Fonctions affines et modèle linéaire : cours de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b ; sa courbe est une droite, a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
Elle modélise une grandeur dont le taux d'accroissement est constant : quand x augmente de 1, f(x) varie toujours de a1.
Les suites arithmétiques jouent le même rôle pour des grandeurs discrètes : la raison est l'équivalent du coefficient directeur 1.
Offre et demande modélisées par deux fonctions affines : le point d'équilibre est leur intersection ; un barème d'impôt est une fonction affine par morceaux1.
Sur des données, l'ajustement affine cherche la droite qui décrit au mieux y comme fonction affine de x3 ; un modèle reste une approximation.
Pourquoi modéliser par une fonction
Dans la vie courante, une grandeur dépend souvent d'une autre : le prix d'un abonnement dépend du nombre de mois, la quantité de pluie dépend de l'altitude, l'impôt dépend du revenu. Pour étudier ces liens, on exprime une grandeur en fonction d'une autre : c'est ce que le programme de collège appelle modéliser une situation par une fonction 2.
Ce cours part de ce que tu connais déjà. Les fonctions affines ont été vues en seconde, et le programme de première les reprend sous l'angle de la modélisation1. L'objectif n'est donc plus seulement de calculer une image, mais de décider quand un modèle affine est raisonnable, de le construire à partir d'un énoncé, puis d'interpréter le résultat dans le contexte.
Le programme précise aussi qu'un outil de calcul (calculatrice, tableur, logiciel de géométrie) sert à se libérer des contraintes techniques pour mieux se concentrer sur la modélisation et sur l'interprétation des résultats 1. Tu peux donc utiliser un tableur pour tracer une droite ou résoudre une équation : ce qui compte, c'est de savoir ce que le résultat signifie.
La fonction affine : définition et vocabulaire
Représentation graphique et coefficient directeur
Démonstration · Pourquoi le quotient vaut $a$
Soit f(x)=ax+b et deux réels x1=x2. On calcule
f(x2)−f(x1)=(ax2+b)−(ax1+b)=a(x2−x1).
On divise par x2−x1, non nul : le quotient vaut a. Le nombre b disparaît dans la soustraction, ce qui explique que la pente ne dépende que de a.
Deux droites qui se coupent · f(x) = 2x + 1 et g(x) = -x + 4 : le point d'intersection est (1 ; 3).
Taux d'accroissement constant et suites arithmétiques
D'après le programme de première, deux outils décrivent les grandeurs dont la variation reste identique d'une unité à l'autre : les suites arithmétiques et les fonctions affines. Les premières s'appliquent aux grandeurs discrètes, les secondes aux grandeurs continues 1. Une grandeur est continue quand elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (une durée, une masse) ; elle est discrète quand elle ne prend que des valeurs isolées (un nombre de mois entiers, un nombre d'élèves).
« Les suites arithmétiques et les fonctions affines modélisent des grandeurs discrètes ou continues dont le taux d'accroissement est constant. » 1
Le programme suggère de rapprocher la façon dont varient les fonctions affines et celle dont varient les suites arithmétiques 1. Voici le parallèle, que tu peux construire toi-même :
Fonction affine
Suite arithmétique
Variable
x réel
n entier
Écriture
f(x)=ax+b
un=u0+nr
Ce qui est constant
a (pente)
r (raison)
Croissante si
a>0
r>0
Décroissante si
a<0
r<0
Du texte à la fonction : la méthode de modélisation
Exprimer une grandeur en fonction d'une autre est une compétence travaillée depuis le collège 2. Parmi les situations de référence, le programme cite les abonnements, qui conduisent à des fonctions linéaires ou affines 2. Voici une démarche en quatre temps.
VariableChoisir ce qui varie : mois, kilomètres, objets
Part fixeCe qu'on paie pour x = 0 : c'est b
Part par unitéCe qui s'ajoute pour chaque unité de x : c'est a
Écrire et interpréterf(x) = ax + b, avec unités et domaine
Modéliser en quatre temps
Offre, demande et point d'équilibre
En première, on représente par des fonctions affines ce que les producteurs proposent et ce que les clients achètent, puis on cherche le point d'équilibre du marché 1. Un produit se vend à un prix p. Plus le prix est élevé, plus les producteurs souhaitent en vendre : l'offre augmente avec p. Plus le prix est élevé, moins les clients achètent : la demande diminue quand p augmente.
Fonction affine par morceaux : le barème de l'impôt
Certains phénomènes ne suivent pas une seule droite. Le calcul de l'impôt sur le revenu en est un exemple : la somme à payer s'obtient avec une expression affine qui change selon la tranche où se situe le revenu. Le programme de première en fait un modèle, appelé fonction affine par morceaux, et y distingue le taux marginal du taux moyen 1. Concrètement, une telle fonction est définie par des expressions affines différentes sur des intervalles consécutifs : la courbe est formée de segments ou de demi-droites mises bout à bout.
Barème fictif : impôt selon le revenu
Revenu (€)
Impôt (€)
Taux moyen
10 000
0
0 %
20 000
1 000
5 %
25 000
1 500
6 %
30 000
2 000
6,7 %
Barème fictif : impôt selon le revenu · Barème fictif : 0 % jusqu'à 10 000 €, puis 10 % au-delà.
Ajustement affine : le modèle linéaire sur des données
Jusqu'ici, la fonction était donnée par l'énoncé. En statistique, c'est l'inverse : on dispose de mesures et on cherche une fonction qui les résume. Dans la famille des régressions linéaires, le cas le plus élémentaire est l'ajustement affine : on cherche une droite qui permette de décrire une variable statistique y comme une fonction affine d'une autre variable x3.
Limites du modèle et lien avec la suite du programme
Un modèle affine est une simplification. Il convient quand le taux d'accroissement est constant ou presque, sur un intervalle limité. Il convient mal quand la grandeur accélère ou ralentit : une population qui double à intervalles réguliers, ou une trajectoire qui monte puis redescend.
Modèle affine
Forme
f(x) = ax + b
Courbe : droite
f(0) = b
Pente a
Taux constant
a > 0 croît
a < 0 décroît
Applications
Abonnement
Offre / demande
Impôt par tranches
Données
Ajustement affine
Prévision prudente
Le modèle affine en un coup d'œil
Cette notion ouvre sur la suite : les fonctions du second degré permettent de modéliser des phénomènes où le taux d'accroissement lui-même varie, et la variation exponentielle décrit les croissances par pourcentage. Savoir pourquoi le modèle affine ne suffit pas est la meilleure introduction à ces notions.
Exercices corrigés
Exercice 1 Un abonnement de salle de sport
★☆☆Environ 8 min
Une salle de sport demande 15 € de frais d'inscription puis 22 € par mois. On note f(x) le coût total, en euros, après x mois.
Écris l'expression de f(x).
Calcule le coût total après 8 mois.
Que représente le nombre 22 dans le modèle ?
Indice 1
La part fixe est payée même au mois 0.
Indice 2
Remplace x par 8 dans l'expression trouvée.
Voir la correction pas à pas
Les frais d'inscription sont fixes : b=15. Le prix mensuel s'ajoute à chaque mois : a=22.
On obtient f(x)=22x+15.
Pour 8 mois : f(8)=22×8+15=176+15=191 €.
Le nombre 22 est le coefficient directeur : c'est le coût d'un mois supplémentaire, en euros par mois.
Après 8 mois, le coût total est de 191 €. Le coefficient directeur se lit toujours comme la variation de y pour une unité de plus sur x.
Exercice 2 Retrouver une droite par deux points
★★☆Environ 10 min
La droite d passe par A(2;5) et B(6;17) et représente une fonction affine f.
Calcule le coefficient directeur de d.
Détermine l'expression de f(x).
Calcule l'antécédent de 41 par f.
Indice 1
Utilise a=xB−xAyB−yA.
Indice 2
Un antécédent de 41 est une solution de f(x)=41.
Voir la correction pas à pas
Coefficient directeur : a=6−217−5=412=3.
Avec A : 5=3×2+b, donc b=−1 et f(x)=3x−1.
Vérification avec B : 3×6−1=17, correct.
Antécédent de 41 : 3x−1=41, donc 3x=42 et x=14.
L'antécédent de 41 est 14. On vérifie : f(14)=3×14−1=41.
Exercice 3 Prix d'équilibre d'un marché
★★☆Environ 12 min
Sur un marché de miel, l'offre hebdomadaire (en pots) est O(p)=4p−10 et la demande D(p)=50−6p, où p est le prix du pot en euros.
Calcule le prix d'équilibre.
Calcule la quantité échangée à l'équilibre.
Pour un prix de 8 €, l'offre est-elle supérieure à la demande ? De combien ?
Indice 1
Pose O(p)=D(p).
Indice 2
Pour la quantité, remplace p dans O puis vérifie avec D.
Voir la correction pas à pas
On résout 4p−10=50−6p : on regroupe, 10p=60, donc p=6.
Quantité : O(6)=4×6−10=14 et D(6)=50−6×6=14.
À 8 € : O(8)=22 et D(8)=50−48=2.
L'offre dépasse la demande de 22−2=20 pots.
Le prix d'équilibre est 6 € et 14 pots sont échangés. À 8 €, il y a 20 pots en excédent.
Exercice 4 Un impôt par tranches (barème fictif)
★★★Environ 15 min
Un barème fictif taxe à 0 % la part de revenu jusqu'à 10 000 €, puis à 10 % la part de revenu au-delà. On note R le revenu annuel et I(R) l'impôt.
Exprime I(R) pour R≥10000.
Calcule l'impôt pour R=25000 €.
Calcule le taux moyen correspondant et compare-le au taux marginal.
Indice 1
Seule la part au-delà de 10 000 € est taxée.
Indice 2
Taux moyen = impôt divisé par revenu.
Voir la correction pas à pas
Pour R≥10000, la part taxée est R−10000 : I(R)=0,10(R−10000)=0,10R−1000.
Pour R=25000 : I=0,10×15000=1500 €.
Taux moyen : 250001500=0,06, soit 6 %.
Le taux marginal est 10 %, supérieur au taux moyen de 6 %, car la première tranche n'est pas taxée.
L'impôt est de 1 500 €, soit un taux moyen de 6 % contre un taux marginal de 10 %.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
h(x)=7−4x=−4x+7 a la forme ax+b avec a=−4 et b=7. Les autres ne le sont pas : 3x2 contient un carré, x5 met x au dénominateur, x est une racine. L'erreur tentante est de croire que « +1 » suffit à rendre une fonction affine.
On réécrit f(x)=−2x+3 : le coefficient directeur est −2 et l'ordonnée à l'origine est 3. Répondre 3 vient de la lecture dans l'ordre d'écriture, ce qui est faux car le signe et le nombre devant x forment a.
Faux : si a<0, quand x augmente, ax diminue, donc la fonction est strictement décroissante. La croissance correspond à a>0.
a=4−19−3=36=2. Une erreur fréquente est de diviser les abscisses par les ordonnées (63), ce qui inverse le quotient.
Un taux d'accroissement constant signifie que le quotient ΔxΔy est le même partout : on ajoute toujours la même quantité. Doubler à chaque unité est une croissance par pourcentage, qui n'est pas affine ; une grandeur qui ne change jamais correspond seulement au cas a=0.
On résout 4p−10=50−6p, donc 10p=60 et p=6. Donner 14 revient à confondre le prix avec la quantité échangée, qui est l'ordonnée du point d'équilibre.
Faux : le taux marginal ne s'applique qu'à la part du revenu qui dépasse le seuil de la tranche. Les parties inférieures restent taxées à leurs propres taux, ce qui explique que le taux moyen soit inférieur au taux marginal.
L'ajustement affine cherche une droite qui explique y comme fonction affine de x, et on parle de modèle linéaire simple avec une seule variable explicative. En revanche, un bon alignement ne prouve pas une causalité, et l'extrapolation loin des mesures est moins fiable que l'interpolation.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre fonction linéaire et fonction affine ?
Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax : sa droite passe par l'origine et les valeurs sont proportionnelles à x2. Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b : si b=0, elle n'est pas proportionnelle. Toute fonction linéaire est affine, mais la réciproque est fausse.
Comment savoir si une situation se modélise par une fonction affine ?
Cherche un taux d'accroissement constant 1 : chaque unité supplémentaire de x doit ajouter ou retirer la même quantité à y. Avec un tableau de valeurs, calcule plusieurs quotients ΔxΔy : s'ils sont tous égaux, le modèle affine est adapté. Avec un nuage de points, regarde s'ils sont à peu près alignés.
À quoi servent les fonctions affines dans la vie réelle ?
Elles servent à modéliser des abonnements ou des tarifs 2, l'offre et la demande d'un produit avec son point d'équilibre, le barème d'un impôt par tranches 1, ou à résumer des mesures par une droite d'ajustement 3. Dans chaque cas, le coefficient directeur donne la variation pour une unité de plus.
Quelle est la différence entre taux marginal et taux moyen ?
Le taux marginal est celui de la dernière tranche atteinte, le taux moyen est le rapport entre l'impôt total et le revenu total 1. Avec un barème dont la première tranche est à 0 %, le taux moyen reste inférieur au taux marginal.
Peut-on faire confiance à une droite d'ajustement pour prévoir l'avenir ?
Seulement avec prudence. La droite décrit bien les mesures dans l'intervalle étudié, mais une prévision loin de ces mesures (extrapolation) peut être fausse. Une droite qui colle aux points ne prouve pas non plus que x cause y3.