Équation de droite et vecteur normal : exercices de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une droite d'équation ax+by+c=0 a pour vecteur normal n(a;b) et pour vecteur directeur u(−b;a) : leur produit scalaire est nul.
Avec un point A(xA;yA) et un vecteur normal n(a;b), on écrit a(x−xA)+b(y−yA)=0 puis on développe.
Deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; elles sont perpendiculaires quand leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Pour une hauteur ou une médiatrice, le vecteur normal est un vecteur du côté concerné : on le lit, on ne le cherche pas.
Comment utiliser ces exercices
Ces exercices s'enchaînent du plus simple au plus délicat. Prends une feuille, cherche chaque question sans regarder la correction, puis compare. Si tu bloques, ouvre un indice avant de lire les étapes : c'est ce qui te fait le plus progresser.
Le fil rouge est toujours le même : une droite se décrit par un point et une direction, et le produit scalaire permet de remplacer la direction par une direction « perpendiculaire », le vecteur normal.
Les pièges à éviter
Les exercices
Exercice 1 Lire les vecteurs dans une équation
★☆☆Environ 5 min
Soit la droite d d'équation 2x+5y−7=0.
Donne un vecteur normal n à d.
Donne un vecteur directeur u de d.
Calcule le produit scalaire n⋅u.
Indice 1
Les coefficients de x et de y donnent le vecteur normal.
Indice 2
Pour le vecteur directeur, échange les coordonnées de n et change un signe.
Voir la correction pas à pas
Dans ax+by+c=0, on lit a=2 et b=5 : n(2;5).
Un vecteur directeur est u(−b;a)=(−5;2).
Produit scalaire : 2×(−5)+5×2=−10+10=0.
Le produit scalaire est nul, ce qui confirme que n est orthogonal à u : c'est la définition d'un vecteur normal.
Exercice 2 Un point et un vecteur normal
★☆☆Environ 6 min
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d passant par A(1;2) et de vecteur normal n(3;−1). Elle admet une équation de la forme 3x−y+c=0. Détermine c.
Indice 1
Un point M(x;y) est sur d si AM⋅n=0.
Indice 2
Tu peux aussi remplacer x et y par les coordonnées de A dans 3x−y+c=0.
Voir la correction pas à pas
Pour M(x;y), on a AM(x−1;y−2).
La condition AM⋅n=0 donne 3(x−1)−(y−2)=0.
On développe : 3x−3−y+2=0, soit 3x−y−1=0.
Vérification : 3×1−2−1=0. Donc c=−1.
L'équation est 3x−y−1=0. Le signe de c se contrôle toujours en remplaçant par les coordonnées du point donné.
Exercice 3 Un point et un vecteur directeur
★☆☆Environ 8 min
La droite d passe par B(−2;4) et a pour vecteur directeur u(3;1).
Trouve un vecteur normal à d.
Écris une équation de d sous la forme x−3y+c=0 et donne c.
Indice 1
Pour u(3;1), essaie n(−1;3) et teste le produit scalaire.
Indice 2
Si tu prends n(−1;3), tu obtiens −x+3y+⋯=0 : multiplie par −1 pour retrouver la forme demandée.
Voir la correction pas à pas
Produit scalaire de n(−1;3) et u(3;1) : −3+3=0. Ce vecteur est normal.
Condition : −(x+2)+3(y−4)=0.
Développement : −x−2+3y−12=0, soit −x+3y−14=0.
On multiplie par −1 : x−3y+14=0. Vérification avec B : −2−12+14=0. Donc c=14.
Une équation de d est x−3y+14=0. Multiplier par −1 ne change pas la droite.
Exercice 4 Droites parallèles
★★☆Environ 8 min
Les droites d1:2x−3y+1=0 et d2:kx+6y−5=0 sont parallèles. Détermine la valeur du réel k.
Indice 1
Deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Indice 2
Les vecteurs normaux sont (2;−3) et (k;6) : écris la condition de colinéarité ab′−a′b=0.
Voir la correction pas à pas
Vecteur normal de d1 : n1(2;−3). Vecteur normal de d2 : n2(k;6).
Colinéarité : 2×6−k×(−3)=0.
On simplifie : 12+3k=0, donc k=−4.
Contrôle : n2=(−4;6)=−2n1.
Pour k=−4, les vecteurs normaux sont colinéaires et les droites sont parallèles.
Exercice 5 Perpendiculaire passant par un point
★★☆Environ 10 min
Soit d1:3x+4y−2=0 et le point C(5;1). On cherche la droite d2 passant par C et perpendiculaire à d1, sous la forme 4x−3y+c=0. Détermine c.
Indice 1
Le vecteur normal de d1 est un vecteur directeur de d2.
Indice 2
Il suffit alors de trouver un vecteur normal à ce vecteur directeur, ou de vérifier que (4;−3) convient.
Voir la correction pas à pas
Vecteur normal de d1 : n1(3;4). Il dirige d2.
Un vecteur normal de d2 doit être orthogonal à (3;4) : n2(4;−3) convient, car 12−12=0.
Condition avec C : 4(x−5)−3(y−1)=0.
Développement : 4x−20−3y+3=0, soit 4x−3y−17=0. Donc c=−17.
La droite d2 a pour équation 4x−3y−17=0. Vérification : 4×5−3×1−17=0.
Exercice 6 Hauteur d'un triangle
★★☆Environ 10 min
Dans un repère orthonormé, on donne A(1;1), B(5;3) et C(2;6). La hauteur issue de C dans le triangle ABC est la droite passant par C et perpendiculaire à (AB). Elle a une équation de la forme 2x+y+c=0. Détermine c.
Indice 1
Le vecteur AB est normal à la hauteur issue de C.
Indice 2
Simplifie AB en le divisant par 2 pour obtenir des coefficients plus petits.
Voir la correction pas à pas
Calcul de AB(5−1;3−1)=(4;2).
Ce vecteur est normal à la hauteur ; (2;1), qui lui est colinéaire, l'est aussi.
Condition avec C(2;6) : 2(x−2)+1(y−6)=0.
Développement : 2x−4+y−6=0, soit 2x+y−10=0. Donc c=−10.
La hauteur issue de C a pour équation 2x+y−10=0. Contrôle : 2×2+6−10=0.
Exercice 7 Médiatrice d'un segment
★★★Environ 12 min
On donne A(−1;2) et B(5;6). Soit I le milieu de [AB] et Δ la droite passant par I et perpendiculaire à (AB).
Calcule les coordonnées de I.
Donne une équation de Δ sous la forme 3x+2y+c=0.
Détermine l'ordonnée du point d'intersection de Δ avec l'axe des ordonnées.
Indice 1
Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités.
Indice 2
AB(6;4) est normal à Δ ; divise-le par 2.
Indice 3
Un point de l'axe des ordonnées a pour abscisse 0.
Voir la correction pas à pas
Milieu : I(2−1+5;22+6)=(2;4).
Vecteur normal : AB(6;4), colinéaire à n(3;2).
Condition : 3(x−2)+2(y−4)=0, soit 3x+2y−14=0 (donc c=−14).
Intersection avec l'axe des ordonnées : x=0 donne 2y=14, donc y=7.
La droite Δ a pour équation 3x+2y−14=0 et coupe l'axe des ordonnées au point (0;7).
Exercice 8 Un paramètre pour la perpendicularité
★★★Environ 12 min
Pour tout réel m, on considère la droite dm:(m+1)x+2y−3=0 et la droite d′:x−2y+1=0. Détermine la valeur de m pour laquelle dm et d′ sont perpendiculaires.
Indice 1
Écris les vecteurs normaux de dm et de d′ en fonction de m.
Indice 2
La perpendicularité des droites se traduit par un produit scalaire nul entre les vecteurs normaux.
Voir la correction pas à pas
Vecteur normal de dm : n(m+1;2). Vecteur normal de d′ : n′(1;−2).
Les droites sont perpendiculaires si n⋅n′=0.
Calcul : (m+1)×1+2×(−2)=m+1−4=m−3.
On résout m−3=0 : m=3.
Contrôle : pour m=3, n(4;2) et 4×1+2×(−2)=0.
Les droites sont perpendiculaires pour m=3, et seulement pour cette valeur.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si j'ai le bon vecteur normal ?
Calcule son produit scalaire avec un vecteur directeur de la droite : il doit être nul, puisqu'un vecteur normal est orthogonal à un vecteur directeur 1. Pour une équation ax+by+c=0, le vecteur (a;b) convient toujours. Un vecteur colinéaire à celui-ci convient aussi.
Pourquoi ma réponse ne ressemble-t-elle pas à la correction ?
Une droite a une infinité d'équations, obtenues en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul. Divise ou multiplie ton équation pour comparer. Un test sûr reste de remplacer les coordonnées d'un point de la droite dans ton équation.
Faut-il savoir ces méthodes pour l'épreuve ?
Les exercices de géométrie avec hauteur, médiatrice ou droites perpendiculaires reviennent régulièrement, car ils combinent produit scalaire et équations. Retiens surtout la méthode « point + vecteur normal », qui évite de passer par des coefficients directeurs.