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Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Quiz : propriétés et calculs du produit scalaire (1re spé maths)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, jamais un vecteur 2.
  • Il vaut 0 si l'un des vecteurs est nul ; deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul 4.
  • Il est positif pour un angle aigu et négatif pour un angle obtus 4.
  • Il est symétrique et bilinéaire : on peut développer comme un produit ordinaire 31.
  • Avec un projeté orthogonal H de C sur (AB), sa valeur absolue est le produit AH × AB 3.

Avant de commencer

Ce quiz couvre les propriétés du produit scalaire et ses calculs : nature du résultat, signe, orthogonalité, carré scalaire, projection orthogonale, bilinéarité et calcul avec les coordonnées. Les définitions sont supposées connues : si une notion te manque, relis d'abord le cours.

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur 2. Il s'appelle « produit » parce qu'il possède des propriétés attendues d'un produit, comme la distributivité sur l'addition et la bilinéarité 3. Il est lié au cosinus de l'angle entre les deux vecteurs 1, et il est nul dès que l'un des deux vecteurs est nul 4.

Pour chaque question, cherche d'abord la réponse sur papier, puis valide. Lis l'explication même si tu as juste : elle précise l'erreur la plus tentante.

Quiz

15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Quelle est la nature du produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v de deux vecteurs ?

  2. Les vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont non nuls et forment un angle obtus. Que peut-on dire du signe de u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v ?

  3. On donne ∥u⃗∥=4\|\vec u\|=4, ∥v⃗∥=5\|\vec v\|=5 et un angle de 60∘60^\circ entre u⃗\vec u et v⃗\vec v. Calcule u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

  4. On donne ∥u⃗∥=3\|\vec u\|=3, ∥v⃗∥=2\|\vec v\|=2 et un angle de 120∘120^\circ entre les deux vecteurs. Calcule u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

  5. Dans un repère orthonormé, u⃗(2 ;3)\vec u(2\,;3) et v⃗(4 ;−1)\vec v(4\,;-1). Calcule u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

  6. Dans un repère orthonormé, u⃗(3 ;−2)\vec u(3\,;-2) et v⃗(4 ;6)\vec v(4\,;6) sont orthogonaux.

  7. Que vaut u⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec u lorsque ∥u⃗∥=7\|\vec u\|=7 ?

  8. Le produit scalaire est symétrique : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u.

  9. Que vaut u⃗⋅0⃗\vec u\cdot\vec 0, où 0⃗\vec 0 est le vecteur nul ?

  10. Soit trois points distincts A, B, C et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). On a AB=5AB=5, AH=2AH=2, et A est situé entre H et B. Calcule AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

  11. Avec les mêmes notations (C, H projeté orthogonal de C sur (AB)), que vaut AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} lorsque H est confondu avec A ?

  12. Parmi ces affirmations sur le produit scalaire, lesquelles sont vraies ?

    Plusieurs réponses possibles.

  13. On sait que u⃗⋅v⃗=3\vec u\cdot\vec v=3 et u⃗⋅w⃗=−5\vec u\cdot\vec w=-5. Calcule u⃗⋅(v⃗+w⃗)\vec u\cdot(\vec v+\vec w).

  14. On sait que u⃗⋅v⃗=6\vec u\cdot\vec v=6. Calcule (2u⃗)⋅v⃗(2\vec u)\cdot\vec v.

  15. Deux vecteurs non nuls vérifient u⃗⋅v⃗=6\vec u\cdot\vec v=6, ∥u⃗∥=3\|\vec u\|=3 et ∥v⃗∥=4\|\vec v\|=4. Quelle est la valeur de cos⁡(u⃗,v⃗)\cos(\vec u,\vec v) ?

Les questions qu'on se pose

Si $\vec u\cdot\vec v=0$, les vecteurs sont-ils forcément perpendiculaires ?

Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul. Cela inclut le cas où l'un des vecteurs est nul 4. Si les deux vecteurs sont non nuls, ils forment un angle droit. À l'examen, c'est la méthode standard pour démontrer une orthogonalité 1 : tu calcules le produit scalaire et tu vérifies qu'il vaut 0.

Comment choisir entre la formule avec le cosinus et celle avec les coordonnées ?

Si l'énoncé donne des longueurs et un angle, utilise le cosinus. S'il donne des coordonnées dans un repère orthonormé, utilise xx′+yy′xx'+yy'. Plusieurs méthodes existent pour calculer un produit scalaire, et le programme demande de savoir choisir la plus adaptée 2. Avec un projeté orthogonal connu, on peut aussi passer par les longueurs AH et AB, en soignant le signe 3.

À quoi sert le produit scalaire concrètement ?

Il sert à démontrer une orthogonalité, à calculer un angle ou une longueur dans le plan 1. Dans les chapitres qui suivent, tu l'utiliseras pour la formule d'Al-Kashi, les vecteurs normaux et les équations de droites et de cercles.

Sources

  1. Ressources pédagogiques Éduscol - Produit scalaire, Éduscol (Direction générale de l'enseignement scolaire). Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Chapitre 6 : Produit scalaire - Cours Première spécialité, CNRS (Centre national de la recherche scientifique). Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Produit scalaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  4. Calcul vectoriel en géométrie euclidienne, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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