Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Le contre-exemple : cours de Première technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une affirmation du type « pour tout… » se réfute avec un seul contre-exemple : un cas qui vérifie les conditions mais rend la conclusion fausse. ²
À l'inverse, un ou plusieurs exemples ne prouvent pas une affirmation universelle : il faut une démonstration générale. ³
Pour chercher un contre-exemple : traduire l'énoncé, tester des valeurs simples ou particulières (0, 1, négatifs, fractions), puis vérifier à la main.
Pour une implication « si A alors B », un contre-exemple est un cas où A est vrai et B est faux.
Un contre-exemple ne sert qu'à montrer qu'une affirmation est fausse : jamais à la démontrer.

Pourquoi parler de contre-exemple ?

Les mathématiques regorgent d'affirmations comme « tous les nombres… », « pour tout réel… » ou « si un triangle est… alors… ». Une question revient toujours : est-ce vrai dans tous les cas ? Deux démarches très différentes permettent d'y répondre. Soit on démontre l'affirmation par un raisonnement valable pour chaque cas. Soit on la réfute en exhibant un cas où elle échoue.

Le contre-exemple est l'outil de la réfutation. Il est rapide et convaincant, car un seul cas qui échoue suffit. Les ressources d'accompagnement du programme indiquent qu'on cherche un contre-exemple pour prouver qu'une proposition est fausse. ² Elles distinguent aussi les deux gestes : une proposition universelle se valide par une démonstration générale, et se rejette grâce à un contre-exemple. ³

Dans ce cours, tu apprends à repérer les affirmations qu'un contre-exemple peut réfuter, à en trouver un avec méthode, à rédiger ta réfutation et à éviter les fautes de logique classiques. Tu t'appuies sur deux notions déjà rencontrées : l'appartenance à un ensemble et l'implication.

Définition et vocabulaire

Les textes d'accompagnement du programme insistent sur cette asymétrie : un contre-exemple suffit à infirmer une proposition, alors qu'un exemple ne suffit pas à la confirmer. Certains élèves ne le comprennent pas bien. ² C'est précisément le cœur de ce cours.

Le mot « exemple » est donc trompeur. Dans la vie courante, on dit « par exemple » pour illustrer une idée. En mathématiques, un exemple qui vérifie une affirmation universelle est une simple illustration : il rassure, mais il ne démontre rien. Un exemple qui contredit l'affirmation est au contraire décisif : c'est un contre-exemple.

Un exemple ne prouve pas, un contre-exemple réfute

Pourquoi cette différence de force entre exemple et contre-exemple ? Imagine une affirmation qui annonce « pour tout élément de l'ensemble $E$ , la propriété $P$ est vraie ». Si $E$ contient une infinité d'éléments, tu ne pourras jamais les tester tous un par un. Même mille essais réussis laissent un doute : le mille-et-unième cas peut échouer.

En revanche, dès que tu trouves un élément de $E$ qui ne vérifie pas $P$ , la phrase « tous les éléments vérifient $P$ » est devenue fausse, définitivement. Plus aucun calcul supplémentaire ne peut la sauver.

ExempleQuand les exemples trompent

Considère l'affirmation : « pour tout entier naturel $n$ , le nombre $n^2+n+41$ est premier ».

$n=0$ : $41$ , premier.
$n=1$ : $43$ , premier.
$n=2$ : $47$ , premier.
$n=3$ : $53$ , premier.

Quatre essais, quatre réussites : on est tenté de croire l'affirmation. Pourtant, pour $n=41$ on obtient $41^2+41+41 = 41\times 43 - 41 + 41$ ... Plus simplement : $41^2+41+41 = 41\times(41+1+1) = 41\times 43 = 1763$ , qui est divisible par 41, donc non premier. Le contre-exemple $n=41$ détruit l'affirmation, malgré les premiers succès.

La leçon : plusieurs exemples qui marchent ne remplacent jamais une démonstration.

Contre-exemple et implication

Beaucoup d'énoncés de lycée ont la forme d'une implication : « si $A$ , alors $B$ ». Sous-entendu : pour tous les cas où $A$ est vrai, $B$ l'est aussi. C'est donc une affirmation universelle, et un contre-exemple la réfute.

Un contre-exemple à « si $A$ alors $B$ » est un cas où $A$ est vrai et $B$ est faux. Les deux conditions sont nécessaires : si $A$ est faux, le cas ne dit rien sur l'implication (il ne la contredit pas).

Comment chercher un contre-exemple

Trouver un contre-exemple demande de l'esprit d'initiative, mais il existe des réflexes efficaces. Aucun n'est magique : l'idée est de tester d'abord les cas où une propriété a le plus de chances d'échouer.

Rédiger correctement une réfutation

Une réfutation par contre-exemple est courte, mais elle doit être complète. Un correcteur attend trois éléments : le choix explicite du contre-exemple, la vérification par calcul, et la conclusion qui fait le lien avec l'affirmation.

Les textes d'accompagnement rappellent que présenter ce type de raisonnement, avec la logique mathématique reliée à des exemples de la vie courante, aide les élèves à mieux comprendre. ² Tu peux t'entraîner avec des affirmations du quotidien : « tous les oiseaux volent » est contredit par le manchot, « tous les élèves de la classe aiment le chocolat » est contredit par un seul élève qui n'aime pas ça.

Négation d'une affirmation universelle

Pour bien utiliser le contre-exemple, il faut savoir écrire le contraire d'une affirmation universelle. Le contraire de « tous les éléments vérifient $P$ » n'est pas « aucun élément ne vérifie $P$ ». C'est : « il existe au moins un élément qui ne vérifie pas $P$ ». Cet élément est précisément un contre-exemple.

Cette observation explique pourquoi un seul cas suffit : réfuter « pour tout… » revient à démontrer « il existe… », et pour démontrer qu'un objet existe, on peut simplement le montrer.

ExempleÉcrire la négation

Affirmation	Sa négation
Tous les élèves de la classe ont un téléphone.	Au moins un élève de la classe n'a pas de téléphone.
Tout entier pair est multiple de 4.	Il existe un entier pair qui n'est pas multiple de 4.
Pour tout réel $x$ , $x^2>0$ .	Il existe un réel $x$ tel que $x^2\le 0$ .

Dans le troisième cas, $x=0$ convient : $0^2=0\le 0$ . C'est le contre-exemple qui montre que l'affirmation initiale est fausse.

Cette logique est très ancienne : un raisonnement comme « tous les hommes sont mortels ; Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel » repose sur une affirmation universelle appliquée à un cas particulier. ⁶ Pour la contredire, il suffirait de trouver un homme qui n'est pas mortel : c'est exactement la structure du contre-exemple.

Erreurs fréquentes et bilan

Exercices corrigés

Exercice 1 Un nombre qui trompe

★☆☆Environ 8 min

On considère l'affirmation : « pour tout entier naturel $n$ , le nombre $n^2+n+41$ est premier ». On teste $n=40$ : calcule la valeur de $n^2+n+41$ pour $n=40$ , puis dis si cette valeur est un nombre premier. Conclus sur l'affirmation.

Indice 1

Remplace $n$ par 40 et calcule d'abord $40^2$ .

Indice 2

Regarde si le résultat est un carré connu : $41\times 41$ .

Voir la correction pas à pas

On remplace $n$ par $40$ : $40^2+40+41$ .
On calcule : $1600+40+41=1681$ .
On remarque que $41\times 41=1681$ . Le nombre $1681$ est donc divisible par 41, avec un quotient différent de 1 : il n'est pas premier.
Pour $n=40$ , l'hypothèse (« $n$ est un entier naturel ») est satisfaite et la conclusion (« le nombre est premier ») est fausse.
Donc $n=40$ est un contre-exemple : l'affirmation est fausse.

Même si l'expression donne des nombres premiers pour de petites valeurs de $n$ , un seul contre-exemple, ici $n=40$ , suffit à réfuter l'affirmation. ²

Exercice 2 Réfuter une égalité et une implication

★★☆Environ 12 min

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donne un contre-exemple rédigé avec les calculs.

a) Pour tous réels $a$ et $b$ , $(a-b)^2=a^2-b^2$ .

b) Si un entier naturel est multiple de 4, alors il est multiple de 8.

c) Pour tout réel $x$ strictement positif, $\dfrac1x>x$ .

Indice 1

Pour a), essaie des valeurs simples comme $a=2$ et $b=1$ .

Indice 2

Pour b), cherche le plus petit multiple de 4 qui ne soit pas multiple de 8.

Indice 3

Pour c), pense à des nombres supérieurs à 1.

Voir la correction pas à pas

a) Fausse. Prenons $a=2$ et $b=1$ . Alors $(a-b)^2=1^2=1$ et $a^2-b^2=4-1=3$ . Comme $1\ne 3$ , le couple $(2\,;1)$ est un contre-exemple.
b) Fausse. Prenons $4$ . C'est un multiple de 4 ( $4=4\times 1$ ), donc l'hypothèse est vraie. Mais $4$ n'est pas multiple de 8 car $4<8$ et $4\ne 0$ . Donc $4$ est un contre-exemple.
c) Fausse. Prenons $x=2$ , qui est strictement positif. Alors $\dfrac1x=\dfrac12$ et $x=2$ . Comme $\dfrac12<2$ , l'inégalité $\dfrac1x>x$ est fausse. Donc $x=2$ est un contre-exemple.
On conclut : les trois affirmations sont fausses, chacune est réfutée par un seul cas vérifié par calcul.

Dans les trois cas, des valeurs simples ont suffi. Chaque contre-exemple a été vérifié : hypothèse satisfaite, conclusion fausse. ²

Les questions qu'on se pose

Un exemple suffit-il à prouver une affirmation ?

Non, si l'affirmation est universelle. Un exemple qui la vérifie ne fait qu'illustrer. ² Pour la prouver, il faut une démonstration qui traite tous les cas à la fois. ³ Un exemple peut en revanche suffire à prouver une affirmation d'existence du type « il existe un nombre tel que… » : il suffit de le donner.

Comment savoir par où commencer pour trouver un contre-exemple ?

Teste d'abord les valeurs simples ( $0$ , $1$ , $-1$ ), puis les cas particuliers : nombres négatifs, nombres entre 0 et 1, nombres égaux, fractions. Si l'énoncé est une implication, cherche un cas qui vérifie l'hypothèse mais pas la conclusion. Si rien ne casse après plusieurs essais, essaie de démontrer l'énoncé.

Si je ne trouve pas de contre-exemple, l'affirmation est-elle vraie ?

Pas forcément. Ne pas trouver de contre-exemple ne prouve rien : peut-être n'as-tu pas essayé le bon cas. Une affirmation universelle n'est établie que par une démonstration générale. ³ Le contre-exemple ne sert qu'à réfuter.

Qu'écrire dans un devoir pour qu'un contre-exemple soit accepté ?

Écris que l'affirmation est fausse, donne la valeur choisie, calcule pour montrer que l'hypothèse est satisfaite et que la conclusion est fausse, puis conclus explicitement que ce cas est un contre-exemple. Sans calcul visible, la réfutation reste incomplète.

Sources

Programme visé : Programmes et ressources en mathématiques - Voie générale et technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse / Éduscol

Programmes et ressources en mathématiques - Voie générale et technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse / Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Intentions majeures - Mathématiques première technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Vocabulaire ensembliste et logique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Guide pédagogique - Proposition et implication en logique mathématique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Bulletin officiel - Programme mathématiques voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Approche didactique de la quantification dans la classe de mathématiques, IREM - Université Grenoble Alpes. Consulté le 11 novembre 2026.

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