Contre-exemple : exercices corrigés de Première technologique

L'affirmation commence par « tout » : un seul entier impair suffit à la réfuter.

On teste $1$ : $1 = 2 \times 0 + 1$, donc $1$ n'est pas un multiple de $2$ ; il est impair.

$1$ est donc un contre-exemple.

Pour la dernière question, $1$ est le plus petit entier strictement positif, donc c'est bien le plus petit contre-exemple.

Pour $x = 3$ : $x^2 = 9 \geq 3$, l'inégalité est vraie. Pour $x = -2$ : $x^2 = 4 \geq -2$, elle est vraie aussi.

Ces deux cas qui marchent ne prouvent rien sur tous les réels.

Pour $x = \dfrac12$ : $x^2 = \dfrac14$.

Or $\dfrac14 < \dfrac12$, donc $x^2 \geq x$ est fausse pour cette valeur.

On a trouvé un réel où la propriété échoue : c'est un contre-exemple.

Hypothèse : « $n$ est premier ». Conclusion : « $n$ est impair ».

On cherche un nombre premier pair.

$2$ n'est divisible que par $1$ et par lui-même : il est premier. Et $2$ est pair.

L'hypothèse est vraie et la conclusion fausse pour $n = 2$ : c'est un contre-exemple.

Pour $9$ : l'hypothèse « $9$ est premier » est fausse (car $9 = 3 \times 3$). L'implication n'est donc pas contredite, et $9$ n'est pas un contre-exemple.

Pour $x = 3$ : $3^2 = 9$ et $x = 3$, tout va bien. Mais un seul cas réussi ne prouve rien.

On résout $x^2 = 9$, c'est-à-dire $x^2 - 9 = 0$, soit $(x-3)(x+3) = 0$.

Les solutions sont $x = 3$ et $x = -3$.

Pour $x = -3$ : $(-3)^2 = 9$ donc l'hypothèse est vraie, mais $x = -3 \neq 3$, donc la conclusion est fausse.

$x = -3$ est un contre-exemple.

Version vraie : « si $x^2 = 9$ alors $x = 3$ ou $x = -3$ ».

Pour $a = 0$ et $b = 5$ : $(0+5)^2 = 25$ et $0^2 + 5^2 = 25$. Les deux valeurs sont égales, mais ce cas est particulier et ne prouve rien.

Pour $a = 1$ et $b = 2$ : $(1+2)^2 = 3^2 = 9$.

Et $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Comme $9 \neq 5$, la formule échoue : le couple $(1\,;\,2)$ est un contre-exemple.

L'écart est $9 - 5 = 4$. Il vaut $2ab = 2 \times 1 \times 2 = 4$, ce qui explique le terme manquant dans $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Pour $n = 1$ : $1$ et $2$, donc $1 > 2$ est faux.

Pour $n = 2$ : $4$ et $4$, donc $4 > 4$ est faux (l'inégalité est stricte).

Pour $n = 3$ : $9$ et $6$, donc $9 > 6$ est vrai.

Pour $n \geq 3$, $n^2 > 2n$ équivaut à $n > 2$ (on divise par $n > 0$), ce qui est vrai pour $3, 4, \dots, 10$.

Il y a donc deux contre-exemples dans l'intervalle : $n = 1$ et $n = 2$.

Huit vérifications réussies (de $3$ à $10$) ne forment pas une démonstration pour tous les entiers ; ici c'est la division par $n$ qui fournit la preuve générale pour $n \geq 3$.

Cinq cas réussis ne démontrent pas une affirmation valable pour tous les entiers : un seul cas défaillant la réfuterait.

Pour $n = 40$ : $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681$.

On remarque $40^2 + 40 + 41 = 40 \times 41 + 41 = 41 \times (40 + 1) = 41 \times 41$.

Donc $1681 = 41^2$, un nombre divisible par $41$ et différent de $41$ : il n'est pas premier.

L'hypothèse (« $n$ est un entier naturel ») est vraie pour $40$ et la conclusion (« le nombre est premier ») est fausse : $n = 40$ est un contre-exemple.