Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Le contre-exemple : fiche de révision de Première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un contre-exemple est un cas précis qui rend fausse une proposition annoncée comme vraie pour tous les éléments d'un ensemble : on le cherche pour prouver qu'une proposition est fausse.2
- Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une proposition universelle est fausse.3
- Plusieurs exemples qui marchent ne suffisent jamais à démontrer qu'elle est vraie : il faut une démonstration générale.3
- Pour une implication « si P alors Q », le contre-exemple vérifie P mais pas Q.
- Si tu ne trouves aucun contre-exemple, cela ne prouve pas que la proposition est vraie.
L'essentiel à retenir
En mathématiques, beaucoup d'énoncés ont la forme « pour tout élément d'un ensemble, telle propriété est vraie ». On les appelle des propositions universelles. Le contre-exemple est l'outil qui sert à les attaquer.
Méthode : trouver et rédiger un contre-exemple
Les pièges à éviter
Questions flash
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Pour , on obtient , qui est faux : la propriété échoue, c'est donc un contre-exemple. Pour , et , l'inégalité est vraie (, , ) : ces valeurs la vérifient et ne la réfutent pas.
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C'est faux : des exemples qui marchent ne prouvent pas une propriété universelle, il faut une démonstration générale. L'erreur tentante est de croire que « ça marche trois fois » vaut preuve ; un seul cas qui échoue suffirait à la détruire.
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Pour , l'hypothèse est vraie et la conclusion est fausse. Pour , la conclusion est vraie. Pour et , l'hypothèse est fausse ( et ne valent pas ), donc ce ne sont pas des contre-exemples.
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C'est vrai : un seul élément pour lequel la propriété est fausse suffit à rendre la proposition universelle fausse.2 L'erreur serait de croire qu'il en faut plusieurs.
Les questions qu'on se pose
Combien de contre-exemples faut-il donner ?
Un seul suffit pour réfuter une proposition universelle.3 Donne-le avec son calcul, puis conclus que la proposition est fausse.
Comment savoir si je dois chercher un contre-exemple ou faire une démonstration ?
Teste d'abord quelques valeurs simples (zéro, un nombre négatif, une fraction). Si l'une d'elles fait échouer la propriété, tu as ton contre-exemple. Si tout marche, ne conclus pas que c'est vrai : une démonstration générale est nécessaire.3
Peut-on utiliser un contre-exemple pour montrer qu'une proposition est vraie ?
Non. Le contre-exemple sert à prouver qu'une proposition est fausse.2 Pour établir qu'une proposition universelle est vraie, il faut raisonner sur un élément quelconque.
Sources
Programme visé : Programmes et ressources en mathématiques - Voie générale et technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse / Éduscol
- Programmes et ressources en mathématiques - Voie générale et technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse / Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
- Intentions majeures - Mathématiques première technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
- Ressources d'accompagnement - Vocabulaire ensembliste et logique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
- Guide pédagogique - Proposition et implication en logique mathématique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
- Bulletin officiel - Programme mathématiques voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
- Approche didactique de la quantification dans la classe de mathématiques, IREM - Université Grenoble Alpes. Consulté le 11 novembre 2026.
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