Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Propriétés et calculs du produit scalaire : cours de 1re spé maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, jamais un vecteur ; il vaut 0 si l'un des vecteurs est nul ².
Trois outils de calcul : avec le cosinus de l'angle, avec une projection orthogonale, avec les coordonnées dans un repère orthonormé ( $xx'+yy'$ ).
Il est symétrique et bilinéaire : on le développe comme un produit, et $\vec u\cdot\vec u=\lVert\vec u\rVert^2$ ³⁴.
Deux vecteurs sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul ; il est positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus ⁴.
Les identités $\lVert\vec u+\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2$ donnent des longueurs, et $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert}$ donne des angles.

Trois façons de calculer un produit scalaire

Tu connais déjà la définition du produit scalaire. Dans ce cours, on passe à l'usage : comment le calculer vite selon les données de l'énoncé, quelles règles de calcul s'appliquent, et à quoi il sert (prouver qu'un angle est droit, trouver une longueur, mesurer un angle). Les programmes de Première décrivent d'ailleurs cet objectif : utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur dans le plan ¹.

Une idée à garder en tête dès maintenant : le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un vecteur. C'est un nombre réel ². Tout au long du chapitre, tu manipules donc des nombres, et tu peux les additionner, les comparer, les mettre au carré comme n'importe quels réels.

Démonstration · D'où vient la formule des coordonnées ?

Notons $(\vec\imath,\vec\jmath)$ la base du repère orthonormé. Les deux vecteurs sont de longueur 1 et perpendiculaires, donc $\vec\imath\cdot\vec\imath=1\times1\times\cos0=1$ , $\vec\jmath\cdot\vec\jmath=1$ et $\vec\imath\cdot\vec\jmath=0$ (angle droit, cosinus nul). Écrivons $\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath$ et $\vec v=x'\vec\imath+y'\vec\jmath$ . Par bilinéarité (voir la section suivante) :

$\vec u\cdot\vec v=xx'\,\vec\imath\cdot\vec\imath+xy'\,\vec\imath\cdot\vec\jmath+yx'\,\vec\jmath\cdot\vec\imath+yy'\,\vec\jmath\cdot\vec\jmath=xx'+yy'.$

Les règles de calcul : symétrie et bilinéarité

Le mot « produit » n'est pas choisi au hasard : cette opération possède les propriétés qu'on attend d'un produit, comme la commutativité et la distributivité par rapport à l'addition ³. Ce n'est pourtant pas le seul produit qu'on sache associer à deux vecteurs, et il se comporte différemment d'un produit de nombres sur plusieurs points, que tu verras dans les pièges de ce cours ³.

Démonstration · Preuve de la première identité

On utilise le carré scalaire, puis on développe grâce à la bilinéarité :

$\lVert\vec u+\vec v\rVert^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v.$

Par symétrie, $\vec v\cdot\vec u=\vec u\cdot\vec v$ , d'où le terme $2\,\vec u\cdot\vec v$ . Les deux autres identités se démontrent de la même façon : on remplace $\vec v$ par $-\vec v$ pour la deuxième, et pour la troisième les termes croisés $-\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u$ s'annulent.

Attention, erreur fréquenteCe qui ne marche pas comme avec les nombres

On ne simplifie pas : $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$ n'entraîne pas $\vec v=\vec w$ . Exemple : avec $\vec u\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $\vec w\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ , on a $\vec u\cdot\vec v=2=\vec u\cdot\vec w$ alors que $\vec v\ne\vec w$ .
Un produit nul n'impose pas un facteur nul : deux vecteurs non nuls perpendiculaires ont un produit scalaire nul.
L'écriture $(\vec u\cdot\vec v)\cdot\vec w$ n'a pas de sens comme produit scalaire : $\vec u\cdot\vec v$ est un réel ², et on ne fait pas de produit scalaire entre un réel et un vecteur. Pour multiplier un vecteur par un réel, on écrit simplement $k\vec w$ .

Orthogonalité et signe du produit scalaire

Choisir la bonne formule

La difficulté d'un exercice n'est pas de connaître les formules, mais de choisir celle qui rend le calcul court. Le tableau ci-dessous résume les réflexes.

Calculer des longueurs

Les identités remarquables vectorielles servent à trouver la longueur d'une somme ou d'une différence de vecteurs sans passer par les coordonnées. On calcule d'abord le carré de la norme, puis on prend la racine carrée à la fin.

Démonstration · Preuve dans le triangle

On part de $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ et on applique la deuxième identité remarquable :

$BC^2=AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AB^2.$

Il reste à isoler $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ : on obtient la formule annoncée.

Calculer des angles

Bilan et erreurs fréquentes

À retenirÀ retenir

$\vec u\cdot\vec v$ est un réel ², nul si l'un des vecteurs est nul.
Trois formules : $\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\cos\theta$ ; $\pm AB\times AH$ avec un projeté ; $xx'+yy'$ en repère orthonormé.
Symétrie, bilinéarité, $\vec u^{\,2}=\lVert\vec u\rVert^2$ ³⁴.
Orthogonaux $\iff$ produit scalaire nul ; signe positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus ⁴.
$\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert}$ et $\vec u\cdot\vec v=\dfrac12(\lVert\vec u+\vec v\rVert^2-\lVert\vec u\rVert^2-\lVert\vec v\rVert^2)$ .

Attention, erreur fréquenteLes erreurs qu'on voit le plus

Écrire un vecteur comme résultat d'un produit scalaire, ou le noter avec une flèche.
Oublier le facteur $2$ dans $\lVert\vec u+\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2$ , en recopiant $(a+b)^2=a^2+b^2$ .
Appliquer $xx'+yy'$ dans un repère qui n'est pas orthonormé.
Prendre des vecteurs qui ne partent pas du même point pour lire l'angle : l'angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CA}$ n'est pas l'angle $\widehat{BAC}$ (il est supplémentaire).
Se tromper sur le signe : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
Conclure à la perpendicularité sans avoir vérifié que les deux vecteurs sont non nuls.

Pour la suite, les notions de ce chapitre te serviront pour la formule d'Al-Kashi, pour les équations de droite avec un vecteur normal, puis pour l'équation d'un cercle. Dans ces trois cas, la clé reste la même : traduire une perpendiculaire ou une longueur par un produit scalaire.

Exercices corrigés

Exercice 1 Un triangle est-il rectangle ?

★☆☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;6)$ et $C(5\,;-1)$ . Calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et conclus sur la nature du triangle $ABC$ .

Indice 1

Commence par les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$ : arrivée moins départ.

Indice 2

Utilise $xx'+yy'$ .

Voir la correction pas à pas

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(4-1\,;6-2)=(3\,;4)$ .
Coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ : $(5-1\,;-1-2)=(4\,;-3)$ .
Produit scalaire : $3\times4+4\times(-3)=12-12=0$ .
Les deux vecteurs sont non nuls et orthogonaux, donc le triangle est rectangle en $A$ .

Un produit scalaire nul entre deux vecteurs non nuls issus d'un même sommet prouve un angle droit en ce sommet.

Exercice 2 Carré de la norme d'une différence

★★☆Environ 8 min

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ vérifient $\lVert\vec u\rVert=4$ , $\lVert\vec v\rVert=5$ et $\vec u\cdot\vec v=-10$ . Calcule $\lVert\vec u-\vec v\rVert^2$ .

Indice 1

Utilise l'identité remarquable pour la différence.

Indice 2

Fais attention au signe du terme du milieu : le produit scalaire est négatif.

Voir la correction pas à pas

Écris l'identité : $\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2$ .
Remplace : $16-2\times(-10)+25$ .
Calcule : $16+20+25=61$ .

Le carré de la norme vaut $61$ , donc $\lVert\vec u-\vec v\rVert=\sqrt{61}$ . Comme le produit scalaire est négatif, l'angle est obtus : la différence est plus longue que ce qu'on obtiendrait avec des vecteurs perpendiculaires ( $16+25=41$ ).

Exercice 3 Produit scalaire dans un triangle à trois côtés connus

★★☆Environ 8 min

Un triangle $ABC$ vérifie $AB=5$ , $AC=6$ et $BC=7$ . Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .

Indice 1

Écris $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ et élève au carré.

Indice 2

Isole le produit scalaire.

Voir la correction pas à pas

Élève au carré : $BC^2=AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AB^2$ .
Isole : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$ .
Remplace : $\dfrac12(25+36-49)=\dfrac{12}{2}=6$ .

Le produit scalaire vaut $6$ . On en déduit $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{6}{30}=0{,}2$ .

Exercice 4 Les diagonales d'un rectangle

★★★Environ 10 min

Soit $ABCD$ un rectangle avec $AB=6$ et $AD=4$ . On place le repère orthonormé d'origine $A$ , avec $B$ sur le premier axe et $D$ sur le second. Calcule $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$ , puis dis si les diagonales sont perpendiculaires.

Indice 1

Écris les coordonnées de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dans ce repère.

Indice 2

Pour $\overrightarrow{BD}$ , retire les coordonnées de $B$ à celles de $D$ .

Voir la correction pas à pas

Coordonnées : $A(0\,;0)$ , $B(6\,;0)$ , $C(6\,;4)$ , $D(0\,;4)$ .
Vecteurs : $\overrightarrow{AC}(6\,;4)$ et $\overrightarrow{BD}(-6\,;4)$ .
Produit scalaire : $6\times(-6)+4\times4=-36+16=-20$ .
Le résultat n'est pas nul : les diagonales ne sont pas perpendiculaires.

Le produit vaut $-20$ , donc l'angle est obtus. Les diagonales d'un rectangle ne sont perpendiculaires que si c'est un carré (cas $AB=AD$ , où l'on trouve $-a^2+a^2=0$ ).

Les questions qu'on se pose

Quelle formule dois-je utiliser pour calculer un produit scalaire ?

Regarde les données. Avec des coordonnées dans un repère orthonormé, prends $xx'+yy'$ . Avec des longueurs et un angle, prends le produit des normes par le cosinus. Avec une figure pleine d'angles droits, passe par une projection orthogonale ³. Si l'énoncé donne les trois côtés d'un triangle, la formule à trois longueurs est la plus directe.

Pourquoi le produit scalaire est-il un nombre et pas un vecteur ?

Parce que le calcul combine des longueurs et un cosinus, qui sont des réels. Le résultat est un réel ². D'où le nom « scalaire » : un scalaire est ici un nombre réel ⁴.

Comment prouver qu'un triangle est rectangle avec le produit scalaire ?

Choisis le sommet où tu soupçonnes l'angle droit, calcule les deux vecteurs qui en partent, puis leur produit scalaire. S'il est nul (vecteurs non nuls), l'angle est droit en ce sommet ⁴. Sinon, il ne l'est pas.

Peut-on utiliser les coordonnées dans n'importe quel repère ?

Non, seulement dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, les vecteurs de base ne sont pas de longueur 1 ni perpendiculaires, et la formule $xx'+yy'$ cesse d'être valable. Si l'énoncé le permet, choisis un repère orthonormé adapté à la figure.

Que dois-je savoir pour l'évaluation ?

Les ressources officielles de Première visent trois usages : démontrer une orthogonalité, calculer un angle, calculer une longueur ¹. Entraîne-toi donc à passer d'une formule à l'autre, à développer avec les identités remarquables vectorielles, et à rédiger une conclusion complète (vecteurs non nuls, repère orthonormé).

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol - Produit scalaire, Éduscol (Direction générale de l'enseignement scolaire). Consulté le 6 novembre 2026.
Chapitre 6 : Produit scalaire - Cours Première spécialité, CNRS (Centre national de la recherche scientifique). Consulté le 6 novembre 2026.
Produit scalaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Calcul vectoriel en géométrie euclidienne, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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