Produit scalaire : définitions, exercices corrigés de 1re

On choisit l'expression adaptée : on connaît deux normes et un angle, donc $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta$.

On remplace par les données : $\vec u\cdot\vec v=5\times 4\times\cos 60^\circ$.

On sait que $\cos 60^\circ=\dfrac12$, donc $\vec u\cdot\vec v=20\times\dfrac12$.

On calcule : $\vec u\cdot\vec v=10$.

Le repère est orthonormé, on peut donc utiliser $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.

On identifie $x=3$, $y=-2$, $x'=4$, $y'=5$.

On remplace : $\vec u\cdot\vec v=3\times 4+(-2)\times 5$.

On calcule : $12-10=2$.

On applique la formule en coordonnées avec $\vec v=\vec w$ : $\vec w\cdot\vec w=6\times 6+(-8)\times(-8)$.

On calcule : $36+64=100$.

Par ailleurs, l'angle d'un vecteur avec lui-même est nul et $\cos 0=1$, donc $\vec w\cdot\vec w=\|\vec w\|^2$.

On en tire $\|\vec w\|^2=100$, donc $\|\vec w\|=\sqrt{100}=10$ (une norme est positive).

Le produit scalaire sert à démontrer une orthogonalité :² on cherche donc $k$ tel que $\vec u\cdot\vec v=0$.

On exprime le produit scalaire : $\vec u\cdot\vec v=2\times 6+k\times(-3)=12-3k$.

On pose l'équation $12-3k=0$.

On isole $k$ : $3k=12$, donc $k=4$.

Vérification : avec $k=4$, $2\times 6+4\times(-3)=12-12=0$.

Le produit scalaire est bilinéaire,² on peut donc développer : $\vec u\cdot(2\vec v-3\vec w)=2\,(\vec u\cdot\vec v)-3\,(\vec u\cdot\vec w)$.

On remplace par les valeurs connues : $2\times 3-3\times(-2)$.

On calcule : $6+6=12$.

Le travail de la force est modélisé par le produit scalaire de la force et du déplacement : on calcule $\vec F\cdot\vec{AB}$.

On applique la formule en coordonnées : $\vec F\cdot\vec{AB}=3\times 5+4\times 2$.

On calcule : $15+8=23$.

Avec les coordonnées : $\vec u\cdot\vec v=1\times 0+1\times 3=3$.

Les normes : $\|\vec u\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ et $\|\vec v\|=\sqrt{0^2+3^2}=3$.

Avec la formule trigonométrique : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta$, donc $3=\sqrt2\times 3\times\cos\theta$.

On en déduit $\cos\theta=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Comme $\theta$ est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$, on obtient $\theta=45^\circ$.

On calcule $\vec{AB}\,(4-1\,;3-2)=(3\,;1)$.

On calcule $\vec{AC}\,(2-1\,;6-2)=(1\,;4)$.

On applique la formule en coordonnées : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times 1+1\times 4=7$.

Le résultat est strictement positif, donc $\cos\widehat{BAC}>0$ : l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu.

On décompose : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}+\vec{AB}\cdot\vec{HC}$.

Le point $H$ est le projeté orthogonal de $C$ : les vecteurs $\vec{HC}$ et $\vec{AB}$ sont orthogonaux, donc $\vec{AB}\cdot\vec{HC}=0$.

Il reste $\vec{AB}\cdot\vec{AH}$. Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont la même direction mais des sens opposés : l'angle entre eux est de $180^\circ$ et $\cos 180^\circ=-1$.

On calcule : $\vec{AB}\cdot\vec{AH}=5\times 3\times(-1)=-15$.

Le produit scalaire est donc négatif : l'angle $\widehat{BAC}$ est obtus, ce qui correspond bien à un projeté situé de l'autre côté de $A$.

On calcule $\vec{AB}\,(2-(-1)\,;4-1)=(3\,;3)$ et $\vec{AC}\,(1-(-1)\,;-1-1)=(2\,;-2)$.

On calcule le produit scalaire : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times 2+3\times(-2)=6-6=0$.

Le produit scalaire est nul : les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux,² donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

On calcule les longueurs avec les normes : $AB=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$ et $AC=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2$.

L'aire vaut $\dfrac12\times AB\times AC=\dfrac12\times 3\sqrt2\times 2\sqrt2=\dfrac12\times 12=6$.