Équation de droite et vecteur normal : quiz de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un vecteur normal à une droite est perpendiculaire à la direction de cette droite : son produit scalaire avec un vecteur directeur est nul 1.
Pour une droite d'équation ax+by+c=0, le vecteur n(a;b) est normal et u(−b;a) est directeur.
Deux droites ont la même direction exactement quand un vecteur normal de l'une est un multiple de celui de l'autre 1 ; elles sont perpendiculaires quand leurs vecteurs normaux ont un produit scalaire nul.
Pour aller plus loin : avec une équation dite normale (a2+b2=1), la distance d'un point à la droite vaut ∣ax+by+c∣2.
Avant de commencer
Ce quiz couvre tout le chapitre sur les équations de droite et le vecteur normal, juste après le produit scalaire. Tu vas lire une équation cartésienne, passer d'un vecteur normal à un vecteur directeur, écrire l'équation d'une droite, étudier parallélisme et perpendicularité, puis calculer une distance.
Prends une feuille de brouillon : plusieurs questions demandent un petit calcul. Lis chaque explication, même quand tu as juste, elle signale le piège que tu aurais pu rencontrer.
Quiz
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Un vecteur normal a un produit scalaire nul avec un vecteur directeur : il est orthogonal à la direction de la droite 1. Le choix « colinéaire » décrit au contraire un autre vecteur directeur, c'est l'erreur la plus fréquente. La norme 1 n'est pas exigée : un vecteur normal peut avoir n'importe quelle norme non nulle.
Les coefficients de x et de y donnent un vecteur normal : (2;3)2. Le vecteur (−3;2) est tentant, mais c'est un vecteur directeur : 2×(−3)+3×2=0. Les deux autres propositions viennent d'une inversion ou d'un changement de signe sur un seul coefficient, elles ne sont pas colinéaires à (2;3).
Un vecteur directeur doit être orthogonal au vecteur normal (2;3). Pour (−3;2) : 2×(−3)+3×2=0, c'est bon. Pour (2;3), le produit scalaire vaut 13 : c'est le vecteur normal lui-même. Pour (3;2) il vaut 12, et pour (2;−3) il vaut −5 : aucun n'est nul.
On écrit 3(x−2)−1(y−1)=0, soit 3x−y−6+1=0, donc 3x−y−5=0. Vérification : 3×2−1−5=0. L'équation 3x−y−7=0 oublie le +1 venant de −(y−1) : A n'y vérifie pas l'égalité (6−1−7=−2). Les deux dernières ont un autre vecteur normal.
C'est vrai 1. Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires, donc des vecteurs normaux colinéaires aussi, et la réciproque se démontre de la même façon. Attention : des vecteurs normaux égaux ne sont pas nécessaires, la colinéarité suffit.
Les vecteurs normaux (3;2) et (k;4) doivent être colinéaires : 3×4−2×k=0, d'où k=6. Une erreur fréquente est de poser k=4 ou k=3 en recopiant des coefficients sans écrire la condition de colinéarité.
Deux droites perpendiculaires ont des vecteurs normaux orthogonaux. Avec (1;2) et (m;−1) : 1×m+2×(−1)=0, donc m=2. Si tu as trouvé m=−21, tu as écrit la condition de colinéarité 1×(−1)−2m=0 au lieu de celle d'orthogonalité : elle correspond à des droites parallèles, pas perpendiculaires.
On écrit 1(x−3)+4(y+1)=0, soit x+4y+1=0. Vérification : 3−4+1=0. Dans x+4y−1=0, le signe de la constante est faux (3−4−1=−2). L'équation 4x−y−13=0 passe bien par B, mais son vecteur normal est (4;−1) : on a utilisé (1;4) comme vecteur directeur au lieu de vecteur normal.
Un vecteur normal est orthogonal à (1;2) : on prend (2;−1), car 2×1−1×2=0. L'équation est 2x−y+c=0 et, avec A, 6−1+c=0 donc c=−5. L'équation x+2y−5=0 passe bien par A (3+2−5=0), mais elle prend (1;2) pour vecteur normal alors que c'est le vecteur directeur : la droite n'a pas la bonne direction. 2x−y+5=0 ne passe pas par A, et x−2y−1=0 n'a pas le bon vecteur normal.
Le vecteur (4;−2) est lu dans l'équation 2, et tous les vecteurs qui lui sont colinéaires sont aussi normaux : (2;−1) est sa moitié, (−2;1) est l'opposé de cette moitié. En revanche (1;2) est orthogonal à (4;−2) (4−4=0) : c'est un vecteur directeur. Enfin (2;1) ne convient pas non plus : son produit scalaire avec (4;−2) vaut 6, donc il n'est pas orthogonal, et il n'est pas colinéaire à (4;−2) puisque 4×1−(−2)×2=8=0.
C'est faux. Si n est normal, tout vecteur colinéaire non nul l'est aussi, donc il y en a une infinité. Seuls les vecteurs normaux de norme 1 sont limités à deux, opposés l'un de l'autre 2.
Il faut un produit scalaire nul avec (1;−2)1. Pour (2;1) : 1×2+(−2)×1=0, c'est bon. Pour (1;2) : 1−4=−3. Pour (2;−1) : 2+2=4. Le vecteur (−1;2) est l'opposé de u : il est colinéaire, donc directeur, pas normal.
Une équation ax+by+c=0 est dite normale si a2+b2=12. Pour la deuxième : 259+2516=1. Pour 3x+4y−10=0 on trouve 25, pour x+y−1=0 on trouve 2, et pour la dernière 41+41=21.
Avec une équation normale, la distance de M(x;y) à la droite est ∣ax+by+c∣2. Ici 53×5+54×5−1=3+4−1=6. Si tu as trouvé 7, tu as oublié le terme constant −1.
L'équation n'est pas normale : 32+42=25. On la divise par 25=5 pour obtenir 53x+54y−52=0, une équation normale 2. La distance vaut 5∣3×2+4×1−2∣=58=1,6. Répondre 8 revient à oublier la division par la norme du vecteur normal.
C'est vrai 2 : elles correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal de norme 1, opposés l'un de l'autre. Par exemple 53x+54y−1=0 et −53x−54y+1=0 décrivent la même droite.
Les questions qu'on se pose
Comment passer d'un vecteur normal à un vecteur directeur sans se tromper ?
Si n(a;b) est normal, prends u(−b;a) : on échange les coordonnées et on change le signe d'une seule. Vérifie ensuite que le produit scalaire est nul, par exemple 2×(−3)+3×2=0. Ce test d'orthogonalité reste valable dans tous les cas 1.
Faut-il toujours chercher une équation normale pour calculer une distance ?
Non. Une équation normale rend la formule très simple : la distance vaut ∣ax+by+c∣2. Si l'équation n'est pas normale, divise d'abord par a2+b2, comme dans la question sur la droite 3x+4y−2=0.