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Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Produit scalaire : définitions, cours de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (un scalaire), pas un vecteur : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta si les deux vecteurs sont non nuls, et 00 si l'un d'eux est nul.
  • Le produit scalaire est positif si l'angle est aigu, négatif si l'angle est obtus, nul si les vecteurs sont orthogonaux.
  • Le carré scalaire vaut u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2 : c'est ce qui permet de calculer des longueurs.
  • Dans un repère orthonormé, avec u⃗(x ;y)\vec u(x\,;y) et v⃗(x′ ;y′)\vec v(x'\,;y') : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'.
  • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à 00.

À quoi sert le produit scalaire ?

Jusqu'ici, tu as appris à additionner des vecteurs, à les multiplier par un nombre et à lire leurs coordonnées. Une question reste pourtant sans réponse : comment savoir, à partir de calculs, si deux droites sont perpendiculaires, ou quelle est la mesure d'un angle ? Le produit scalaire apporte cet outil.

Il s'agit d'une opération qui, à deux vecteurs, associe un nombre : un scalaire. 4 Le résultat n'est donc pas un vecteur, et c'est la première chose à retenir. Cette opération permet de travailler avec les notions classiques de la géométrie : longueurs, angles et orthogonalité. 4 Elle fournit aussi des outils pour vérifier une orthogonalité, une colinéarité ou pour déterminer un angle. 4

Au programme de Première, le produit scalaire sert à démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux et à calculer des longueurs. 2 Ses propriétés (bilinéarité, symétrie) et ses expressions en repère orthonormé sont aussi au programme. 2 Il intervient même en physique, où il sert à modéliser le travail d'une force. 2

Dans ce cours, nous nous occupons des définitions : comment on définit le produit scalaire, sous quelles formes on peut l'écrire, et comment passer de l'une à l'autre. Les propriétés de calcul et la formule d'Al-Kashi viendront dans les chapitres suivants.

Rappels : norme et angle de deux vecteurs

Pour définir le produit scalaire, il faut deux ingrédients que tu connais déjà en partie : la longueur d'un vecteur et l'angle entre deux vecteurs. Dans la géométrie fondée sur le produit scalaire, la longueur est donnée par la norme et l'angle par une formule qui fait intervenir le produit scalaire. 4

Première définition : par le cosinus

L'écriture historique est celle de Marcolongo et Burali-Forti : elle repose sur le cosinus d'un angle. 4 Voici la version utilisée en Première.

Cas particuliers : carré scalaire, vecteurs colinéaires, vecteurs orthogonaux

Certaines situations reviennent très souvent. Elles se déduisent directement de la définition par le cosinus.

Démonstration · Pourquoi $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$ ?

Si u⃗\vec u est nul, les deux membres valent 00. Sinon, l'angle d'un vecteur avec lui-même est nul, donc cos⁡0∘=1\cos0^\circ=1 et : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥×∥u⃗∥×1=∥u⃗∥2.\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|\times\|\vec u\|\times1=\|\vec u\|^2.

Cette égalité est la clé du calcul de longueurs : en calculant un produit scalaire, on obtient un carré de longueur, puis on prend la racine carrée. C'est précisément l'une des utilisations demandées dans le programme. 2

Démonstration · Pourquoi cette équivalence est vraie

Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul et le vecteur nul est orthogonal à tout : l'équivalence est vérifiée. Si les deux vecteurs sont non nuls, alors ∥u⃗∥≠0\|\vec u\|\neq0 et ∥v⃗∥≠0\|\vec v\|\neq0. Le produit ∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta est donc nul exactement quand cos⁡θ=0\cos\theta=0, c'est-à-dire quand θ=90∘\theta=90^\circ (puisque θ\theta est compris entre 0∘0^\circ et 180∘180^\circ).

Deuxième définition : par projection orthogonale

On peut aussi calculer un produit scalaire sans connaître l'angle, à condition de savoir projeter. Cette écriture est très utile dans les figures où un angle droit est visible.

Démonstration · D'où vient la formule ?

Dans le triangle OHBOHB rectangle en HH, si l'angle AOB^\widehat{AOB} est aigu, on a cos⁡θ=OHOB\cos\theta=\dfrac{OH}{OB}, donc OH=OBcos⁡θOH=OB\cos\theta. En reportant dans la définition : u⃗⋅v⃗=OA×OB×cos⁡θ=OA×OH.\vec u\cdot\vec v=OA\times OB\times\cos\theta=OA\times OH. Si l'angle est obtus, HH se trouve de l'autre côté de OO et cos⁡θ\cos\theta est négatif : on retrouve le signe moins.

Troisième définition : avec les coordonnées

Le plus souvent, les exercices donnent des coordonnées. Le programme prévoit des expressions du produit scalaire dans une base orthonormée. 2 Rappelons qu'une base est orthonormée si ses deux vecteurs sont orthogonaux et de norme 11.

Démonstration · Démonstration avec la base $(\vec\imath,\vec\jmath)$

On écrit u⃗=xı⃗+yȷ⃗\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath et v⃗=x′ı⃗+y′ȷ⃗\vec v=x'\vec\imath+y'\vec\jmath. Le produit scalaire est bilinéaire et symétrique, ce qui permet de développer comme un produit de deux sommes. 2 On obtient : u⃗⋅v⃗=xx′ ı⃗⋅ı⃗+xy′ ı⃗⋅ȷ⃗+yx′ ȷ⃗⋅ı⃗+yy′ ȷ⃗⋅ȷ⃗.\vec u\cdot\vec v=xx'\,\vec\imath\cdot\vec\imath+xy'\,\vec\imath\cdot\vec\jmath+yx'\,\vec\jmath\cdot\vec\imath+yy'\,\vec\jmath\cdot\vec\jmath. Or ı⃗⋅ı⃗=∥ı⃗∥2=1\vec\imath\cdot\vec\imath=\|\vec\imath\|^2=1, ȷ⃗⋅ȷ⃗=1\vec\jmath\cdot\vec\jmath=1 (base de vecteurs de norme 11) et ı⃗⋅ȷ⃗=ȷ⃗⋅ı⃗=0\vec\imath\cdot\vec\jmath=\vec\jmath\cdot\vec\imath=0 (vecteurs orthogonaux). Il reste xx′+yy′xx'+yy'.

Utiliser le produit scalaire : orthogonalité et longueurs

Le programme cite deux grands usages : démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs et calculer des longueurs. 2 Un schéma résume le choix de la formule.

Choisir la bonne expression du produit scalaireSuite d'étapes : repérer les données, choisir la formule, calculer, puis interpréter le signe du résultat.1Repérer les donnéesCoordonnées, longueurs et angle, ou angle droit visible ?2Choisir la formulexx'+yy', ou norme × norme × cosinus, ou projection.3CalculerEffectue le calcul avec soin, signes compris.4InterpréterNul : orthogonaux. Positif : aigu. Négatif : obtus.
  1. Repérer les donnéesCoordonnées, longueurs et angle, ou angle droit visible ?
  2. Choisir la formulexx'+yy', ou norme × norme × cosinus, ou projection.
  3. CalculerEffectue le calcul avec soin, signes compris.
  4. InterpréterNul : orthogonaux. Positif : aigu. Négatif : obtus.
Choisir la bonne expression du produit scalaire · Toutes les formules donnent le même nombre.

Ce que le produit scalaire garde de plus général

Les écritures précédentes ne sont pas des opérations différentes : ce sont des manières de calculer le même nombre. Elles se complètent. Avec un angle et des longueurs, on utilise le cosinus. Avec une figure comportant un angle droit, on projette. Avec des coordonnées, on calcule xx′+yy′xx'+yy'.

Au-delà du lycée, les mathématiciens ont retenu l'idée essentielle : le produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique et définie positive. 4 Cette qualité, exploitée plus tard en algèbre linéaire, est devenue la définition elle-même. 4 On peut ainsi étendre longueurs, angles et orthogonalité à des espaces vectoriels de toute dimension. 4 En Première, tu n'as pas besoin de ce cadre, mais il explique pourquoi les règles de calcul que tu verras (bilinéarité, symétrie) ressemblent à celles d'un produit de nombres. 2

Retiens pour l'instant une image simple : le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs « vont dans la même direction ». Grand et positif quand ils pointent ensemble, nul quand ils sont perpendiculaires, négatif quand ils s'opposent.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer avec le cosinus

★☆☆Environ 5 min

Dans un triangle ABCABC, on donne AB=5AB=5, AC=6AC=6 et BAC^=120∘\widehat{BAC}=120^\circ. Calcule AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

Indice 1

Les deux vecteurs partent de AA : l'angle des vecteurs est bien BAC^\widehat{BAC}.

Indice 2

cos⁡120∘=−12\cos120^\circ=-\dfrac12.

Voir la correction pas à pas

  1. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ont la même origine AA, l'angle θ\theta vaut donc 120∘120^\circ.

  2. On applique la définition : AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡120∘\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos120^\circ.

  3. On remplace : 5×6×(−12)=−155\times6\times\left(-\dfrac12\right)=-15.

Le produit scalaire vaut −15-15. Il est négatif, ce qui est cohérent avec un angle obtus.

Exercice 2 Calculer avec les coordonnées

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(3 ;−2)\vec u(3\,;-2) et v⃗(5 ;4)\vec v(5\,;4). Calcule u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

Indice 1

Utilise la formule xx′+yy′xx'+yy'.

Indice 2

Attention au signe de −2×4-2\times4.

Voir la correction pas à pas

  1. Le repère est orthonormé : on peut utiliser u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'.

  2. On remplace : 3×5+(−2)×43\times5+(-2)\times4.

  3. On calcule : 15−8=715-8=7.

On obtient u⃗⋅v⃗=7\vec u\cdot\vec v=7. Le résultat est positif, l'angle des deux vecteurs est donc aigu.

Exercice 3 Trouver un paramètre pour l'orthogonalité

★★☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(k ;3)\vec u(k\,;3) et v⃗(4 ;−2)\vec v(4\,;-2). Pour quelle valeur de kk les vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont-ils orthogonaux ?

Indice 1

Orthogonaux signifie que le produit scalaire est nul.

Indice 2

Écris d'abord u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v en fonction de kk.

Voir la correction pas à pas

  1. On écrit le produit scalaire : u⃗⋅v⃗=k×4+3×(−2)=4k−6\vec u\cdot\vec v=k\times4+3\times(-2)=4k-6.

  2. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0, soit 4k−6=04k-6=0.

  3. On résout : 4k=64k=6, donc k=64=1,5k=\dfrac{6}{4}=1{,}5.

  4. Vérification : avec k=1,5k=1{,}5, 1,5×4−6=01{,}5\times4-6=0.

Les vecteurs sont orthogonaux pour k=1,5k=1{,}5, et pour cette seule valeur.

Exercice 4 Un triangle rectangle en A ?

★★☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ;1)A(2\,;1), B(6 ;3)B(6\,;3) et C(0 ;5)C(0\,;5). Calcule AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} puis dis si le triangle ABCABC est rectangle en AA.

Indice 1

Calcule d'abord les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et de AC→\overrightarrow{AC}.

Indice 2

Un produit scalaire nul indique des vecteurs orthogonaux.

Voir la correction pas à pas

  1. On calcule AB→(6−2 ;3−1)=(4 ;2)\overrightarrow{AB}(6-2\,;3-1)=(4\,;2).

  2. On calcule AC→(0−2 ;5−1)=(−2 ;4)\overrightarrow{AC}(0-2\,;5-1)=(-2\,;4).

  3. Le repère est orthonormé : AB→⋅AC→=4×(−2)+2×4=−8+8=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times(-2)+2\times4=-8+8=0.

  4. Le produit scalaire est nul, donc AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont orthogonaux.

Le produit scalaire vaut 00 : le triangle ABCABC est rectangle en AA.

Quiz

7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Le produit scalaire de deux vecteurs est :

  2. Avec ∥u⃗∥=4\|\vec u\|=4, ∥v⃗∥=5\|\vec v\|=5 et un angle de 60∘60^\circ, combien vaut u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v ?

  3. Si l'angle entre deux vecteurs non nuls est obtus, alors leur produit scalaire est :

  4. Si u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0, alors forcément u⃗=0⃗\vec u=\vec 0 ou v⃗=0⃗\vec v=\vec 0.

  5. Que vaut u⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec u ?

  6. Dans un repère orthonormé, u⃗(2 ;−1)\vec u(2\,;-1) et v⃗(3 ;6)\vec v(3\,;6). Combien vaut u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v ?

  7. Pour quelle raison la formule xx′+yy′xx'+yy' peut-elle être fausse ?

Les questions qu'on se pose

Le produit scalaire est-il un vecteur ?

Non. Il associe à deux vecteurs un nombre, un scalaire. 4 C'est pourquoi on ne met pas de flèche sur le résultat.

À quoi sert le produit scalaire concrètement ?

Il sert à vérifier que deux vecteurs sont orthogonaux et à calculer des longueurs. 2 Il permet aussi de déterminer un angle géométrique. 4 En physique, il modélise le travail d'une force. 2

Quelle définition dois-je utiliser dans un exercice ?

Regarde les données. Si tu as des coordonnées dans un repère orthonormé, utilise xx′+yy′xx'+yy'. Si tu connais des longueurs et un angle, utilise le cosinus. Si la figure contient un angle droit, pense à la projection. Toutes donnent le même nombre.

Pourquoi le produit scalaire peut-il être négatif ?

Parce que le cosinus d'un angle obtus est négatif. Un résultat négatif signifie que l'angle entre les deux vecteurs est supérieur à 90∘90^\circ.

Comment savoir si l'angle est entre les bons vecteurs ?

Représente les deux vecteurs à partir du même point. Si les flèches s'enchaînent, l'angle mesuré est supplémentaire de celui des vecteurs, et le signe du produit scalaire change.

Sources

  1. Programmes et ressources en mathématiques - voie générale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Géométrie pour tous et partout : le produit scalaire, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Produit scalaire en classe de première (fiche pédagogique), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
  4. Produit scalaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  5. Produit scalaire canonique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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