Fonction dérivée et dérivées usuelles : fiche de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La fonction dérivéef′ associe à chaque x où f est dérivable le nombre dérivé f′(x), c'est-à-dire la limite du taux de variation.
À connaître : (k)′=0, (x)′=1, (x2)′=2x, (x3)′=3x2, (x1)′=−x21, (x)′=2x1, (xn)′=nxn−1.
Attention au domaine : la fonction inverse n'est pas définie en 0, la racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Méthode : repérer la fonction usuelle, appliquer la formule, vérifier que le point appartient à l'ensemble de dérivabilité.
De nombre dérivé à fonction dérivée
Au chapitre précédent, tu as calculé un nombre dérivé en un point précis. Ici, on le fait pour tous les points d'un coup : on obtient une nouvelle fonction, la fonction dérivée.
Les dérivées usuelles à connaître
Le programme de première demande de connaître les fonctions dérivées des fonctions carré, cube, inverse et racine carrée, ainsi que celle de x↦xn pour n entier relatif 3. Voici le tableau complet.
Démonstration · Retrouver la dérivée du carré et de l'inverse
Le programme prévoit de calculer une dérivée à partir de la définition 3. Pour f(x)=x2 :
h(a+h)2−a2=h2ah+h2=2a+hh→02a.
Pour f(x)=x1 avec a=0 :
ha+h1−a1=a(a+h)h−h=a(a+h)−1h→0−a21.
Démonstration · Retrouver la dérivée de la racine carrée
Pour a>0, on multiplie par la quantité conjuguée :
ha+h−a=a+h+a1h→02a1.
Où la dérivée existe-t-elle ?
Une formule de dérivée n'a de sens que là où la fonction est dérivable. Deux cas reviennent sans cesse.
Méthode pour dériver une fonction usuelle
Pièges fréquents
Questions flash
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On multiplie par l'exposant 3 puis on le réduit de 1 : 3x2. La réponse 3x3 oublie de baisser l'exposant, et x2 oublie le facteur 3.
Comme x1=x−1, la dérivée est −1×x−2=−x21. Oublier le signe moins est l'erreur classique : la fonction inverse est décroissante, sa dérivée est négative.
Faux. Le taux de variation en 0 vaut h1, qui n'a pas de limite finie quand h tend vers 0. La formule 2x1 n'est valable que pour x>0.
f′(x)=3x2, donc f′(2)=3×4=12. Si tu trouves 8, tu as calculé f(2) au lieu de f′(2).
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?
Le nombre dérivé f′(a) est un réel, attaché à un point : c'est la pente de la tangente en a4. La fonction dérivée f′ est une fonction qui donne ce réel pour chaque x où f est dérivable 3.
Faut-il savoir redémontrer les formules ?
Le programme demande de savoir calculer un nombre dérivé ou une fonction dérivée à partir de la définition 3. Savoir refaire le calcul pour x2 et x1 t'aide à retenir les formules et à ne pas te tromper de signe.
Comment dériver $x^{-3}$ ?
Le programme prévoit la dérivée de x↦xn pour n entier relatif 3. Avec n=−3 : (x−3)′=−3x−4=−x43, pour x=0.