Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonctions affines et modèle linéaire : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ : $a$ est le taux d'accroissement constant, $b$ la valeur de départ.¹
Avec deux points, on calcule $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ , puis $b$ en remplaçant dans l'un des points.
Dès qu'une grandeur varie de la même quantité à chaque pas, une fonction affine ou une suite arithmétique convient pour la décrire.¹
Pour une situation de marché, on cherche le point d'équilibre en résolvant l'égalité de deux expressions affines.¹
Un ajustement affine revient à faire passer une droite au plus près des données pour exprimer $y$ à partir de $x$ .³

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à passer d'une situation concrète à une fonction affine, puis à lire le résultat dans le contexte. Ils sont classés du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul·e, sur papier, en t'aidant des indices uniquement si tu bloques. Ouvre la correction à la fin, pour comparer ta démarche, pas seulement ton résultat.

Selon le programme de première, un taux d'accroissement constant est la marque commune des suites arithmétiques et des fonctions affines, que la grandeur étudiée prenne des valeurs isolées ou continues.¹ Les fonctions affines sont déjà vues en seconde, et le professeur peut rapprocher leur sens de variation de celui des suites arithmétiques.¹ Tu retrouveras cette idée dans plusieurs exercices.

Les exercices

Exercice 1 Un abonnement à la salle de sport

★☆☆Environ 5 min

Une salle de sport demande 15 € de frais d'inscription, puis 22 € par mois.

Exprime le coût total $f(x)$ , en euros, pour $x$ mois d'abonnement.
Calcule le coût total au bout de 8 mois.

Indice 1

Les frais d'inscription se paient une seule fois : ils ne dépendent pas de $x$ .

Indice 2

Le prix mensuel est multiplié par le nombre de mois.

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On repère la valeur de départ : $b=15$ , car à $x=0$ on a déjà payé l'inscription.
On repère l'augmentation régulière : $a=22$ euros par mois.
On écrit $f(x)=22x+15$ .
On calcule l'image de 8 : $f(8)=22\times 8+15=176+15=191$ .

Au bout de 8 mois, le coût total est de 191 €. La fonction est affine et non linéaire, car $b=15$ n'est pas nul : le coût n'est pas proportionnel au nombre de mois.

Exercice 2 Retrouver une fonction affine avec deux valeurs

★☆☆Environ 8 min

Une fonction affine $f$ vérifie $f(2)=7$ et $f(5)=16$ .

Calcule le coefficient directeur $a$ .
Détermine $b$ et écris $f(x)$ .
Calcule $f(10)$ .

Indice 1

Utilise $a=\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}$ .

Indice 2

Remplace $x$ et $f(x)$ par les valeurs d'un des deux points dans $ax+b$ pour trouver $b$ .

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On calcule $a=\dfrac{16-7}{5-2}=\dfrac{9}{3}=3$ .
On écrit $f(x)=3x+b$ et on utilise $f(2)=7$ : $3\times 2+b=7$ , donc $b=1$ .
On obtient $f(x)=3x+1$ . Vérification avec l'autre point : $3\times 5+1=16$ , c'est cohérent.
On calcule $f(10)=3\times 10+1=31$ .

La fonction est $f(x)=3x+1$ et $f(10)=\mathbf{31}$ . Vérifier avec le second point évite une erreur de signe sur $b$ .

Exercice 3 Vidange d'une cuve

★☆☆Environ 6 min

Une cuve contient 120 litres d'eau. On ouvre un robinet qui la vide à débit constant de 4 litres par minute.

Exprime le volume $V(x)$ , en litres, restant dans la cuve après $x$ minutes.
Au bout de combien de minutes la cuve est-elle vide ?

Indice 1

Ici la grandeur diminue : le coefficient directeur est négatif.

Indice 2

La cuve est vide quand $V(x)=0$ .

Voir la correction pas à pas

Volume initial : $b=120$ . Variation par minute : $a=-4$ .
On écrit $V(x)=-4x+120$ .
La cuve est vide quand $V(x)=0$ , soit $-4x+120=0$ .
On résout : $4x=120$ , donc $x=30$ .

La cuve est vide au bout de 30 minutes. Un coefficient directeur négatif traduit une grandeur qui décroît régulièrement.

Exercice 4 Comparer deux tarifs

★★☆Environ 10 min

Une piscine propose deux formules :

Formule A : 9 € par entrée.
Formule B : un abonnement annuel de 60 €, puis 4 € par entrée.

Exprime le coût annuel $A(x)$ et $B(x)$ pour $x$ entrées.
Pour quel nombre d'entrées les deux formules coûtent-elles autant ?
À partir de combien d'entrées la formule B est-elle strictement la moins chère ?

Indice 1

$A$ est une fonction linéaire, $B$ est affine avec $b=60$ .

Indice 2

Les coûts sont égaux quand $A(x)=B(x)$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $A(x)=9x$ et $B(x)=4x+60$ .
On résout $9x=4x+60$ , soit $5x=60$ et $x=12$ .
À 12 entrées, les deux coûts valent $9\times 12=108$ euros.
Au-delà, chaque entrée supplémentaire coûte 5 euros de moins avec B (9 contre 4) : B devient strictement moins chère dès 13 entrées. On vérifie : $A(13)=117$ et $B(13)=112$ .

Les formules coûtent autant pour 12 entrées ; à partir de 13 entrées, la formule B est la plus avantageuse. Moins de 12 entrées, la formule A l'emporte.

Exercice 5 Une suite arithmétique et une fonction affine

★★☆Environ 8 min

Une suite arithmétique $(u_n)$ a pour premier terme $u_0=5$ et pour raison $3$ .

Exprime $u_n$ en fonction de $n$ et compare avec la fonction affine $f(x)=3x+5$ .
Calcule $u_{20}$ .
Cette suite est-elle croissante ? Justifie par le signe de la raison.

Indice 1

À chaque rang, on ajoute toujours 3 : le terme de rang $n$ est $u_0$ plus $n$ fois la raison.

Indice 2

Compare les deux écritures : que jouent la raison et $u_0$ dans la fonction ?

Voir la correction pas à pas

On a $u_n=u_0+n\times 3=3n+5$ .
C'est la même expression que $f(x)=3x+5$ , évaluée seulement en des entiers : la raison joue le rôle du coefficient directeur et $u_0$ celui de $b$ . Le programme invite justement à rapprocher ces deux notions.¹
On calcule $u_{20}=3\times 20+5=65$ .
La raison $3$ est positive, donc la suite est croissante, comme la fonction $f$ dont le coefficient directeur $3$ est positif.

On trouve $u_n=3n+5$ et $u_{20}=\mathbf{65}$ . Une suite arithmétique est le pendant « discret » d'une fonction affine : on ne regarde que les valeurs entières de $x$ .

Exercice 6 Offre, demande et point d'équilibre

★★☆Environ 12 min

Sur un marché, on modélise la demande et l'offre d'un produit, en centaines d'unités, en fonction du prix $p$ en euros par :

demande : $D(p)=500-20p$ ;
offre : $O(p)=30p-100$ .

Dis, en regardant le signe des coefficients directeurs, comment évoluent la demande et l'offre quand le prix augmente.
Détermine le prix d'équilibre, c'est-à-dire celui pour lequel offre et demande sont égales.
Quelle quantité s'échange à ce prix ?

Indice 1

Le point d'équilibre correspond à $D(p)=O(p)$ .

Indice 2

Après avoir trouvé $p$ , remplace-le dans $D$ ou dans $O$ pour obtenir la quantité.

Voir la correction pas à pas

Pour $D$ , $a=-20<0$ : la demande baisse quand le prix monte. Pour $O$ , $a=30>0$ : l'offre augmente quand le prix monte.
On résout $500-20p=30p-100$ , soit $600=50p$ , donc $p=12$ .
On calcule la quantité : $D(12)=500-240=260$ et $O(12)=360-100=260$ : les deux valeurs coïncident.
On interprète : 260 centaines, soit 26 000 unités.

Le prix d'équilibre est de 12 € et 260 centaines d'unités s'échangent. Cette situation figure explicitement au programme : l'offre et la demande y sont traitées par deux fonctions affines dont on cherche le point d'équilibre.¹ Graphiquement, c'est l'intersection des deux droites.

Exercice 7 Un barème d'impôt fictif

★★★Environ 15 min

Le programme prévoit de représenter l'impôt sur le revenu par une fonction affine définie morceau par morceau, ce qui permet de distinguer taux marginal et taux moyen.¹ On étudie ici un barème fictif pour un revenu $R$ en euros :

rien jusqu'à 10 000 € ;
10 % de la part comprise entre 10 000 € et 30 000 € ;
30 % de la part au-delà de 30 000 €.

Exprime l'impôt $I(R)$ pour $R$ compris entre 10 000 et 30 000.
Calcule l'impôt pour un revenu de 40 000 €.
Calcule le taux moyen, en pourcentage, pour ce revenu.

Indice 1

Sur chaque morceau, l'impôt est une fonction affine de $R$ : on ne taxe que la part qui dépasse le seuil.

Indice 2

Le taux moyen est le rapport de l'impôt au revenu.

Voir la correction pas à pas

Pour $10\,000\le R\le 30\,000$ : $I(R)=0{,}1\,(R-10\,000)=0{,}1R-1\,000$ .
À $R=30\,000$ , l'impôt vaut $0{,}1\times 20\,000=2\,000$ euros.
Pour $R=40\,000$ , on ajoute 30 % de la part au-delà de 30 000 : $2\,000+0{,}3\times 10\,000=5\,000$ euros.
Le taux moyen est $\dfrac{5\,000}{40\,000}=0{,}125$ , soit $12{,}5\ \%$ .

L'impôt est de 5 000 € et le taux moyen est de 12,5 %, alors que le taux marginal de la dernière tranche est de 30 %. Le taux marginal s'applique à la part supplémentaire, le taux moyen à l'ensemble du revenu : ils ne sont pas égaux.

Exercice 8 Ajustement affine : pluie et altitude

★★★Environ 12 min

Des travaux sur les précipitations dans les Alpes du Nord ont mis en évidence des liens linéaires entre la pluie et l'altitude.³ On modélise ici des données fictives : à 500 m d'altitude, il tombe 900 mm d'eau par an ; à 1 500 m, 1 300 mm.

Détermine la fonction affine $P$ qui donne la hauteur de pluie annuelle en fonction de l'altitude $x$ , en mètres, en supposant qu'elle passe par ces deux relevés.
Interprète le coefficient directeur.
Prévois la hauteur de pluie à 1 100 m.

Indice 1

Calcule le coefficient directeur avec les deux relevés.

Indice 2

Un ajustement affine consiste à choisir une droite qui résume au mieux la dépendance de $y$ envers $x$ .³ Ici, on impose simplement qu'elle passe par deux points.

Voir la correction pas à pas

Coefficient directeur : $a=\dfrac{1\,300-900}{1\,500-500}=\dfrac{400}{1\,000}=0{,}4$ .
Ordonnée à l'origine : $900=0{,}4\times 500+b$ , donc $b=700$ . Ainsi $P(x)=0{,}4x+700$ .
Interprétation : à chaque tranche de 100 m d'altitude supplémentaire, on gagne 40 mm de pluie par an, soit $0{,}4$ mm par mètre.
Prévision : $P(1\,100)=0{,}4\times 1\,100+700=1\,140$ .

On prévoit 1 140 mm à 1 100 m. Ce résultat reste une estimation : une droite tracée à partir de deux relevés ne prouve pas que la relation soit parfaitement affine entre les deux. En statistique, on parle d'ajustement affine quand on cherche une telle droite pour résumer un nuage de points.³

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une situation se modélise par une fonction affine ?

Cherche une grandeur qui varie de la même quantité chaque fois que l'autre augmente d'une unité : c'est le signe d'un taux d'accroissement constant, caractéristique des fonctions affines.¹ Si de plus la grandeur vaut 0 quand $x=0$ , la fonction est linéaire et la situation est proportionnelle.² Sinon, il y a une valeur de départ $b$ non nulle.

Quelle différence entre fonction linéaire et fonction affine ?

Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$ et traduit la proportionnalité ; une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ . La première est un cas particulier de la seconde, obtenu pour $b=0$ . Le vocabulaire de fonctions linéaires et affines est introduit au collège, la fonction linéaire venant conclure le travail sur la proportionnalité.²

Peut-on utiliser une calculatrice ou un tableur pour ces exercices ?

Oui, pour les calculs et pour tracer une droite. D'après le programme, s'appuyer sur un outil numérique évite d'être freiné par la technique et laisse plus de place à la mise en équation et à l'interprétation.¹ Mais l'écriture de la fonction, le choix de l'inconnue et la phrase de conclusion restent à ta charge : c'est là que se jouent les points.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale · education.gouv.fr

Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale, education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
MATHÉMATIQUES Organisation et gestion de données, fonctions, eduscol.education.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Régression linéaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Forme linéaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Un abonnement à la salle de sport

Exercice 2 Retrouver une fonction affine avec deux valeurs

Exercice 3 Vidange d'une cuve

Exercice 4 Comparer deux tarifs

Exercice 5 Une suite arithmétique et une fonction affine

Exercice 6 Offre, demande et point d'équilibre

Exercice 7 Un barème d'impôt fictif

Exercice 8 Ajustement affine : pluie et altitude

Les questions qu'on se pose

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