Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Croissance linéaire et exponentielle : exercices de 1re techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une croissance linéaire ajoute le même nombre à chaque étape : c'est une suite arithmétique, $u_n=u_0+n\times r$ .
Une croissance exponentielle multiplie par le même nombre à chaque étape : c'est une suite géométrique, $u_n=u_0\times q^n$ .
Une hausse de $t\,\%$ à chaque étape revient à multiplier par $q=1+\dfrac{t}{100}$ ; une baisse de $t\,\%$ revient à multiplier par $1-\dfrac{t}{100}$ .
Pour classer une situation, compare les écarts (constants ?) puis les rapports (constants ?) entre termes consécutifs.
À long terme, un modèle exponentiel de raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser un modèle linéaire.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'appuient sur les suites arithmétiques et géométriques vues avant ce chapitre. Une croissance exponentielle à pas de temps entiers (0, 1, 2, 3…) donne des valeurs qui forment une progression géométrique ³. Une bactérie qui se divise en deux, puis en quatre, huit, seize, trente-deux… illustre bien cette idée ³. En classe, on modélise ces situations avec des suites et on compare les deux types de croissance au tableur ².

Essaie chaque exercice seul avant d'ouvrir les indices, puis compare avec la correction. Les exercices sont rangés par difficulté croissante : le niveau 1 applique une formule, le niveau 3 demande de raisonner.

Les exercices

Exercice 1 Un abonnement qui augmente chaque mois

★☆☆Environ 5 min

Une salle de sport demande 50 € de frais d'inscription. Ensuite, le montant total payé augmente de 12 € chaque mois. On note $u_n$ le total payé (en euros) après $n$ mois, avec $u_0=50$ .

Quelle est la nature de la croissance ? Justifie.
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule le total payé après 8 mois.

Indice 1

Le même nombre est-il ajouté ou multiplié à chaque étape ?

Indice 2

La formule d'une suite arithmétique est $u_n=u_0+n\times r$ .

Voir la correction pas à pas

À chaque mois, on ajoute 12 € : l'écart entre deux termes consécutifs est constant. La croissance est linéaire et la suite est arithmétique de raison $r=12$ .
On applique la formule : $u_n=50+12n$ .
Pour $n=8$ : $u_8=50+12\times 8=50+96=146$ .
Après 8 mois, le total payé est de 146 €.

Quand l'augmentation est la même à chaque étape, le modèle est linéaire : la représentation en points est alignée.

Exercice 2 Une colonie de bactéries

★☆☆Environ 6 min

Une colonie compte 200 bactéries au départ. Chaque heure, chaque bactérie se divise en deux, donc la population double. On note $v_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures, avec $v_0=200$ .

Quelle est la nature de la croissance ?
Exprime $v_n$ en fonction de $n$ .
Combien y a-t-il de bactéries après 5 heures ?

Indice 1

Doubler, c'est multiplier par quel nombre ?

Indice 2

La formule d'une suite géométrique est $v_n=v_0\times q^n$ .

Voir la correction pas à pas

Doubler revient à multiplier par 2 à chaque heure : la croissance est exponentielle et la suite est géométrique de raison $q=2$ .
On applique la formule : $v_n=200\times 2^n$ .
Pour $n=5$ : $2^5=32$ , donc $v_5=200\times 32=6\,400$ .
Après 5 heures, la colonie compte 6 400 bactéries.

Le nombre de bactéries passe de 200 à 6 400 en cinq heures, alors qu'un modèle linéaire ajoutant 200 par heure n'aurait atteint que 1 200.

Exercice 3 Une hausse de 5 % par an

★☆☆Environ 6 min

Le prix d'un abonnement annuel est de 400 € aujourd'hui. Il augmente de 5 % chaque année. On note $p_n$ le prix après $n$ années.

Par quel nombre multiplie-t-on le prix chaque année ?
Écris $p_n$ en fonction de $n$ .
Calcule le prix au bout de 3 ans, à 0,01 € près.

Indice 1

Une hausse de 5 % se traduit par un coefficient multiplicateur égal à $1+\frac{5}{100}$ .

Indice 2

Calcule d'abord $1{,}05^3$ .

Voir la correction pas à pas

Le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{5}{100}=1{,}05$ .
La suite $(p_n)$ est géométrique de raison $1{,}05$ et de premier terme 400 : $p_n=400\times 1{,}05^n$ .
Pour $n=3$ : $1{,}05^3=1{,}157625$ , donc $p_3=400\times 1{,}157625=463{,}05$ .
Au bout de 3 ans, le prix est de 463,05 €.

Une évolution en pourcentage constant est toujours exponentielle : le prix gagne un peu plus chaque année que l'année précédente.

Exercice 4 Reconnaître le type de croissance

★★☆Environ 8 min

On observe une grandeur qui vaut successivement : 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 aux étapes 0, 1, 2, 3, 4.

Calcule les écarts entre termes consécutifs, puis les rapports. Que constates-tu ?
En déduire la nature de la croissance et la formule de $w_n$ .
Calcule $w_6$ .

Indice 1

Teste d'abord la différence, puis le quotient de deux termes consécutifs.

Indice 2

Si le quotient est constant, la suite est géométrique.

Voir la correction pas à pas

Les écarts valent 3, 6, 12, 24 : ils ne sont pas constants, donc la croissance n'est pas linéaire.
Les rapports valent $\dfrac{6}{3}=2$ , $\dfrac{12}{6}=2$ , $\dfrac{24}{12}=2$ , $\dfrac{48}{24}=2$ : ils sont constants. La croissance est exponentielle, de raison $q=2$ .
On en déduit $w_n=3\times 2^n$ .
Pour $n=6$ : $w_6=3\times 2^6=3\times 64=192$ .

Pour classer une situation, regarde d'abord si les écarts sont constants, puis si les rapports le sont. Ici, ce sont les rapports.

Exercice 5 Retrouver le taux d'évolution

★★☆Environ 10 min

Une population passe de 500 individus à 720 individus en deux étapes, avec le même taux d'évolution à chaque étape.

Écris l'équation vérifiée par le coefficient multiplicateur $q$ (avec $q>0$ ).
Résous-la.
En déduire le taux d'évolution par étape, en pourcentage.

Saisis comme réponse numérique la valeur de $q$ .

Indice 1

Après deux étapes, la population a été multipliée par $q^2$ .

Indice 2

Le rapport $\frac{720}{500}$ vaut $1{,}44$ .

Voir la correction pas à pas

Après deux étapes : $500\times q^2=720$ , donc $q^2=\dfrac{720}{500}=1{,}44$ .
Comme $q>0$ , on prend la racine carrée : $q=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$ .
Le coefficient $1{,}2$ s'écrit $1+\dfrac{20}{100}$ : le taux d'évolution est de $+20\,\%$ par étape.
Vérification : $500\times 1{,}2=600$ puis $600\times 1{,}2=720$ .

Pour retrouver un taux constant sur deux étapes, on isole $q^2$ puis on prend la racine carrée (avec $q>0$ ). Le taux vaut $q-1$ , ici 20 %.

Exercice 6 Pourquoi une croissance linéaire n'a pas un taux constant

★★☆Environ 8 min

Une suite linéaire commence à $a_0=20$ et ajoute 5 à chaque étape.

Calcule $a_1$ et $a_2$ .
Calcule le taux d'évolution (en %) entre $a_0$ et $a_1$ , puis entre $a_1$ et $a_2$ .
Que peux-tu en conclure ?

Saisis comme réponse numérique le taux d'évolution (en %) entre $a_1$ et $a_2$ .

Indice 1

Le taux d'évolution se calcule par $\frac{\text{variation}}{\text{valeur de départ}}$ .

Indice 2

Compare les deux pourcentages obtenus.

Voir la correction pas à pas

$a_1=20+5=25$ et $a_2=25+5=30$ .
Entre $a_0$ et $a_1$ : $\dfrac{5}{20}=0{,}25$ , soit $+25\,\%$ .
Entre $a_1$ et $a_2$ : $\dfrac{5}{25}=0{,}20$ , soit $+20\,\%$ .
Les deux taux sont différents : une croissance linéaire a une variation constante, mais un taux qui diminue. À l'inverse, une croissance exponentielle a un taux constant.

Variation constante = linéaire. Taux constant = exponentielle. Ne mélange pas les deux.

Exercice 7 Une décroissance exponentielle : la décote d'un véhicule

★★☆Environ 8 min

Un véhicule neuf vaut 15 000 €. Sa valeur baisse de 10 % chaque année. On note $c_n$ sa valeur après $n$ années.

Par quel coefficient multiplie-t-on la valeur chaque année ?
Écris $c_n$ en fonction de $n$ .
Calcule la valeur après 3 ans.

Indice 1

Une baisse de 10 % revient à multiplier par $1-\frac{10}{100}$ .

Indice 2

Ici la raison est inférieure à 1 : la suite décroît.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient est $1-\dfrac{10}{100}=0{,}9$ .
La suite est géométrique de raison $0{,}9$ : $c_n=15\,000\times 0{,}9^n$ .
Pour $n=3$ : $0{,}9^3=0{,}729$ , donc $c_3=15\,000\times 0{,}729=10\,935$ .
Après 3 ans, le véhicule vaut 10 935 €.

Quand la raison est comprise entre 0 et 1, on parle de décroissance exponentielle : la quantité diminue ³. La perte est de 1 500 € la première année, puis de moins en moins chaque année.

Exercice 8 Quand l'exponentielle dépasse le linéaire

★★★Environ 12 min

On compare deux modèles :

modèle A (linéaire) : $a_n=100+20n$ ;
modèle B (exponentiel) : $b_n=10\times 2^n$ .

Complète un tableau de valeurs pour $n$ allant de 0 à 6.
Quelle est la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $b_n>a_n$ ?
Que prévois-tu pour $n=10$ ?

Saisis comme réponse numérique cette plus petite valeur de $n$ .

Indice 1

Calcule les deux colonnes ligne par ligne, en doublant $b_n$ à chaque fois.

Indice 2

Cherche le premier $n$ où la colonne B dépasse la colonne A.

Voir la correction pas à pas

Tableau : $n=0$ : $a_0=100$ , $b_0=10$ ; $n=1$ : $120$ et $20$ ; $n=2$ : $140$ et $40$ ; $n=3$ : $160$ et $80$ ; $n=4$ : $180$ et $160$ ; $n=5$ : $200$ et $320$ ; $n=6$ : $220$ et $640$ .
À $n=4$ , on a encore $160<180$ : A l'emporte.
À $n=5$ , on a $320>200$ : B passe devant. La plus petite valeur est donc $n=5$ .
Pour $n=10$ : $a_{10}=100+200=300$ et $b_{10}=10\times 1\,024=10\,240$ . L'écart est devenu immense, et B ne repassera plus sous A.

Le modèle exponentiel démarre plus bas mais finit toujours par dépasser le modèle linéaire dès que sa raison est supérieure à 1. C'est exactement ce que montre une comparaison au tableur.

Exercice 9 La diffusion d'une vidéo

★★★Environ 12 min

Le jour 0, une vidéo est vue par 3 personnes. Chaque jour, le nombre de vues cumulées est multiplié par 3. On note $d_n$ ce nombre au jour $n$ .

Écris $d_n$ en fonction de $n$ .
À partir de quel jour dépasse-t-on 1 000 vues ?
Un modèle linéaire qui ajouterait 100 vues par jour (en partant de 3) aurait-il dépassé 1 000 vues à ce même jour ?

Saisis comme réponse numérique le premier jour où $d_n>1\,000$ .

Indice 1

Calcule les termes successifs : 3, 9, 27…

Indice 2

Pour le modèle linéaire, utilise $3+100n$ .

Voir la correction pas à pas

La suite est géométrique de raison 3 : $d_n=3\times 3^n$ .
Termes : $d_5=3\times 243=729$ , qui est inférieur à 1 000 ; $d_6=3\times 729=2\,187$ , qui dépasse 1 000.
Le premier jour est donc $n=6$ .
Modèle linéaire au jour 6 : $3+100\times 6=603$ , qui est inférieur à 1 000. Le modèle linéaire n'a pas encore atteint le seuil : il faudrait $n=10$ pour avoir $1\,003$ .

Le modèle exponentiel franchit le seuil bien avant le modèle linéaire. Une diffusion qui se multiplie à chaque étape est le cas typique du phénomène viral.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une situation est linéaire ou exponentielle ?

Regarde ce qui est constant. Si la différence entre deux termes consécutifs ne change pas, la croissance est linéaire. Si c'est le quotient qui ne change pas, elle est exponentielle. Sur un énoncé, les mots « augmente de 12 € » indiquent le linéaire, et « augmente de 5 % » ou « double » indiquent l'exponentiel.

Pourquoi une hausse de 5 % se calcule-t-elle avec 1,05 et pas avec 5 ?

Ajouter 5 % à une valeur, c'est garder 100 % de cette valeur puis ajouter 5 % : on obtient 105 %, soit $1{,}05$ fois la valeur de départ. Multiplier par 5 donnerait une hausse de 400 %. De même, une baisse de 10 % se traduit par un coefficient de $0{,}9$ .

Une croissance exponentielle est-elle toujours plus rapide qu'une croissance linéaire ?

Pas au début : une suite exponentielle peut démarrer plus bas et croît d'abord assez lentement ³. Mais si sa raison est supérieure à 1, elle finit toujours par dépasser une suite linéaire, comme on le voit dans l'exercice de comparaison. C'est pour cela que le tableur sert à repérer le moment où les deux courbes se croisent.

Sources

Ressources Éduscol - Analyse et croissance linéaire/exponentielle, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Modèles discrets et suites numériques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Croissance exponentielle, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Fonction exponentielle, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Exercice 3 Une hausse de 5 % par an

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Exercice 6 Pourquoi une croissance linéaire n'a pas un taux constant

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Exercice 9 La diffusion d'une vidéo

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