Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Généralités sur les suites : cours de Première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une suite numérique associe un nombre un à chaque entier n : elle est définie par une fonction sur N3.
On la génère de façon explicite (un en fonction de n) ou par récurrence (un+1 en fonction de un, avec un premier terme) 34.
Sa représentation graphique est un nuage de points(n;un), et non une courbe continue 3.
Pour le sens de variation, on étudie le signe de un+1−un : positif, la suite croît ; négatif, elle décroît 3.
Les suites servent de modèles d'évolutions discrètes : population, capital, taille au fil des semaines 4.
Pourquoi étudier les suites ?
Tu connais déjà les fonctions : à un nombre x, elles associent un nombre f(x). Une suite fonctionne sur le même principe, mais avec une différence importante : on ne s'intéresse qu'à des valeurs entières de la variable. On compte des étapes, des jours, des semaines, des années.
Le programme de Première technologique présente cette partie autour de trois axes. Le premier est l'étude des suites numériques comme modèles mathématiques d'évolutions discrètes 4. Le mot « discret » s'oppose à « continu » : on observe la situation à intervalles réguliers, pas à chaque instant.
Dans ce cours, tu vas apprendre à :
reconnaître et noter une suite ;
la définir de deux manières différentes ;
calculer ses termes ;
la représenter graphiquement ;
étudier son sens de variation ;
l'utiliser pour modéliser une situation.
Définition et notations
Premier mode de génération : la forme explicite
Avec une forme explicite, tu calcules n'importe quel terme directement, sans connaître les précédents. Tu remplaces n par la valeur voulue, comme tu le fais pour calculer l'image d'un nombre par une fonction. Savoir calculer les termes d'une suite à partir d'une forme explicite ou récurrente est une capacité travaillée dans ce chapitre 3.
Second mode de génération : la forme récurrente
Ici, pour connaître un terme, il faut connaître le précédent. On avance pas à pas, comme dans un escalier : chaque marche permet d'atteindre la suivante. Le premier terme est indispensable : sans lui, on ne peut pas démarrer.
Représentation graphique d'une suite
L'abscisse du point est l'indice n, l'ordonnée est la valeur un. Comme n ne prend que des valeurs entières, les points sont isolés : on ne les relie pas. Relier les points par une courbe laisserait croire que la suite existe entre deux entiers, ce qui n'a pas de sens.
Tu retrouves ici le lien avec les fonctions : on place des points comme pour une courbe, mais seulement aux abscisses entières.
Sens de variation d'une suite
Étudier le sens de variation d'une suite fait partie des capacités travaillées dans ce chapitre 3. Il s'agit de savoir si les termes augmentent, diminuent, ou ni l'un ni l'autre quand n grandit.
Modéliser avec une suite
Modéliser, c'est traduire une situation concrète en objet mathématique. Les suites servent à décrire des évolutions qui se déroulent par étapes : le programme les présente comme des modèles d'évolutions discrètes 4. La modélisation à l'aide de suites fait partie des capacités à travailler 3.
Récapitulatif et erreurs à éviter
Ces notions préparent la suite du programme : les suites arithmétiques, où l'on ajoute toujours le même nombre, puis les suites géométriques, où l'on multiplie toujours par le même nombre. Elles permettent ensuite de comprendre la croissance linéaire et la croissance exponentielle. Les deux exemples de modélisation vus plus haut (adhérents et réservoir) sont déjà des suites arithmétiques : retiens ce lien.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer des termes d'une suite explicite
★☆☆Environ 5 min
Soit la suite (un) définie pour tout entier n par un=3n+2.
Calcule u0, u1 et u2.
Calcule u10.
Exprime un+1 en fonction de n.
Indice 1
Remplace n par la valeur demandée dans la formule.
Indice 2
Pour un+1, remplace n par n+1 partout, puis développe.
Voir la correction pas à pas
u0=3×0+2=2.
u1=3×1+2=5.
u2=3×2+2=8.
u10=3×10+2=32.
un+1=3(n+1)+2=3n+3+2=3n+5.
On trouve u0=2, u1=5, u2=8, u10=32 et un+1=3n+5. On note que chaque terme dépasse le précédent de 3.
Exercice 2 Suite définie par récurrence
★★☆Environ 8 min
Soit (un) la suite définie par u0=4 et, pour tout entier n, un+1=2un−3.
Calcule u1, u2 puis u3.
Cette suite semble-t-elle croissante ? Justifie avec les valeurs trouvées.
Peut-on calculer u3 sans connaître u2 ?
Indice 1
Calcule les termes dans l'ordre : u1 d'abord, car il sert pour u2.
Indice 2
Compare chaque terme au précédent.
Voir la correction pas à pas
u1=2×4−3=5.
u2=2×5−3=7.
u3=2×7−3=11.
Les termes 4 ; 5 ; 7 ; 11 augmentent à chaque étape : la suite semble croissante.
Avec une relation de récurrence, il faut connaître le terme précédent : on ne peut pas passer directement de u0 à u3 sans calculer u1 et u2.
On obtient u1=5, u2=7 et u3=11. La suite semble croissante, mais ce n'est qu'une conjecture : quatre valeurs ne constituent pas une preuve.
Exercice 3 Étudier le sens de variation
★★★Environ 12 min
Soit la suite (un) définie pour tout entier n par un=n2−4n.
Calcule u0, u1, u2, u3 et u4.
Démontre que un+1−un=2n−3.
Étudie le signe de 2n−3 pour n entier, puis conclus sur la variation de la suite.
2n−3<0 équivaut à n<1,5, donc pour n=0 et n=1 la différence est négative.
Pour n≥2, on a 2n−3≥1>0 : la différence est positive.
La différence change de signe : la suite décroît de u0 à u2, puis croît à partir de u2. Elle n'est donc ni croissante ni décroissante sur tous les entiers. Le plus petit terme de la suite est donc u2=−4.
Quiz
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On remplace n par 3 : u3=32−1=9−1=8. L'erreur tentante est de calculer (3−1)2=4 ou 32=9 sans retirer 1 : la formule demande d'élever 3 au carré, puis de retrancher 1.
un est le terme général, c'est-à-dire un nombre : celui d'indice n3. La suite entière se note (un) ou u, ce qui explique la confusion de la première réponse. Ce n'est pas un produit, et le premier terme est u0 (ou u1 selon l'énoncé), pas un pour un n quelconque.
On calcule dans l'ordre : u1=1+4=5, puis u2=5+4=9. La réponse 5 est la valeur de u1 : on s'est arrêté trop tôt. La réponse 8 vient de l'oubli du premier terme : on a seulement calculé 4+4. La réponse 13 correspond à u3.
C'est vrai : la représentation graphique d'une suite est un nuage de points (n;un)3. L'indice n ne prend que des valeurs entières, donc il n'y a rien entre deux points. Tracer une courbe continue, comme pour une fonction définie sur R, serait faux.
C'est faux. On calcule un+1−un=(5−2(n+1))−(5−2n)=−2, nombre négatif pour tout n : la suite est décroissante. Les termes sont 5 ; 3 ; 1 ; −1. On pourrait croire à une croissance en voyant le « 2n » positif dans la formule, mais il est précédé d'un signe moins.
On remplace n par n+1 : un+1=4(n+1)−1=4n+4−1=4n+3. Les réponses 4n et 4n−1+1 reviennent à calculer un+1, qui est un autre nombre que un+1. La dernière expression ajoute un 1 en trop.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre une suite et une fonction ?
Une suite est une fonction particulière, définie sur les entiers naturels 3. On écrit un au lieu de u(n), et on ne s'intéresse qu'à des valeurs entières de la variable. Pour une fonction sur un intervalle, la courbe est continue ; pour une suite, on obtient un nuage de points isolés.
Comment savoir s'il faut utiliser la forme explicite ou la forme récurrente ?
L'énoncé t'impose souvent la forme. Si on te donne un en fonction de n, c'est explicite. Si on te donne un+1 en fonction de un et un premier terme, c'est récurrent. Quand tu modélises toi-même, la phrase « chaque année on ajoute… » ou « on multiplie… » se traduit naturellement par une relation de récurrence.
Pourquoi ne relie-t-on pas les points du graphique d'une suite ?
Parce que n est un entier : la suite n'existe pas entre deux indices. Il n'y a pas de terme « u2,5 ». Relier les points donnerait une courbe, donc l'impression d'une valeur à chaque instant, ce qui ne correspond pas à une suite.
Une suite qui semble croître sur le graphique est-elle forcément croissante ?
Non. Le graphique ne montre qu'un nombre limité de points et permet seulement de conjecturer 3. Pour prouver qu'une suite est croissante, on étudie le signe de un+1−un pour tous les entiers n. Une suite comme un=n2−4n décroît d'abord, puis croît.