Fonctions affines et modèle linéaire : fiche de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b : a est le coefficient directeur (le taux d'accroissement constant), b la valeur en x=0.
Le modèle linéaire convient quand une grandeur augmente ou diminue d'une quantité constante à chaque unité de l'autre grandeur.1
Avec deux points (x1;y1) et (x2;y2), on calcule a=x2−x1y2−y1 puis b=y1−ax1.
Un modèle reste une approximation : on l'utilise dans un domaine où la situation s'y prête, et on interprète a et b avec leurs unités.
L'essentiel à retenir
Cette fiche rassemble ce qu'il faut savoir sur les fonctions affines utilisées comme modèle d'une situation. Les fonctions affines ont déjà été étudiées en seconde : en première, on les revoit surtout pour modéliser, sans refaire toute la théorie.1
Modéliser avec une fonction affine
Modéliser, c'est exprimer une grandeur en fonction d'une autre.2 Le modèle linéaire est le plus simple : on suppose que la grandeur évolue de façon régulière.
Coût d'un abonnement : f(x) = 2x + 5 · Chaque séance supplémentaire ajoute 2 €.
D'autres situations se modélisent de la même façon : l'offre et la demande par des fonctions affines, dont l'intersection donne le point d'équilibre,1 ou encore un barème d'impôt par une fonction affine par morceaux, avec la distinction entre taux marginal et taux moyen.1
Méthode : trouver l'expression de la fonction
Du modèle exact à l'ajustement affine
En statistiques, les données réelles ne sont presque jamais exactement alignées. L'ajustement affine consiste à chercher la droite qui explique au mieux le comportement d'une variable y comme fonction affine d'une autre variable x.3 Le modèle à une seule variable explicative s'appelle le modèle linéaire simple.3
Pièges fréquents
Questions flash
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On remplace x par 4 : f(4)=3×4−2=12−2=10. L'erreur tentante est de trouver 12 en oubliant de soustraire 2, ou 6 en calculant 3×(4−2) : on multiplie d'abord, puis on retire 2.
a=4−116−7=39=3. Trouver 9 revient à oublier de diviser par l'écart des abscisses ; trouver 23 revient à additionner les ordonnées (16+7) au lieu de les soustraire.
Un taux d'accroissement constant caractérise les fonctions affines,1 et ici il vaut 4. Le coefficient 1 est l'écart sur x, pas sur la grandeur. Un doublement correspond à une croissance qui s'accélère, et une fonction constante ne varie pas.
Le coefficient directeur a=−2 est négatif, donc la fonction est décroissante. La présence du 8, positif, ne joue que sur la valeur en x=0, pas sur le sens de variation.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre fonction linéaire et fonction affine ?
Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax : elle traduit la proportionnalité.2 Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b ; elle est linéaire seulement quand b=0. Sa droite passe alors par l'origine.
Comment savoir si un énoncé se modélise par une fonction affine ?
Cherche un taux de variation constant : la grandeur change de la même quantité pour chaque unité de l'autre grandeur.1 Les mots « par séance », « par kilomètre » ou « chaque mois » sont de bons indices. Avec un tableau, vérifie que le rapport ΔxΔy est le même partout.
Pourquoi une droite d'ajustement ne passe-t-elle pas par tous les points ?
Parce que les mesures réelles s'écartent toujours un peu d'un alignement parfait. L'ajustement affine cherche la droite qui explique au mieux le comportement de y en fonction de x,3 sans prétendre reproduire chaque point.