Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonction dérivée et dérivées usuelles : exercices de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ où $f$ est dérivable le nombre dérivé $f'(x)$ , coefficient directeur de la tangente ⁴.
Les fonctions de référence du programme : carré, cube, inverse, racine carrée, et $x \mapsto x^n$ pour $n$ entier relatif ³.
À retenir : $(x^2)'=2x$ , $(x^3)'=3x^2$ , $(1/x)'=-1/x^2$ , $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(x^n)'=nx^{n-1}$ .
La racine carrée n'est pas dérivable en 0 ³ : vérifie toujours le domaine avant de calculer.
Pour une tangente en $a$ : calcule $f(a)$ et $f'(a)$ , puis $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'appuient sur ce que tu as vu avec le nombre dérivé et la tangente. Le nombre dérivé en un point est la limite du taux de variation en ce point ³. Sur le graphique, il correspond à la pente de la tangente tracée à la courbe à l'abscisse choisie ⁴. Quand une fonction admet un nombre dérivé en chaque point d'un intervalle, on dit qu'elle est dérivable sur cet intervalle, et on peut définir sa fonction dérivée ³. Elle se note $f'$ ⁴.

Le programme de Première demande de connaître la fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse et racine carrée, ainsi que celle de $x \mapsto x^n$ pour $n$ entier relatif ³. Les exercices avancent par paliers : d'abord l'application directe, ensuite les points délicats (domaine, non-dérivabilité), enfin les problèmes où l'on cherche un point à partir d'une pente.

À retenirLes dérivées à connaître

Fonction $f$	Fonction dérivée $f'$	Où ?
$x \mapsto x^2$	$x \mapsto 2x$	tout réel
$x \mapsto x^3$	$x \mapsto 3x^2$	tout réel
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$	$x \neq 0$
$x \mapsto \sqrt{x}$	$x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x > 0$
$x \mapsto x^n$ ( $n$ entier relatif)	$x \mapsto n\,x^{n-1}$	selon $n$

Ces résultats peuvent se retrouver à partir de la définition, en calculant le taux de variation puis en faisant tendre $h$ vers 0 ³. La formule générale avec $n$ contient les trois premières lignes (avec $n=2$ , $n=3$ et $n=-1$ ).

Les exercices

Exercice 1 Dériver le carré

★☆☆Environ 3 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ .

Détermine l'expression de $f'(x)$ , puis calcule le nombre dérivé $f'(3)$ .

Indice 1

La fonction dérivée de la fonction carré est dans la liste des fonctions de référence.

Indice 2

Une fois $f'(x)$ écrit, remplace $x$ par 3.

Voir la correction pas à pas

On reconnaît la fonction carré, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=2x$ .
On remplace $x$ par 3 : $f'(3)=2\times 3$ .
On obtient $f'(3)=6$ .

Le nombre dérivé $f'(3)=6$ est le coefficient directeur de la tangente à la parabole au point d'abscisse 3. Plus on s'éloigne de 0, plus la pente est forte.

Exercice 2 Dériver le cube en un point négatif

★☆☆Environ 3 min

Soit $g(x)=x^3$ sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $g'(-2)$ .

Indice 1

Utilise la formule avec $n=3$ .

Indice 2

Attention au carré d'un nombre négatif.

Voir la correction pas à pas

La fonction cube est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x)=3x^2$ .
On remplace : $g'(-2)=3\times(-2)^2$ .
Le carré de $-2$ vaut 4, donc $g'(-2)=3\times 4=12$ .

Le résultat est positif même si $x$ est négatif, car $x^2\ge 0$ : la fonction cube est croissante sur tout $\mathbb{R}$ .

Exercice 3 Dériver l'inverse

★☆☆Environ 4 min

Soit $h(x)=\dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ .

Donne $h'(x)$ .
Calcule $h'(4)$ sous forme de fraction, puis en nombre décimal.

Indice 1

Le signe de la dérivée de l'inverse est toujours le même.

Indice 2

Le dénominateur est $x^2$ .

Voir la correction pas à pas

La fonction inverse est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $h'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ .
On remplace : $h'(4)=-\dfrac{1}{4^2}=-\dfrac{1}{16}$ .
En décimal, $-\dfrac{1}{16}=-0{,}0625$ .

La dérivée de l'inverse est négative partout où elle existe : la fonction inverse est décroissante sur chacun des deux intervalles $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$ .

Exercice 4 Dériver la racine carrée

★★☆Environ 5 min

Soit $k(x)=\sqrt{x}$ définie sur $[0\,;+\infty[$ .

Sur quel ensemble peut-on écrire $k'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ?
Calcule $k'(9)$ et donne une valeur décimale arrondie au millième.

Indice 1

Pense à ce qui se passe au dénominateur quand $x=0$ .

Indice 2

$\sqrt{9}$ est un entier.

Voir la correction pas à pas

La formule contient $\sqrt{x}$ au dénominateur, qui ne doit pas être nul : elle est valable pour $x>0$ , donc sur $]0\,;+\infty[$ .
On calcule $k'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{6}$ .
Valeur décimale arrondie au millième : $0{,}167$ .

La racine carrée est définie en 0 mais n'y est pas dérivable ³ : l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité ne coïncident pas toujours.

Exercice 5 Une puissance négative

★★☆Environ 5 min

Soit $p(x)=x^{-3}$ sur $\mathbb{R}^*$ .

Écris $p(x)$ sous forme de fraction.
Détermine $p'(x)$ avec la formule des puissances.
Calcule $p'(2)$ .

Indice 1

La formule $n\,x^{n-1}$ marche aussi quand $n$ est négatif ³.

Indice 2

$-3-1=-4$ .

Voir la correction pas à pas

On a $p(x)=x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}$ .
Avec $n=-3$ : $p'(x)=-3\,x^{-3-1}=-3\,x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$ .
On remplace : $p'(2)=-\dfrac{3}{2^4}=-\dfrac{3}{16}$ , soit $-0{,}1875$ .

La même formule couvre les puissances positives et négatives : l'inverse correspond à $n=-1$ et donne bien $-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$ .

Exercice 6 Pourquoi la racine n'est pas dérivable en 0

★★☆Environ 8 min

On étudie $k(x)=\sqrt{x}$ en $0$ . Pour $h>0$ , on note $\tau(h)=\dfrac{k(0+h)-k(0)}{h}$ le taux de variation entre 0 et $h$ .

Simplifie $\tau(h)$ .
Calcule $\tau(h)$ pour $h=0{,}01$ , $h=0{,}0001$ et $h=0{,}000001$ .
Que peut-on dire de la limite quand $h$ tend vers 0 ?

Indice 1

$\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ .

Indice 2

Observe si les valeurs se stabilisent ou grandissent.

Voir la correction pas à pas

Comme $k(0)=0$ , on a $\tau(h)=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ .
Pour $h=0{,}01$ : $\tau=\dfrac{1}{0{,}1}=10$ . Pour $h=0{,}0001$ : $\tau=\dfrac{1}{0{,}01}=100$ . Pour $h=0{,}000001$ : $\tau=\dfrac{1}{0{,}001}=1000$ .
Les valeurs augmentent sans se stabiliser : le taux de variation n'a pas de limite finie en 0.
Le nombre dérivé en 0 n'existe donc pas, ce qui est cohérent avec le programme ³. La tangente à la courbe en 0 est verticale.

Une fonction est dérivable en un point lorsque le taux de variation y admet une limite finie ⁴. Ici la limite n'est pas finie, donc la racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Exercice 7 Équation d'une tangente à la parabole

★★☆Environ 6 min

Soit $f(x)=x^2$ et $\mathcal{C}$ sa courbe. On considère la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 3.

Calcule $f(3)$ et $f'(3)$ .
Écris l'équation réduite de $T$ .
Quelle est l'ordonnée à l'origine de $T$ ?

Indice 1

L'équation d'une tangente en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Indice 2

Développe pour obtenir la forme $y=mx+p$ .

Voir la correction pas à pas

On a $f(3)=9$ et $f'(3)=2\times 3=6$ .
L'équation de $T$ est $y=6(x-3)+9$ .
On développe : $y=6x-18+9=6x-9$ .
L'ordonnée à l'origine est $-9$ (valeur de $y$ pour $x=0$ ).

La tangente $T$ a pour équation $y=6x-9$ . Contrôle : au point $(3\,;9)$ , on trouve $6\times 3-9=9$ , donc la droite passe bien par le point de tangence.

Exercice 8 Tangente parallèle à une droite donnée

★★★Environ 8 min

Soit $f(x)=x^2$ . La droite $D$ a pour équation $y=8x+1$ .

Détermine l'abscisse du point de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à $D$ , puis les coordonnées de ce point.

Indice 1

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont le même coefficient directeur.

Indice 2

Résous $f'(a)=8$ .

Voir la correction pas à pas

La tangente en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)=2a$ .
Elle est parallèle à $D$ si $2a=8$ .
On résout : $a=4$ .
L'ordonnée correspondante est $f(4)=16$ : le point est $(4\,;16)$ .

La tangente en $(4\,;16)$ a pour équation $y=8(x-4)+16=8x-16$ . Elle a la même pente que $D$ sans lui être confondue, car les ordonnées à l'origine diffèrent ( $-16$ et $1$ ).

Exercice 9 Pente imposée sur la courbe de l'inverse

★★★Environ 10 min

Soit $h(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ .

Résous l'équation $h'(a)=-\dfrac{1}{4}$ .
Combien de points de la courbe ont une tangente de pente $-\dfrac{1}{4}$ ? Donne leurs coordonnées.
Quelle est la plus grande des deux abscisses trouvées ?

Indice 1

Tu obtiens une équation du type $a^2=\text{nombre}$ .

Indice 2

Une telle équation peut avoir deux solutions.

Voir la correction pas à pas

On a $h'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$ , donc l'équation devient $-\dfrac{1}{a^2}=-\dfrac{1}{4}$ .
On simplifie les signes : $\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{4}$ , donc $a^2=4$ .
Les solutions sont $a=2$ et $a=-2$ , toutes deux dans $\mathbb{R}^*$ .
Les points sont $\left(2\,;\dfrac{1}{2}\right)$ et $\left(-2\,;-\dfrac{1}{2}\right)$ : il y en a deux.
La plus grande abscisse est 2.

Deux points symétriques par rapport à l'origine ont la même pente de tangente : la courbe de l'inverse est symétrique par rapport à l'origine, et $h'$ est paire.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre le nombre dérivé et la fonction dérivée ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est un réel attaché à un point : c'est le coefficient directeur de la tangente en $a$ ⁴. La fonction dérivée $f'$ est la fonction qui, à chaque $x$ où $f$ est dérivable, associe son nombre dérivé ⁴. Calculer $f'(x)$ une fois, puis remplacer $x$ par différentes valeurs, évite de refaire un calcul de limite à chaque point.

Faut-il apprendre les formules par cœur ?

Oui pour les fonctions de référence : carré, cube, inverse, racine carrée et puissances entières ³. Ce sont les briques de toutes les dérivées de la suite du chapitre. Retiens surtout la formule $(x^n)'=nx^{n-1}$ : elle redonne le carré, le cube et l'inverse. Reste la racine carrée, à connaître à part : $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Pourquoi ma calculatrice ou mon calcul échoue-t-il pour la racine en 0 ?

Parce que la racine carrée n'est pas dérivable en 0 ³. La formule $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ n'existe que pour $x>0$ . Dans un exercice, écris toujours l'ensemble de dérivabilité avant de calculer un nombre dérivé, et vérifie que la valeur demandée y appartient.

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase — Introduire le nombre dérivée en classe de première, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme de mathématiques de première générale (spécialité), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Dérivée, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Dériver le carré

Exercice 2 Dériver le cube en un point négatif

Exercice 3 Dériver l'inverse

Exercice 4 Dériver la racine carrée

Exercice 5 Une puissance négative

Exercice 6 Pourquoi la racine n'est pas dérivable en 0

Exercice 7 Équation d'une tangente à la parabole

Exercice 8 Tangente parallèle à une droite donnée

Exercice 9 Pente imposée sur la courbe de l'inverse

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur