Équation de droite et vecteur normal : cours de 1re spécialité

Jusqu'ici, tu as décrit une droite avec une équation réduite $y=mx+p$, ou avec un point et un vecteur directeur. Ces deux outils fonctionnent bien, mais ils ont une limite : la droite verticale n'a pas d'équation réduite, et dès qu'il s'agit de perpendicularité, il faut jongler avec des produits de coefficients directeurs.

Le produit scalaire, que tu viens d'étudier, offre une méthode plus directe. Une droite est entièrement déterminée par un point et par une direction perpendiculaire à elle. Cette direction perpendiculaire, c'est le vecteur normal. Avec lui, la condition « le point $M$ est sur la droite » se traduit par un produit scalaire nul, et l'équation tombe presque toute seule.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• reconnaître un vecteur directeur et un vecteur normal ;
• lire un vecteur normal sur une équation cartésienne, et réciproquement ;
• déterminer l'équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal (ou directeur) ;
• justifier un parallélisme ou une perpendicularité ;
• résoudre des problèmes classiques, comme la hauteur d'un triangle.

Tout se passe dans un repère orthonormé du plan : sans cette hypothèse, le produit scalaire en coordonnées ne s'écrit pas $xx'+yy'$.

Comme pour les vecteurs directeurs, une droite possède une infinité de vecteurs normaux. Si $\vec{n}$ est normal, alors $2\vec{n}$, $-\vec{n}$ ou $\tfrac{1}{3}\vec{n}$ le sont aussi : ils restent orthogonaux à $\vec{u}$. Tous les vecteurs normaux d'une même droite sont colinéaires. Tu peux donc choisir le plus simple, par exemple celui qui a des coordonnées entières.

Il existe une façon rapide de fabriquer un vecteur orthogonal à un vecteur donné : on échange les coordonnées et on change le signe de l'une d'elles. Si $\vec{u}(x\,;\,y)$, alors $\vec{n}(-y\,;\,x)$ convient, car $x\times(-y)+y\times x=0$.

Le vecteur normal lit directement la position relative de deux droites, sans passer par les coefficients directeurs. Pour deux droites $(d)$ et $(d')$ d'équations $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$, de vecteurs normaux $\vec{n}(a\,;\,b)$ et $\vec{n'}(a'\,;\,b')$, tout se joue sur ces deux vecteurs.

La hauteur issue d'un sommet d'un triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Le vecteur normal fait ici des merveilles : le vecteur du côté opposé est directement un vecteur normal de la hauteur, sans aucune rotation à calculer.

Les vecteurs normaux servent aussi à mesurer des distances. Une équation $ax+by+c=0$ est dite normale lorsque $a^2+b^2=1$ : les coefficients $a$ et $b$ sont alors ceux d'un vecteur normal de longueur $1$.² Pour une telle équation, la distance du point $M(x\,;\,y)$ à la droite vaut $|ax+by+c|$.²

Si l'équation n'est pas sous cette forme, on la divise par $\sqrt{a^2+b^2}$, ce qui ne change pas la droite. On obtient la distance du point $M(x_0\,;\,y_0)$ à la droite $ax+by+c=0$ :

$d(M,(d))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Cette notion de normale dépasse le cadre des droites. En géométrie, la droite normale à une courbe en un point est la droite perpendiculaire à la tangente en ce point.³ Tu retrouveras cette idée dans le chapitre suivant, l'équation de cercle : la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon, donc le rayon donne un vecteur normal à la tangente.