Équation de droite et vecteur normal : fiche de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un vecteur normal à une droite est perpendiculaire à sa direction : son produit scalaire avec un vecteur directeur est nul 1.
Si n(a;b) est normal à (d), une équation de (d) est ax+by+c=0 ; on trouve c avec un point de la droite.
Un vecteur directeur de ax+by+c=0 est u(−b;a) : le produit scalaire avec n(a;b) vaut 0.
Des droites parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires, et la réciproque est vraie 1.
Si a2+b2=1, la distance d'un point M(x;y) à la droite vaut ∣ax+by+c∣2.
L'essentiel à retenir
Démonstration · Pourquoi $(a\,;\,b)$ est normal
Soit A(xA;yA) un point de (d) et n(a;b) un vecteur normal. Un point M(x;y) est sur (d) si et seulement si AM est orthogonal à n, donc si et seulement si n⋅AM=0.
On calcule : a(x−xA)+b(y−yA)=0, soit ax+by+c=0 avec c=−axA−byA.
Pour le vecteur directeur, u(−b;a) vérifie a×(−b)+b×a=0 : il est bien orthogonal à n.
Méthodes de calcul
Pièges et prolongement
Questions flash
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Les coefficients de x et y donnent le vecteur normal (4;−3). L'option (3;4) est tentante, mais c'est un vecteur directeur : 4×3−3×4=0. L'option (4;3) change le signe de b.
C'est vrai : des droites parallèles ont la même direction, donc des vecteurs normaux colinéaires 1. Colinéaires ne veut pas dire égaux : (2;1) et (4;2) conviennent.
Avec A : 3×2+5×1+c=0, donc 6+5+c=0 et c=−11. L'erreur fréquente est de trouver c=11 en oubliant de passer les termes de l'autre côté.
On divise par 32+42=5 pour obtenir l'équation normale 0,6x+0,8y−2=0. La distance de O(0;0) vaut alors ∣−2∣=22. Lire directement 10 comme distance est faux, car l'équation n'est pas normale.
Les questions qu'on se pose
Comment passer d'un vecteur directeur à un vecteur normal ?
On échange les coordonnées et on change le signe de l'une des deux. Si u(α;β) dirige la droite, n(−β;α) est normal. Vérifie que le produit scalaire vaut 0.
Pourquoi une droite a-t-elle plusieurs équations ?
On peut multiplier tous les coefficients par un même nombre non nul : x+2y−3=0 et 2x+4y−6=0 décrivent la même droite. Les vecteurs normaux (1;2) et (2;4) sont colinéaires. Seule l'équation normale, avec a2+b2=1, est presque unique : il en existe deux par droite 2.
Comment savoir si deux droites sont perpendiculaires ?
Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c'est-à-dire de produit scalaire nul. Pour 2x+y−1=0 et x−2y+5=0 : 2×1+1×(−2)=0, elles sont perpendiculaires.