Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques
Produit scalaire : définitions, fiche de révision de 1re Cours Fiche Exercices Quiz Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel Le produit scalaire associe deux vecteurs à un nombre (un scalaire), pas à un vecteur 4 Avec les coordonnées dans un repère orthonormé : u ⃗ ⋅ v ⃗ = x x ′ + y y ′ \vec u\cdot\vec v = xx' + yy' u ⋅ v = x x ′ + y y ′ 2 Avec l'angle : u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ⃗ ∥ × cos θ \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta u ⋅ v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos θ Orthogonalité : u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec u\cdot\vec v = 0 u ⋅ v = 0 2 Longueur : u ⃗ ⋅ u ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ 2 \vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2 u ⋅ u = ∥ u ∥ 2 ∥ u ⃗ ∥ = x 2 + y 2 \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2} ∥ u ∥ = x 2 + y 2 2 Au programme · 5 parties Ce que c'est et à quoi ça sert Les deux formules de définition Propriétés à connaître Deux applications directes Pièges fréquents Quiz Questions fréquentes Ce que c'est et à quoi ça sert Définition Produit scalaire
Le produit scalaire vient compléter les opérations déjà connues sur les vecteurs : à partir de deux vecteurs, il fournit un simple nombre réel, appelé scalaire 4 u ⃗ ⋅ v ⃗ \vec u\cdot\vec v u ⋅ v pas un vecteur.
Cet outil sert à manipuler les notions de la géométrie : longueurs , angles et orthogonalité 4 2 4 2
Remarque
Il existe deux façons de présenter le produit scalaire : une manière géométrique, qui utilise les longueurs et l'angle, et une manière algébrique 4 2
Les deux formules de définition Propriété Avec l'angle
Pour deux vecteurs non nuls u ⃗ \vec u u v ⃗ \vec v v θ \theta θ
u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ⃗ ∥ × cos θ \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta u ⋅ v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos θ
Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0 0 0
Propriété Avec les coordonnées
Le programme prévoit une expression du produit scalaire dans une base orthonormée 2 u ⃗ ( x ; y ) \vec u(x\,;\,y) u ( x ; y ) v ⃗ ( x ′ ; y ′ ) \vec v(x'\,;\,y') v ( x ′ ; y ′ ) orthonormé :
u ⃗ ⋅ v ⃗ = x x ′ + y y ′ \vec u\cdot\vec v = xx' + yy' u ⋅ v = x x ′ + y y ′
Attention, erreur fréquente Repère orthonormé obligatoire
La formule x x ′ + y y ′ xx'+yy' x x ′ + y y ′ orthonormé . Les situations de géométrie repérée se traitent uniquement dans ce type de repère 2
Exemple Deux calculs
Avec l'angle. ∥ u ⃗ ∥ = 2 \|\vec u\|=2 ∥ u ∥ = 2 ∥ v ⃗ ∥ = 3 \|\vec v\|=3 ∥ v ∥ = 3 θ = 60 ∘ \theta=60^\circ θ = 6 0 ∘
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 2 × 3 × cos 60 ∘ = 6 × 1 2 = 3 \vec u\cdot\vec v = 2\times3\times\cos 60^\circ = 6\times\tfrac12 = 3 u ⋅ v = 2 × 3 × cos 6 0 ∘ = 6 × 2 1 = 3
Avec les coordonnées. u ⃗ ( 2 ; 3 ) \vec u(2\,;\,3) u ( 2 ; 3 ) v ⃗ ( 4 ; − 1 ) \vec v(4\,;\,-1) v ( 4 ; − 1 )
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 2 × 4 + 3 × ( − 1 ) = 8 − 3 = 5 \vec u\cdot\vec v = 2\times4 + 3\times(-1) = 8-3 = 5 u ⋅ v = 2 × 4 + 3 × ( − 1 ) = 8 − 3 = 5
Propriétés à connaître Propriété Symétrie et bilinéarité
Le programme cite la symétrie et la bilinéarité du produit scalaire 2
u ⃗ ⋅ v ⃗ = v ⃗ ⋅ u ⃗ \vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u u ⋅ v = v ⋅ u u ⃗ ⋅ ( v ⃗ + w ⃗ ) = u ⃗ ⋅ v ⃗ + u ⃗ ⋅ w ⃗ \vec u\cdot(\vec v+\vec w) = \vec u\cdot\vec v + \vec u\cdot\vec w u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w ( k u ⃗ ) ⋅ v ⃗ = k ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) (k\vec u)\cdot\vec v = k\,(\vec u\cdot\vec v) ( k u ) ⋅ v = k ( u ⋅ v ) Deux applications directes Méthode Démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux
Le produit scalaire sert à démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs 2
Vérifie que le repère est orthonormé.
Calcule x x ′ + y y ′ xx'+yy' x x ′ + y y ′
Si le résultat est 0 0 0
Exemple Orthogonalité
u ⃗ ( 3 ; 2 ) \vec u(3\,;\,2) u ( 3 ; 2 ) v ⃗ ( − 2 ; 3 ) \vec v(-2\,;\,3) v ( − 2 ; 3 ) 3 × ( − 2 ) + 2 × 3 = − 6 + 6 = 0 3\times(-2)+2\times3 = -6+6 = 0 3 × ( − 2 ) + 2 × 3 = − 6 + 6 = 0 orthogonaux .
Méthode Calculer une longueur
Le produit scalaire sert aussi à calculer des longueurs 2 cos 0 ∘ = 1 \cos 0^\circ = 1 cos 0 ∘ = 1 u ⃗ ⋅ u ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ 2 \vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2 u ⋅ u = ∥ u ∥ 2
∥ u ⃗ ∥ = x 2 + y 2 \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2} ∥ u ∥ = x 2 + y 2
Exemple Norme
u ⃗ ( 3 ; 4 ) \vec u(3\,;\,4) u ( 3 ; 4 ) u ⃗ ⋅ u ⃗ = 9 + 16 = 25 \vec u\cdot\vec u = 9+16 = 25 u ⋅ u = 9 + 16 = 25 ∥ u ⃗ ∥ = 5 \|\vec u\| = 5 ∥ u ∥ = 5
Pièges fréquents Attention, erreur fréquente Le résultat est un nombre
N'écris jamais de coordonnées pour un produit scalaire. u ⃗ ⋅ v ⃗ \vec u\cdot\vec v u ⋅ v
Attention, erreur fréquente Oubli des signes
Dans x x ′ + y y ′ xx'+yy' x x ′ + y y ′ 3 × ( − 1 ) 3\times(-1) 3 × ( − 1 ) 3 × − 1 3\times-1 3 × − 1
Attention, erreur fréquente Produit nul ne veut pas dire vecteur nul
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec u\cdot\vec v=0 u ⋅ v = 0 u ⃗ \vec u u v ⃗ \vec v v ( 3 ; 2 ) (3\,;\,2) ( 3 ; 2 ) ( − 2 ; 3 ) (-2\,;\,3) ( − 2 ; 3 )
Questions flash 4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Quel est le résultat du produit scalaire de deux vecteurs ?
Un vecteur Un nombre réel Un angle en degrés Un point Valider
Le produit scalaire associe à deux vecteurs un scalaire, c'est-à-dire un nombre 4
Dans un repère orthonormé, u ⃗ ( 2 ; 3 ) \vec u(2\,;\,3) u ( 2 ; 3 ) v ⃗ ( 4 ; − 1 ) \vec v(4\,;\,-1) v ( 4 ; − 1 ) u ⃗ ⋅ v ⃗ \vec u\cdot\vec v u ⋅ v
Ta réponse Valider
On calcule 2 × 4 + 3 × ( − 1 ) = 8 − 3 = 5 2\times4+3\times(-1)=8-3=5 2 × 4 + 3 × ( − 1 ) = 8 − 3 = 5 11 11 11 − 1 -1 − 1
Les vecteurs u ⃗ ( 3 ; 2 ) \vec u(3\,;\,2) u ( 3 ; 2 ) v ⃗ ( − 2 ; 3 ) \vec v(-2\,;\,3) v ( − 2 ; 3 )
Vrai Faux Valider
3 × ( − 2 ) + 2 × 3 = 0 3\times(-2)+2\times3=0 3 × ( − 2 ) + 2 × 3 = 0 2 0 0 0
Quelle formule donne la norme de u ⃗ ( x ; y ) \vec u(x\,;\,y) u ( x ; y )
x + y x+y x + y x 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x 2 + y 2 x + y \sqrt{x}+\sqrt{y} x + y Valider
Comme u ⃗ ⋅ u ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ 2 = x 2 + y 2 \vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2=x^2+y^2 u ⋅ u = ∥ u ∥ 2 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2
Les questions qu'on se pose Pourquoi le repère doit-il être orthonormé ? La formule x x ′ + y y ′ xx'+yy' x x ′ + y y ′ 2
Quelle formule choisir : celle avec l'angle ou celle avec les coordonnées ? Si l'énoncé donne des coordonnées, utilise x x ′ + y y ′ xx'+yy' x x ′ + y y ′
À quoi sert le produit scalaire ? Il sert à démontrer une orthogonalité, à calculer des longueurs et des angles 2 4 2
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