Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Croissance linéaire et exponentielle : cours de 1re technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Croissance linéaire : on ajoute toujours la même quantité r à chaque étape, un=u0+n×r (suite arithmétique).
Croissance exponentielle : on multiplie toujours par le même nombre q>1, un=u0×qn (suite géométrique).
Une hausse de t% à chaque étape correspond à q=1+100t ; une baisse de t% à q=1−100t.
Pour reconnaître le modèle : écart constant entre termes consécutifs = linéaire ; rapport constant = exponentiel.
Au départ, l'exponentielle peut sembler lente, mais elle finit toujours par dépasser une croissance linéaire.
Introduction : deux façons de grandir
Un livret d'épargne, une colonie de bactéries, une vidéo qui circule sur les réseaux : ces situations ont un point commun, une quantité qui augmente au fil du temps. Pourtant, elles ne grandissent pas de la même manière. Certaines gagnent le même nombre d'unités à chaque étape. D'autres gagnent un pourcentage de ce qu'elles ont déjà, donc de plus en plus.
Dans ce cours, tu apprends à distinguer ces deux comportements, à les écrire avec des suites, à les reconnaître dans un énoncé et à les comparer. Les programmes proposent justement de modéliser des situations par des modèles discrets de croissance linéaire ou exponentielle, et de comparer les deux avec un tableur.2
La croissance linéaire
La croissance exponentielle
L'image classique est celle d'une colonie de bactéries : une bactérie se divise en deux, chacune des deux se divise à son tour pour en donner quatre, puis huit, puis seize, puis trente-deux.3 Ici q=2 : la population est multipliée par 2 à chaque génération. Plus il y a de bactéries, plus il y a de divisions, donc plus l'augmentation est grande d'une étape à l'autre.3
Lien avec les pourcentages d'évolution
Dans la plupart des énoncés, la croissance exponentielle est donnée sous forme de pourcentage. Il faut donc savoir passer du pourcentage au coefficient multiplicateur q.
Augmenter une quantité de t% revient à lui ajouter 100t de sa valeur :
u+100tu=(1+100t)u
On multiplie donc par q=1+100t. C'est la raison pour laquelle une évolution en pourcentage, répétée à chaque étape, conduit à une suite géométrique.
Reconnaître le modèle à partir de données
Souvent, l'énoncé donne un tableau de valeurs, ou une phrase qui décrit l'évolution. Ton travail est de décider si c'est linéaire ou exponentiel avant de calculer.
DifférencesCalcule u(n+1) - u(n) pour chaque paire.
Constantes ?Si oui : linéaire, r = la différence.
RapportsSinon, calcule u(n+1) / u(n).
Constants ?Si oui : exponentiel, q = le rapport.
Reconnaître le modèle dans un tableau · Méthode de reconnaissance d'un modèle.
Comparer les deux croissances
Prenons deux situations qui partent de la même valeur, 100. Dans la première, on ajoute 20 à chaque étape : un=100+20n. Dans la seconde, on multiplie par 1,2 à chaque étape : vn=100×1,2n. Les deux augmentent de 20 % la première fois. Ensuite, la suite exponentielle garde une hausse de 20 % à chaque étape, alors que la hausse en pourcentage de la suite linéaire diminue.
n
0
1
2
3
5
8
un (linéaire)
100
120
140
160
200
260
vn (exponentiel)
100
120
144
172,8
248,8
430,0
Au début, les deux suites sont très proches. Puis l'exponentielle prend de l'avance et l'écart ne cesse de grandir. C'est ce que permet de visualiser un tableur : on calcule les deux suites en colonnes et on constate que l'une finit par dépasser l'autre.2
Linéaire et exponentielle depuis la même valeur · Les deux croissances partent de 100 et sont égales à l'étape 1, puis l'exponentielle prend l'avance.
Résoudre un problème avec une croissance exponentielle
Pièges et bonnes habitudes
Exercices corrigés
Exercice 1 Un versement régulier
★☆☆Environ 5 min
Un club de sport compte 500 adhérents au départ de l'étude. Chaque mois, 30 nouveaux adhérents s'inscrivent, et personne ne part. On note un le nombre d'adhérents après n mois.
De quel type de croissance s'agit-il ?
Donne un en fonction de n.
Calcule le nombre d'adhérents après 12 mois.
Indice 1
On ajoute la même quantité chaque mois.
Indice 2
Utilise un=u0+n×r.
Voir la correction pas à pas
Le même nombre (30) est ajouté chaque mois : la croissance est linéaire, de raison r=30.
Le terme initial est u0=500, donc un=500+30n.
Pour n=12 : u12=500+30×12=500+360=860 adhérents.
Après 12 mois, le club compte 860 adhérents. Un ajout fixe à chaque étape donne toujours un modèle linéaire.
Exercice 2 Une culture qui augmente de 10 % par heure
★★☆Environ 8 min
Une culture contient 200 bactéries à l'instant 0. Leur nombre augmente de 10 % chaque heure. On note un le nombre de bactéries après n heures.
Détermine le coefficient multiplicateur.
Exprime un en fonction de n.
Calcule u6, arrondi à l'unité près, et conclus sur le nombre de bactéries après 6 heures.
Indice 1
Une hausse de 10 % revient à multiplier par 1+10010.
Indice 2
Utilise la touche puissance de la calculatrice pour 1,16.
Voir la correction pas à pas
Hausse de 10 % : q=1+10010=1,1.
La suite est géométrique de premier terme u0=200 : un=200×1,1n.
Pour n=6 : 1,16=1,771561, donc u6=200×1,771561=354,3122.
On arrondit à l'unité : environ 354 bactéries après 6 heures.
Après 6 heures, la culture compte environ 354 bactéries (valeur exacte du calcul : 354,3122). On a multiplié par 1,1 à six reprises, et non ajouté 10 % de 200 six fois, ce qui aurait donné 320.
Exercice 3 Quand le capital dépasse-t-il 1 500 € ?
★★★Environ 10 min
On place 1 000 € à 5 % par an, intérêts composés. On note cn le capital après n années.
Détermine le type de croissance et la formule de cn.
À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, calcule c8 et c9.
À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 1 500 € ?
Indice 1
Le coefficient multiplicateur est 1,05.
Indice 2
Calcule les termes un à un et repère le premier qui dépasse 1 500.
Voir la correction pas à pas
Une hausse de 5 % chaque année donne q=1,05 : croissance exponentielle, cn=1000×1,05n.
Pour n=8 : 1,058≈1,4775, donc c8≈1477,46 €.
Pour n=9 : 1,059≈1,5513, donc c9≈1551,33 €.
c8<1500 et c9>1500 : le premier rang qui convient est n=9.
Le capital dépasse 1 500 € au bout de 9 ans. On vérifie toujours que le rang précédent ne suffit pas : ici c8≈1477,46 € reste en dessous.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On ajoute chaque semaine la même quantité, 3 cm : c'est une croissance linéaire de raison 3. La réponse « exponentielle de coefficient 3 » confond ajouter 3 et multiplier par 3. Le coefficient 1,3 correspondrait à une hausse de 30 % à chaque étape, ce qui n'est pas dit ici.
Une hausse de 8 % revient à multiplier par 1+1008=1,08. Le nombre 0,08 est le taux écrit en décimal, mais pas le coefficient : on perdrait la quantité de départ. Le nombre 1,8 correspondrait à une hausse de 80 %.
On calcule u5=50×25=50×32=1600. Écrire 50×2×5=500 serait une erreur : on multiplie par 2 cinq fois, on ne multiplie pas par 5.
Un rapport constant signifie que l'on multiplie toujours par le même nombre : c'est une croissance exponentielle avec q=1,5, soit +50 %. Les écarts, eux, grandissent, donc ils ne sont pas constants. Le taux n'est pas 15 % : 1,5=1+10050.
C'est faux. On multiplie par 0,8 puis par 1,2, ce qui donne 0,96 : la valeur finale est 4 % plus basse que la valeur de départ. La hausse de 20 % porte sur une valeur plus petite, donc elle ne compense pas la baisse.
C'est vrai. À chaque étape, l'exponentielle gagne une part de sa valeur qui augmente, alors que la suite linéaire gagne toujours la même quantité. Le dépassement peut demander beaucoup d'étapes si q est proche de 1, mais il finit par arriver.
Les écarts sont tous égaux à 5 : modèle linéaire, un=5+5n avec u0=5. La formule 5×2n donnerait 5 ; 10 ; 20 ; 40, donc le troisième terme serait faux. Les deux autres formules donnent 0 ; 5 ; 20 ; 45 et 1 ; 5 ; 25 ; 125, ce qui ne correspond pas.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser une suite arithmétique ou géométrique ?
Regarde ce qui est constant. Si on ajoute toujours la même quantité, la suite est arithmétique et la croissance est linéaire. Si on multiplie toujours par le même nombre, ou si l'énoncé parle d'un pourcentage répété, la suite est géométrique et la croissance est exponentielle. Sur un tableau, calcule les différences puis les rapports.
Pourquoi une hausse de 5 % se traduit-elle par « multiplier par 1,05 » ?
Augmenter de 5 %, c'est garder la valeur de départ et ajouter 5 % de cette valeur. On obtient u+0,05u=1,05u. Le « 1 » représente la valeur qu'on conserve, le « 0,05 » la hausse.
« Croissance exponentielle » veut-il dire « croissance très rapide » ?
Non. Dans le langage courant, on emploie souvent ce mot pour toute hausse rapide ou accélérée, mais c'est un emploi impropre.3 En mathématiques, il s'agit d'un coefficient multiplicateur constant. Un tel phénomène peut avoir une croissance assez lente au départ.3
Faut-il savoir résoudre une équation avec des puissances pour trouver un seuil ?
En 1re technologique, tu t'appuies surtout sur la calculatrice ou le tableur : on calcule les termes successifs et on repère le premier qui dépasse le seuil. Pense à vérifier que le rang précédent ne convient pas, puis à rédiger ta réponse avec l'unité de temps de l'énoncé (jours, années, heures).
Pourquoi l'exponentielle finit-elle par dépasser le linéaire ?
Parce que ce qui s'ajoute à chaque étape n'a pas la même nature. Dans le linéaire, la quantité ajoutée reste fixe. Dans l'exponentiel, elle est une part de la valeur actuelle, donc elle grandit en même temps que la quantité. Cette différence se voit bien en construisant les deux suites côte à côte sur un tableur.2