Fonction dérivée et dérivées usuelles : cours de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La fonction dérivéef′ associe à chaque x où f est dérivable le nombre dérivé f′(x), limite du taux de variation quand h tend vers 0.
Dérivées usuelles : (k)′=0, (x)′=1, (x2)′=2x, (x3)′=3x2, (x1)′=−x21, (x)′=2x1, et (xn)′=nxn−1 pour n entier relatif.
Pour dériver x↦mx+p, on trouve m : la dérivée d'une fonction affine est constante.
Domaines : x1 n'est pas définie en 0 ; x est définie en 0 mais n'y est pas dérivable, donc f′ n'existe que sur ]0;+∞[.
Réflexe de méthode : repérer la fonction usuelle, écrire sa dérivée, préciser l'intervalle de validité, puis calculer f′(a) si on demande un nombre dérivé.
Du nombre dérivé à la fonction dérivée
Dans le chapitre précédent, tu as appris à calculer un nombre dérivé en un point précis, par exemple f′(2) ou f′(−1). Chaque calcul est un petit travail à part : il faut former un taux de variation, simplifier, puis passer à la limite. Si tu devais refaire ce travail pour dix points, ce serait long.
L'idée de ce cours est simple : faire le calcul une seule fois, avec une valeur x quelconque, et obtenir une formule qui donne le nombre dérivé en tout point. Cette formule, c'est la fonction dérivée. Le programme de première demande justement de savoir calculer, à partir de la définition, un nombre dérivé en un point ou une fonction dérivée 3. Nous allons le faire pour toutes les fonctions de référence.
Calculer une dérivée à partir de la définition
Pour obtenir la fonction dérivée, on garde la lettre x à la place du point a. On forme donc le taux de variation entre x et x+h, on le simplifie avant de faire tendre h vers 0, puis on lit la limite.
La simplification est l'étape clé : tant que h reste au dénominateur sans avoir été éliminé, le passage à la limite donnerait une forme impossible à lire (du type « 0 divisé par 0 »).
TauxÉcrire (f(x+h) − f(x)) / h avec h non nul
DévelopperRéduire le numérateur
SimplifierFactoriser par h et simplifier
LimiteFaire tendre h vers 0
DomainePréciser les valeurs de x permises
Dériver avec la définitionDémonstration · Démonstration
Pour f(x)=mx+p et h=0 :
hm(x+h)+p−(mx+p)=hmh=m.
La limite de cette constante quand h tend vers 0 est m. Le cas m=0 donne les constantes, le cas m=1, p=0 donne x↦x.
Les fonctions carré et cube
Le programme de première liste, parmi les dérivées à connaître, celles des fonctions carré, cube, inverse et racine carrée 3. Commençons par les deux premières, qui sont les plus simples à établir : il suffit de développer.
Démonstration · Démonstration
Pour h=0 :
h(x+h)2−x2=hx2+2xh+h2−x2=hh(2x+h)=2x+h.
Quand h tend vers 0, 2x+h tend vers 2x. Donc f′(x)=2x pour tout réel x.
La parabole et sa dérivée · La courbe de f(x)=x² et celle de sa dérivée g(x)=2x : la dérivée est négative à gauche de 0, nulle en 0, positive à droite.Démonstration · Démonstration
On développe (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3. Pour h=0 :
h(x+h)3−x3=h3x2h+3xh2+h3=3x2+3xh+h2.
Quand h tend vers 0, les termes 3xh et h2 tendent vers 0 et il reste 3x2.
La fonction inverse
La fonction inverse x↦x1 n'est définie que pour x=0. Sa dérivée sera donc, elle aussi, cherchée sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[. Le programme demande de connaître sa dérivée 3.
Démonstration · Démonstration
Soit x=0 et h=0 assez petit pour que x+h=0. On met au même dénominateur :
Quand h tend vers 0, x(x+h) tend vers x2, qui est non nul. La limite est donc −x21.
La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[. C'est la seule fonction de référence du chapitre dont le domaine de dérivabilité est plus petit que le domaine de définition : le programme le dit explicitement, la racine carrée n'est pas dérivable en 0 3.
Démonstration · Démonstration
Soit x>0 et h=0 avec x+h>0. On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée x+h+x :
hx+h−x=h(x+h+x)(x+h)−x=x+h+x1.
Quand h tend vers 0, le dénominateur tend vers 2x, qui est strictement positif car x>0. D'où la limite 2x1.
Démonstration · Pourquoi pas en 0 ?
En a=0, le taux de variation pour h>0 vaut
hh−0=h1.
Quand h se rapproche de 0 par valeurs positives, h devient très petit et h1 devient très grand : il n'y a pas de limite finie. La condition de dérivabilité n'est pas remplie 4. Graphiquement, la courbe arrive à l'origine avec une tangente verticale.
La racine carrée et son point de départ · La courbe de √x part de l'origine avec une tangente verticale : elle n'est pas dérivable en 0.
Les puissances : la fonction $x\mapsto x^n$
Les formules précédentes suivent un motif. Pour le carré, on obtient 2x1 ; pour le cube, 3x2 ; pour l'inverse, qui s'écrit x−1, on obtient −1×x−2. Le programme énonce cette régularité : pour n entier relatif, on connaît la fonction dérivée de x↦xn3.
Récapitulatif et lecture des dérivées
Dérivées usuelles
f(x)
f'(x)
Dérivable sur
k (constante)
0
ℝ
mx + p
m
ℝ
x²
2x
ℝ
x³
3x²
ℝ
1/x
−1/x²
]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[
√x
1/(2√x)
]0 ; +∞[
xⁿ (n entier relatif)
n·xⁿ⁻¹
ℝ si n ≥ 0, sinon ℝ privé de 0
Dérivées usuelles · Les dérivées à connaître en première.
Ce tableau est à connaître par cœur, avec ses intervalles de validité. Il sert de base à toutes les dérivations de l'année : quand une fonction combine plusieurs fonctions simples par somme, produit, quotient ou composition, quelques règles de calcul, qui découlent de la définition, suffisent pour la dériver 4. Ces règles feront l'objet du chapitre suivant.
Pièges, vérifications et ce qu'on attend de toi
Le programme attend que tu saches calculer à partir de la définition un nombre dérivé ou une fonction dérivée 3. Dans la pratique, les exercices mélangent trois niveaux : appliquer la table, justifier le domaine, et interpréter le résultat sur la courbe.
Exercices corrigés
Exercice 1 Un nombre dérivé avec la fonction cube
★☆☆Environ 5 min
Soit f(x)=x3. Détermine la fonction dérivée de f, puis calcule le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.
Indice 1
Utilise (xn)′=nxn−1.
Indice 2
Le coefficient directeur de la tangente en a est f′(a).
Voir la correction pas à pas
On applique la formule avec n=3 : f′(x)=3x2.
On remplace x par 2 : f′(2)=3×22=3×4=12.
Le coefficient directeur cherché est donc 12.
La tangente en x=2 a pour coefficient directeur 12 : la courbe du cube monte très fortement en ce point.
Exercice 2 La pente de l'inverse
★☆☆Environ 5 min
Soit f(x)=x1 sur ]0;+∞[. Calcule f′(2).
Indice 1
Rappelle-toi le signe de la dérivée de l'inverse.
Indice 2
f′(x)=−x21.
Voir la correction pas à pas
On écrit f′(x)=−x21 pour x>0.
On remplace x par 2 : f′(2)=−221=−41.
On convertit en décimal : −0,25.
f′(2)=−0,25. Le résultat est négatif, ce qui est cohérent avec une fonction inverse décroissante.
Exercice 3 Où la tangente du carré a-t-elle une pente donnée ?
★★☆Environ 8 min
Soit f(x)=x2. En quel point de la courbe la tangente a-t-elle pour coefficient directeur 6 ? Donne l'abscisse de ce point puis l'équation réduite de la tangente.
Indice 1
Résous l'équation f′(x)=6.
Indice 2
L'équation de la tangente en a est y=f′(a)(x−a)+f(a).
Voir la correction pas à pas
On a f′(x)=2x. On résout 2x=6, d'où x=3.
On calcule f(3)=9.
On écrit la tangente : y=6(x−3)+9=6x−9.
Le point cherché a pour abscisse 3 et la tangente a pour équation y=6x−9.
Exercice 4 Racine carrée : pente et domaine
★★★Environ 10 min
Soit f(x)=x.
Sur quel intervalle la formule de f′ est-elle valable ?
Calcule f′(16).
Montre que le taux de variation de f entre 0 et h>0 n'a pas de limite finie quand h tend vers 0.
Indice 1
La dérivée de la racine carrée contient x au dénominateur.
Indice 2
Pour la question 3, calcule hh−0 et simplifie.
Voir la correction pas à pas
La fonction f′(x)=2x1 n'a de sens que pour x>0 : la fonction est dérivable sur ]0;+∞[.
On calcule f′(16)=2161=2×41=81=0,125.
Le taux de variation vaut hh=h1 pour h>0.
Quand h tend vers 0 par valeurs positives, h tend vers 0 et h1 devient arbitrairement grand : il n'y a pas de limite finie, donc f n'est pas dérivable en 0.
f′(16)=0,125, et la racine carrée n'est pas dérivable en 0 : la formule ne vaut que sur ]0;+∞[.
Quiz
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Le taux de variation h(x+h)2−x2 se simplifie en 2x+h, dont la limite est 2x. La réponse 2 est la dérivée de 2x, pas celle de x2 ; la réponse x oublie le facteur 2 qui vient du développement.
Le taux de variation se simplifie en x(x+h)−1, qui tend vers −x21. La réponse x21 oublie le signe, alors que la fonction inverse est décroissante, donc de dérivée négative.
Le taux de variation en 0 vaut h1 pour h>0 et n'a pas de limite finie. La fonction est définie en 0 mais n'y est pas dérivable ; elle l'est sur ]0;+∞[.
On multiplie par l'exposant puis on diminue l'exposant de 1. La réponse (n−1)xn−1 mélange les deux opérations ; la réponse nxn oublie de diminuer l'exposant.
Le taux de variation h7−7=0 est nul, donc sa limite est 0. Une constante ne varie pas : sa tangente est horizontale. La réponse 7 confond la fonction et sa dérivée.
On a f′(x)=3x2, donc f′(−2)=3×(−2)2=3×4=12. L'erreur tentante est de trouver −12 en gardant le signe de −2 : or le carré rend le résultat positif.
On écrit x−3, dont la dérivée est −3x−4=−x43. La réponse −x23 oublie de retrancher 1 à l'exposant −3 ; la réponse x43 oublie le signe moins.
On a f′(x)=2x1, donc f′(9)=2×31=61≈0,1667. L'erreur fréquente est de répondre 31 en oubliant le facteur 2 du dénominateur.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?
Le nombre dérivéf′(a) est un nombre : la limite du taux de variation en un point a précis 3. La fonction dérivéef′ est une fonction qui associe à chaque x son nombre dérivé 4. Une fois f′ connue, on obtient f′(a) en remplaçant x par a.
Dois-je savoir démontrer toutes les dérivées usuelles ?
Le programme demande de savoir calculer un nombre dérivé ou une fonction dérivée à partir de la définition 3. Il faut donc maîtriser la méthode, au moins sur les fonctions carré et inverse, et connaître les résultats du tableau. Les démonstrations du cube et de la racine carrée suivent la même logique.
Pourquoi la racine carrée n'est-elle pas dérivable en 0 alors qu'elle y est définie ?
Parce qu'une fonction est dérivable en un point si son taux de variation y admet une limite finie 4. En 0, ce taux vaut h1 pour h>0 et devient immense : il n'y a pas de limite finie. Le programme retient précisément ce cas particulier 3. Sur la courbe, cela se voit par une tangente verticale à l'origine.
Comment savoir sur quel intervalle donner la dérivée ?
Il faut regarder où la formule de f′ a un sens et où la définition s'applique. Pour xn avec n≥0, c'est R ; pour l'inverse, c'est R privé de 0 ; pour la racine carrée, c'est ]0;+∞[. En cas de doute, cherche ce qui annule un dénominateur ou ce qui est sous une racine.
À quoi sert la fonction dérivée ?
Le nombre dérivé indique la vitesse à laquelle la fonction change quand sa variable change 4. La fonction dérivée donne cette information partout à la fois : elle sert à trouver des tangentes et, dans les chapitres suivants, à étudier les variations et les extremums d'une fonction. Le programme présente d'ailleurs la dérivation avec ses applications à l'étude des fonctions 3.