

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Un ami regarde le dé et te dit seulement que le résultat est pair.

Quelle est la probabilité que le résultat soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair ? Donne la valeur arrondie au dix-millième.

Indice 1

Écris la liste des résultats pairs : c'est le nouvel univers.

Indice 2

Parmi ces résultats, lesquels sont supérieurs ou égaux à 3 ?

Voir la correction pas à pas

Le résultat est pair : les cas possibles sont 2, 4 et 6, soit 3 cas équiprobables.
Parmi eux, ceux qui sont supérieurs ou égaux à 3 sont 4 et 6, soit 2 cas.
La probabilité cherchée est donc $\dfrac{2}{3}$ .
En décimal : $\dfrac23\approx 0{,}6667$ .

La probabilité vaut $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$ . Remarque : sans l'information, on aurait trouvé $\dfrac{4}{6}=\dfrac23$ , car 3, 4, 5 et 6 font quatre faces sur six. Ici, les deux valeurs sont égales par hasard ; la méthode, elle, change bien l'univers.

Exercice 3 Changer la condition

★★☆Environ 7 min

On reprend le tableau de l'exercice 1 (200 élèves, dont 130 demi-pensionnaires, parmi lesquels 90 filles).

Cette fois, on choisit un élève au hasard parmi les demi-pensionnaires. Calcule la probabilité que ce soit une fille, c'est-à-dire $P_D(F)$ . Donne la valeur arrondie au dix-millième, puis dis pourquoi elle diffère de $P_F(D)$ .

Indice 1

La condition est maintenant $D$ : quelle colonne garder ?

Indice 2

Compare les deux dénominateurs : 120 et 130.

Voir la correction pas à pas

La condition est $D$ : on garde la colonne des demi-pensionnaires, soit 130 élèves.
Dans cette colonne, les filles sont 90.
On calcule $P_D(F)=\dfrac{90}{130}=\dfrac{9}{13}$ .
En décimal : $\dfrac{9}{13}\approx 0{,}6923$ .
On compare avec $P_F(D)=0{,}75$ : les numérateurs sont identiques (90) mais pas les dénominateurs (120 et 130), car la condition a changé.

$P_D(F)=\dfrac{9}{13}\approx 0{,}6923$ , alors que $P_F(D)=0{,}75$ . Les deux probabilités ne se confondent pas : l'ordre « sachant que » compte.

Exercice 4 La formule du produit

★★☆Environ 6 min

Dans un magasin, 40 % des clients prennent une carte de fidélité ( $B$ ). Parmi les clients qui prennent cette carte, 30 % achètent aussi une extension de garantie ( $A$ ).

Calcule $P(A\cap B)$ , la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne la carte et l'extension de garantie.

Indice 1

Traduis les pourcentages en probabilités : $P(B)$ et $P_B(A)$ .

Indice 2

Utilise $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$ , qui vient de la définition.

Voir la correction pas à pas

On lit $P(B)=0{,}4$ .
La phrase « parmi ceux qui prennent la carte, 30 % » donne $P_B(A)=0{,}3$ .
De $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , on tire $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$ .
On calcule $P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12$ .

$P(A\cap B)=0{,}12$ : 12 % des clients prennent la carte et l'extension. Attention : ce n'est pas 30 %, qui ne concerne que les détenteurs de la carte.

Exercice 5 Deux événements sont-ils indépendants ?

★★☆Environ 9 min

Une boutique a enregistré 250 clients : 150 femmes et 100 hommes. Parmi eux, 100 clients ont acheté en ligne, dont 60 femmes et 40 hommes.

On note $A$ l'événement « le client est une femme » et $B$ l'événement « le client a acheté en ligne ».

Calcule $P(A)$ .
Calcule $P_B(A)$ .
Conclus : $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Donne comme réponse numérique la valeur de $P_B(A)$ .

Indice 1

Pour $P(A)$ , divise par l'effectif total.

Indice 2

Pour $P_B(A)$ , garde seulement les 100 acheteurs en ligne.

Indice 3

Deux événements sont indépendants si $P_B(A)=P(A)$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $P(A)$ : il y a 150 femmes sur 250 clients, donc $P(A)=\dfrac{150}{250}=0{,}6$ .
Pour $P_B(A)$ : parmi les 100 acheteurs en ligne, 60 sont des femmes, donc $P_B(A)=\dfrac{60}{100}=0{,}6$ .
On compare : $P_B(A)=P(A)=0{,}6$ .
D'après la caractérisation de l'indépendance, $A$ et $B$ sont indépendants.

$P_B(A)=0{,}6=P(A)$ : connaître le mode d'achat ne change pas la proportion de femmes. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Exercice 6 Test de dépistage

★★★Environ 12 min

Une maladie touche 50 personnes sur un échantillon de 1 000 personnes. Un test est appliqué à tout le monde. Il est positif pour 45 des 50 malades et pour 95 des 950 personnes non malades.

	Test positif	Test négatif	Total
Malades	45	5	50
Non malades	95	855	950
Total	140	860	1 000

On choisit une personne au hasard. On note $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif ».

Calcule $P_M(T)$ .
Calcule $P_T(M)$ , c'est-à-dire la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Donne cette seconde valeur arrondie au dix-millième.

La réponse numérique attendue est $P_T(M)$ .

Indice 1

Pour la question 1, la condition est « malade » : ligne des malades.

Indice 2

Pour la question 2, la condition est « test positif » : colonne des positifs, effectif 140.

Voir la correction pas à pas

Question 1 : on garde la ligne des malades, 50 personnes, dont 45 ont un test positif. Donc $P_M(T)=\dfrac{45}{50}=0{,}9$ .
Question 2 : on garde la colonne des tests positifs, 140 personnes ( $45+95$ ).
Parmi elles, 45 sont malades, donc $P_T(M)=\dfrac{45}{140}=\dfrac{9}{28}$ .
En décimal : $\dfrac{9}{28}\approx 0{,}3214$ .
On compare : $P_M(T)=0{,}9$ mais $P_T(M)\approx 0{,}3214$ .

Le test détecte 90 % des malades, mais un test positif ne signale une vraie maladie que dans environ 32 % des cas, car les non-malades sont beaucoup plus nombreux. C'est l'exemple type de l'écart entre $P_M(T)$ et $P_T(M)$ .

Exercice 7 Deux tirages sans remise

★★★Environ 10 min

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules sans remise.

On note $R_1$ « la première boule est rouge » et $R_2$ « la deuxième boule est rouge ».

Calcule $P(R_1)$ .
Calcule $P_{R_1}(R_2)$ . Donne cette valeur arrondie au dix-millième.
Déduis-en $P(R_1\cap R_2)$ .

La réponse numérique attendue est $P_{R_1}(R_2)$ .

Indice 1

Après un premier tirage rouge, combien de boules reste-t-il, et combien sont rouges ?

Indice 2

Pour la question 3, utilise la formule du produit.

Voir la correction pas à pas

Au départ, l'urne contient 8 boules dont 5 rouges : $P(R_1)=\dfrac58$ .
Si la première boule est rouge et n'est pas remise, il reste 7 boules dont 4 rouges.
Donc $P_{R_1}(R_2)=\dfrac47\approx 0{,}5714$ .
On applique la formule du produit : $P(R_1\cap R_2)=P(R_1)\times P_{R_1}(R_2)=\dfrac58\times\dfrac47=\dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}$ .

$P_{R_1}(R_2)=\dfrac47\approx 0{,}5714$ , plus petite que la proportion de boules rouges au départ, $\dfrac58=0{,}625$ : la première boule rouge n'a pas été remise, donc la composition de l'urne a changé. On obtient aussi $P(R_1\cap R_2)=\dfrac{5}{14}$ .

Exercice 8 Deux lancers de pièce

★★★Environ 8 min

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. Une personne t'annonce que l'un des lancers au moins a donné Pile.

Quelle est la probabilité que les deux lancers aient donné Pile, sachant cette information ? Donne la valeur arrondie au dix-millième.

Indice 1

Écris les quatre issues possibles dans l'ordre des lancers.

Indice 2

Élimine celles qui contredisent l'information.

Voir la correction pas à pas

Les quatre issues équiprobables sont : FF, FP, PF, PP.
L'information « au moins un Pile » élimine FF ; il reste FP, PF et PP, soit 3 issues équiprobables.
Une seule de ces issues, PP, correspond à deux Piles.
La probabilité cherchée est donc $\dfrac13\approx 0{,}3333$ .

La probabilité est $\dfrac13\approx 0{,}3333$ , et non $\dfrac12$ : l'information « au moins un Pile » ne dit pas lequel des deux lancers a donné Pile, et elle supprime l'issue FF.

Exercice 9 Reconstituer un tableau puis conclure

★★★Environ 12 min

Dans un club de 80 adhérents, 48 pratiquent la natation ( $N$ ) et les autres pratiquent le tennis. On sait que 20 adhérents sont des mineurs ( $M$ ), dont 12 font de la natation.

Complète un tableau croisé « natation / tennis » et « mineur / majeur ».
Calcule $P_N(M)$ , la probabilité d'être mineur sachant que l'adhérent fait de la natation.
Compare avec $P(M)$ et conclus sur l'indépendance de $N$ et $M$ .

La réponse numérique attendue est $P_N(M)$ .

Indice 1

Commence par déduire le nombre de joueurs de tennis, puis le nombre de majeurs.

Indice 2

Les cases manquantes se trouvent par soustraction.

Indice 3

Compare $P_N(M)$ à $P(M)=\dfrac{20}{80}$ .

Voir la correction pas à pas

Les joueurs de tennis sont $80-48=32$ . Les majeurs sont $80-20=60$ .
Mineurs : 12 en natation, donc $20-12=8$ en tennis. Majeurs : $48-12=36$ en natation et $32-8=24$ en tennis.
Le tableau est : natation 12 mineurs et 36 majeurs (total 48) ; tennis 8 mineurs et 24 majeurs (total 32).
On garde la ligne de la natation : $P_N(M)=\dfrac{12}{48}=\dfrac14=0{,}25$ .
On calcule $P(M)=\dfrac{20}{80}=0{,}25$ .
On constate que $P_N(M)=P(M)$ , donc $N$ et $M$ sont indépendants.

$P_N(M)=0{,}25=P(M)$ : la proportion de mineurs est la même chez les nageurs que dans tout le club. Les événements $N$ et $M$ sont indépendants.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle est la condition dans un énoncé ?

Cherche les mots « sachant que », « parmi » ou « si on sait que ». Ce qui les suit est la condition. Dans « parmi les demi-pensionnaires, quelle proportion de filles ? », la condition est « demi-pensionnaire » et l'événement cherché est « fille ». Le dénominateur de ta fraction est toujours l'effectif ou la probabilité de la condition.

Quelle différence entre $P(A\cap B)$ et $P_B(A)$ ?

$P(A\cap B)$ mesure la part de toute la population qui vérifie A et B ensemble. $P_B(A)$ mesure la part de A à l'intérieur de B seulement. On passe de l'une à l'autre par $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$ . Dans l'exercice du magasin, 30 % des détenteurs de la carte, c'est 12 % de tous les clients.

Comment prouver que deux événements sont indépendants ?

Calcule $P_B(A)$ et $P(A)$ , puis compare. Si les deux nombres sont égaux, A et B sont indépendants.² S'ils diffèrent, même un peu, ils ne le sont pas. Utilise des fractions plutôt que des valeurs arrondies, pour éviter de conclure à tort à cause d'un arrondi.

Sources

Blocs de programme - Épreuves communes classe de première technologique, Académie de Toulouse. Consulté le 11 novembre 2026.
Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Académie de Bordeaux. Consulté le 11 novembre 2026.
Probabilité conditionnelle, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Théorie des probabilités, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Exercice 2 Un dé et une information partielle

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Exercice 8 Deux lancers de pièce

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