Indices base 100 : exercices corrigés de 1re

On identifie la valeur de base : $V_0 = 0{,}80$ € (année 2018) et la valeur à la date étudiée : $V_{2023} = 1{,}00$ €.

On applique la formule : $I_{2023} = 100 \times \dfrac{1{,}00}{0{,}80} = 125$.

Interprétation : l'indice vaut 125, soit $125 - 100 = 25$ : le prix de la baguette a augmenté de 25 % entre 2018 et 2023.

Comme $132 - 100 = 32$, le nombre d'abonnés a augmenté de 32 % depuis janvier.

La valeur de juin est $V = 250 \times \dfrac{132}{100}$.

On calcule : $V = 250 \times 1{,}32 = 330$.

La chaîne compte donc 330 abonnés en juin.

La date de départ est 2020 (indice 108), la date d'arrivée est 2021 (indice 99).

On calcule : $t = \dfrac{99 - 108}{108} = \dfrac{-9}{108} \approx -0{,}0833$.

En pourcentage : $t \approx -8{,}33\ \%$.

Léa a tort : elle a soustrait les indices (9 points) sans diviser par l'indice de départ. La baisse est d'environ 8,33 %, et non de 9 %.

Dans la nouvelle base, l'indice de 2020 doit valoir 100. Il faut donc diviser tous les indices par 108 puis multiplier par 100 ; une soustraction ne conserve pas les rapports entre les valeurs.

On calcule le nouvel indice de 2022 : $I' = 100 \times \dfrac{135}{108}$.

$\dfrac{135}{108} = 1{,}25$, donc $I' = 125$.

Dans la nouvelle base, la production de 2022 est supérieure de 25 % à celle de 2020.

On écrit la relation entre les deux années : $540\,000 = V_{2019} \times 1{,}08$.

On isole l'inconnue : $V_{2019} = \dfrac{540\,000}{1{,}08} = 500\,000$.

Le chiffre d'affaires de 2019 était de 500 000 €.

L'augmentation est $540\,000 - 500\,000 = 40\,000$ €, soit bien 8 % de $500\,000$.

Pour A : $I_A = 100 \times \dfrac{28}{20} = 140$. Pour B : $I_B = 100 \times \dfrac{40}{32} = 125$.

Prix du panier en 2018 : $20 + 32 = 52$ €. Prix du panier en 2023 : $28 + 40 = 68$ €.

Indice du panier : $I = 100 \times \dfrac{68}{52} \approx 130{,}77$.

La moyenne simple de 140 et 125 vaut $132{,}5$, qui est différente de $130{,}77$. Le panier n'est pas la moyenne des indices, car B pèse davantage dans la dépense que A (32 € contre 20 € en 2018).

Le coefficient multiplicateur global est $\dfrac{133{,}1}{100} = 1{,}331$.

On cherche $c$ tel que $c^3 = 1{,}331$, d'où $c = 1{,}331^{\frac{1}{3}} = 1{,}1$, car $1{,}1^3 = 1{,}331$.

Le taux annuel moyen est donc $c - 1 = 0{,}1$, soit 10 % par an.

Vérification : $100 \times 1{,}1 = 110$, puis $110 \times 1{,}1 = 121$, puis $121 \times 1{,}1 = 133{,}1$. Les trois évolutions successives de 10 % redonnent bien l'indice 133,1 et non 130 : les pourcentages ne s'additionnent pas.