Généralités sur les suites : exercices corrigés de 1re techno

La suite est donnée avec seulement $n$ : elle est explicite.

Pour $n=0$ : $u_0=3\times 0+2=2$.

Pour $n=3$ : $u_3=3\times 3+2=9+2=11$.

On remplace $n$ par $5$ : $u_5=5^2-4\times 5$.

Le carré : $5^2=25$ ; le produit : $4\times5=20$.

On soustrait : $u_5=25-20=5$.

Pour $n=0$ : $u_1=2u_0-1=2\times2-1=3$.

Pour $n=1$ : $u_2=2u_1-1=2\times3-1=5$.

Pour $n=2$ : $u_3=2u_2-1=2\times5-1=9$.

Pour $n=3$ : $u_4=2u_3-1=2\times9-1=17$.

On écrit $u_{n+1}=5-2(n+1)=5-2n-2=3-2n$.

On calcule la différence : $u_{n+1}-u_n=(3-2n)-(5-2n)$.

On développe : $3-2n-5+2n=-2$.

La différence vaut $-2$ pour tout $n$ : elle est négative.

On pose $u_n$ la taille après $n$ semaines, avec $u_0=12$.

Chaque semaine ajoute 3 cm : $u_{n+1}=u_n+3$.

On en déduit la forme explicite : $u_n=12+3n$, car on ajoute $n$ fois 3 cm.

Pour $n=10$ : $u_{10}=12+3\times10=42$.

Une baisse de 10 % multiplie la valeur par $0{,}9$ : $u_{n+1}=0{,}9\,u_n$, avec $u_0=8000$.

Pour $n=0$ : $u_1=0{,}9\times8000=7200$.

Pour $n=1$ : $u_2=0{,}9\times7200=6480$.

Pour $n=2$ : $u_3=0{,}9\times6480=5832$.

Pour $n=0$ : $u_1=u_0+0+1=2$.

Pour $n=1$ : $u_2=u_1+1+1=4$.

Pour $n=2$ : $u_3=u_2+2+1=7$.

Pour $n=3$ : $u_4=u_3+3+1=11$.

Pour $n=4$ : $u_5=u_4+4+1=16$.

On observe $u_{n+1}-u_n=n+1$, qui est strictement positif pour tout entier $n$.

On écrit $u_{n+1}=(n+1)^2-6(n+1)=n^2+2n+1-6n-6=n^2-4n-5$.

On calcule : $u_{n+1}-u_n=(n^2-4n-5)-(n^2-6n)=2n-5$.

Cette différence est négative si $n\le2$ (car $2n-5\le-1$) et positive si $n\ge3$ (car $2n-5\ge1$).

Donc la suite diminue de $u_0$ à $u_3$, puis augmente à partir de $u_3$.

Vérification : $u_0=0$, $u_1=-5$, $u_2=-8$, $u_3=-9$, $u_4=-8$, $u_5=-5$.

Le plus petit terme est $u_3=3^2-6\times3=9-18=-9$.