Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Produit scalaire : exercices corrigés de Première spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur ².
Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0 ²⁴.
Deux vecteurs sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul ; il est positif si l'angle est aigu, négatif s'il est obtus ⁴.
On peut calculer un produit scalaire par projection orthogonale ¹³, avec le cosinus de l'angle ¹, ou avec les coordonnées ¹.
Le produit scalaire sert à démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur ¹.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font manipuler le produit scalaire sous ses différentes formes. Les sources du programme insistent sur l'objectif : l'utiliser pour démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur dans le plan ¹. Les premiers exercices sont des applications directes d'une formule ; les derniers demandent d'enchaîner plusieurs outils, comme on le fait dans un vrai problème.

Cherche d'abord seul(e), avec une feuille et un crayon. Ouvre un indice seulement si tu bloques plus de quelques minutes, puis compare ta rédaction à la correction pas à pas. Même si ton résultat est juste, relis la correction : elle montre la façon de rédiger attendue, avec la formule annoncée, les valeurs remplacées, le calcul, puis une phrase de conclusion.

MéthodeChoisir la bonne expression

Tu connais les normes et l'angle : utilise le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs ¹. Comme $\cos(\vec v,\vec u)=\cos(\vec u,\vec v)$ , l'ordre des vecteurs ne change pas le résultat ⁴.
Tu connais les coordonnées dans un repère : calcule avec les coordonnées, en choisissant un repère adapté si besoin ¹. Pour $\vec u(x\,;y)$ et $\vec v(x'\,;y')$ , on obtient $xx'+yy'$ .
Tu as une figure avec un angle droit : projette orthogonalement. Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ , la valeur absolue de $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ est $AH\times AB$ ³.
Tu connais déjà d'autres produits scalaires : utilise la distributivité et la bilinéarité ³, par exemple pour développer comme en algèbre.

Lire le signe et rédiger proprement

Avant de te lancer dans un calcul, prends l'habitude de te demander à quoi ressemble le résultat attendu. Le signe du produit scalaire donne une information immédiate sur la figure : positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus, nul pour des vecteurs orthogonaux ⁴. Ce réflexe te permet de repérer une erreur de calcul : si ta figure montre un angle obtus et que tu trouves un nombre positif, il y a un souci quelque part.

Les exercices

Exercice 1 Produit scalaire avec la norme et l'angle

★☆☆Environ 4 min

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs tels que $\|\vec u\|=4$ , $\|\vec v\|=5$ et l'angle entre eux mesure $60^\circ$ . Calcule $\vec u\cdot\vec v$ .

Indice 1

Le produit scalaire fait intervenir le cosinus de l'angle entre les vecteurs ¹.

Indice 2

Rappelle-toi la valeur de $\cos 60^\circ$ .

Voir la correction pas à pas

On utilise la formule $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v)$ , qui relie le produit scalaire au cosinus de l'angle ¹.
On remplace : $\vec u\cdot\vec v=4\times5\times\cos 60^\circ$ .
Comme $\cos 60^\circ=\tfrac12$ , on obtient $\vec u\cdot\vec v=20\times\tfrac12=10$ .

$\vec u\cdot\vec v=10$ . Le résultat est positif, ce qui est cohérent avec un angle aigu ⁴.

Exercice 2 Produit scalaire avec les coordonnées

★☆☆Environ 4 min

Dans un repère orthonormé, $\vec u(3\,;-2)$ et $\vec v(4\,;5)$ . Calcule $\vec u\cdot\vec v$ .

Indice 1

Multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis additionne.

Indice 2

Fais attention au signe de $-2$ .

Voir la correction pas à pas

Le calcul se fait à l'aide des coordonnées dans un repère orthonormé ¹ : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ .
On remplace : $3\times4+(-2)\times5$ .
On calcule : $12-10=2$ .

$\vec u\cdot\vec v=2$ . C'est un nombre réel ², positif : l'angle entre les vecteurs est donc aigu ⁴.

Exercice 3 Trouver un paramètre pour obtenir l'orthogonalité

★★☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé, $\vec u(2\,;k)$ et $\vec v(6\,;-3)$ . Pour quelle valeur du réel $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils orthogonaux ?

Indice 1

Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul ⁴.

Indice 2

Écris $\vec u\cdot\vec v$ en fonction de $k$ , puis résous une équation.

Voir la correction pas à pas

On traduit l'orthogonalité : $\vec u\perp\vec v$ équivaut à $\vec u\cdot\vec v=0$ ⁴.
On calcule avec les coordonnées : $\vec u\cdot\vec v=2\times6+k\times(-3)=12-3k$ .
On résout $12-3k=0$ , soit $3k=12$ .
On obtient $k=4$ .

Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $k=4$ . Vérification : $2\times6+4\times(-3)=0$ .

Exercice 4 Carré scalaire et longueur

★★☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé, $\vec u(-3\,;4)$ . Calcule le carré scalaire $\vec u^{\,2}$ , puis en déduis la norme $\|\vec u\|$ .

Indice 1

Le carré scalaire est le produit scalaire de $\vec u$ par lui-même ⁴.

Indice 2

La norme est la racine carrée du carré scalaire.

Voir la correction pas à pas

Par définition, $\vec u^{\,2}=\vec u\cdot\vec u$ ⁴.
Avec les coordonnées : $\vec u^{\,2}=(-3)\times(-3)+4\times4=9+16=25$ .
Comme $\vec u^{\,2}=\|\vec u\|^2$ (l'angle d'un vecteur avec lui-même est nul et son cosinus vaut 1), on a $\|\vec u\|=\sqrt{25}=5$ .

$\vec u^{\,2}=25$ et $\|\vec u\|=5$ . Le carré scalaire permet donc de calculer une longueur à partir des coordonnées.

Exercice 5 Produit scalaire par projection orthogonale

★★☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé, on donne $A(0\,;0)$ , $B(5\,;0)$ et $C(-2\,;3)$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ . Calcule $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ en utilisant $H$ .

Indice 1

Cherche les coordonnées de $H$ : la droite $(AB)$ est l'axe des abscisses.

Indice 2

Regarde si $A$ se trouve entre $H$ et $B$ pour déterminer le signe ³.

Voir la correction pas à pas

La droite $(AB)$ est l'axe des abscisses, donc le projeté orthogonal de $C$ est $H(-2\,;0)$ .
On calcule les distances : $AH=2$ et $AB=5$ .
En valeur absolue, le produit scalaire est le produit des distances $AH$ et $AB$ : $2\times5=10$ ³.
Le point $A$ (abscisse 0) est entre $H$ (abscisse $-2$ ) et $B$ (abscisse 5) : le produit scalaire est donc négatif ³.
On conclut : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-10$ .

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-10$ . Le signe négatif correspond bien à un angle $\widehat{BAC}$ obtus ⁴. Contrôle avec les coordonnées : $5\times(-2)+0\times3=-10$ .

Exercice 6 Développer un produit scalaire

★★★Environ 8 min

Soit $\vec u$ et $\vec v$ tels que $\|\vec u\|=2$ , $\|\vec v\|=3$ et $\vec u\cdot\vec v=-1$ . Calcule $(2\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-3\vec v)$ .

Indice 1

Le produit scalaire est distributif sur l'addition et bilinéaire ³ : développe comme $(2a+b)(a-3b)$ .

Indice 2

Souviens-toi que $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$ et que $\vec v\cdot\vec u=\vec u\cdot\vec v$ .

Voir la correction pas à pas

On développe grâce à la bilinéarité ³ : $(2\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-3\vec v)=2\,\vec u\cdot\vec u-6\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u-3\,\vec v\cdot\vec v$ .
On remplace $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2=4$ et $\vec v\cdot\vec v=\|\vec v\|^2=9$ .
On remplace aussi $\vec v\cdot\vec u=\vec u\cdot\vec v=-1$ (le produit est commutatif, comme on l'attend d'un produit ³).
On calcule : $2\times4-6\times(-1)+(-1)-3\times9=8+6-1-27=-14$ .

$(2\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-3\vec v)=-14$ .

Exercice 7 Calculer un angle avec le produit scalaire

★★★Environ 8 min

Dans un repère orthonormé, $\vec u(2\,;1)$ et $\vec v(1\,;3)$ . Détermine, en degrés, la mesure de l'angle géométrique entre $\vec u$ et $\vec v$ .

Indice 1

Calcule $\vec u\cdot\vec v$ avec les coordonnées, puis les normes avec le carré scalaire ⁴.

Indice 2

Isole $\cos(\vec u,\vec v)$ dans la formule reliant le produit scalaire au cosinus ¹.

Voir la correction pas à pas

Produit scalaire : $\vec u\cdot\vec v=2\times1+1\times3=5$ .
Normes : $\|\vec u\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$ et $\|\vec v\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ .
On isole le cosinus : $\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{5}{\sqrt5\times\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
On reconnaît le cosinus de $45^\circ$ : l'angle vaut $45^\circ$ .

L'angle entre $\vec u$ et $\vec v$ mesure $45^\circ$ . Le produit scalaire était positif, ce qui annonçait un angle aigu ⁴.

Exercice 8 Signe du produit scalaire dans un triangle

★★☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé, $A(1\,;1)$ , $B(4\,;2)$ et $C(2\,;5)$ . Calcule $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et dis si l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu, droit ou obtus.

Indice 1

Détermine d'abord les coordonnées de $\vec{AB}$ et de $\vec{AC}$ .

Indice 2

Le signe du produit scalaire renseigne sur la nature de l'angle ⁴.

Voir la correction pas à pas

Coordonnées : $\vec{AB}(4-1\,;2-1)=(3\,;1)$ et $\vec{AC}(2-1\,;5-1)=(1\,;4)$ .
Produit scalaire : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times1+1\times4=7$ .
Le produit scalaire est positif, donc l'angle est aigu ⁴. Il n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux ⁴.

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=7>0$ : l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu.

Exercice 9 Norme d'une somme de vecteurs

★★★Environ 8 min

Indice 1

Commence par calculer $\|\vec u+\vec v\|^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)$ , le carré scalaire de la somme ⁴.

Indice 2

Développe avec la distributivité ³.

Voir la correction pas à pas

Par définition du carré scalaire ⁴ : $\|\vec u+\vec v\|^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)$ .
On développe avec la distributivité ³ : $\vec u\cdot\vec u+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v$ , car $\vec v\cdot\vec u=\vec u\cdot\vec v$ .
On remplace : $3^2+2\times6+4^2=9+12+16=37$ .
On prend la racine carrée : $\|\vec u+\vec v\|=\sqrt{37}\approx6{,}08$ .

$\|\vec u+\vec v\|=\sqrt{37}\approx6{,}08$ . Attention : ce n'est pas $3+4=7$ ; la norme d'une somme ne vaut la somme des normes que si les deux vecteurs ont même direction et même sens.

Exercice 10 Démontrer qu'un triangle est rectangle

★★☆Environ 7 min

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;3)$ et $C(0\,;5)$ . Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ en calculant $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ .

Indice 1

Un angle droit en $A$ se traduit par l'orthogonalité de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ⁴.

Indice 2

Calcule d'abord les coordonnées des deux vecteurs, puis leur produit scalaire.

Voir la correction pas à pas

Coordonnées : $\vec{AB}(4-1\,;3-2)=(3\,;1)$ et $\vec{AC}(0-1\,;5-2)=(-1\,;3)$ .
Produit scalaire avec les coordonnées ¹ : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times(-1)+1\times3=-3+3=0$ .
Les deux vecteurs sont non nuls et leur produit scalaire est nul : ils sont orthogonaux ⁴.
On conclut que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0$ : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Pour t'en assurer, tu peux aussi vérifier que $AB=AC=\sqrt{10}$ , le triangle est donc de surcroît isocèle.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle expression du produit scalaire utiliser ?

Regarde les données. Avec des normes et un angle, utilise le cosinus ¹. Avec des coordonnées dans un repère, calcule avec les coordonnées ¹. Avec une figure comportant un angle droit, pense à la projection orthogonale ³. Quand le calcul se fait à partir d'autres produits scalaires connus, développe avec la bilinéarité ³.

Pourquoi le produit scalaire peut-il être négatif ou nul ?

C'est un nombre réel ², donc il peut être de n'importe quel signe. Il est positif si l'angle est aigu, négatif s'il est obtus ⁴. Il est nul quand les vecteurs sont orthogonaux, ou quand l'un des deux est nul ⁴. Un produit scalaire nul ne veut donc pas dire que les deux vecteurs sont nuls.

Qu'est-ce qui tombe à l'épreuve à ce sujet ?

Les demandes les plus courantes sont de démontrer une orthogonalité, de calculer un angle ou une longueur ¹. Les exercices sur le paramètre d'orthogonalité, sur l'angle et sur la norme d'une somme reprennent ces trois situations. Entraîne-toi aussi à rédiger : annonce la formule utilisée, remplace les valeurs, puis conclus par une phrase.

Le produit scalaire dépend-il de l'ordre des deux vecteurs ?

Non. Le cosinus de l'angle entre $\vec v$ et $\vec u$ est égal à celui de l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$ , donc $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ ⁴. C'est d'ailleurs une propriété qu'on attend d'un produit ³. Cela te permet de regrouper les termes lors d'un développement.

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol - Produit scalaire, Éduscol (Direction générale de l'enseignement scolaire). Consulté le 6 novembre 2026.
Chapitre 6 : Produit scalaire - Cours Première spécialité, CNRS (Centre national de la recherche scientifique). Consulté le 6 novembre 2026.
Produit scalaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Calcul vectoriel en géométrie euclidienne, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Lire le signe et rédiger proprement

Les exercices

Exercice 1 Produit scalaire avec la norme et l'angle

Exercice 2 Produit scalaire avec les coordonnées

Exercice 3 Trouver un paramètre pour obtenir l'orthogonalité

Exercice 4 Carré scalaire et longueur

Exercice 5 Produit scalaire par projection orthogonale

Exercice 6 Développer un produit scalaire

Exercice 7 Calculer un angle avec le produit scalaire

Exercice 8 Signe du produit scalaire dans un triangle

Exercice 9 Norme d'une somme de vecteurs

Exercice 10 Démontrer qu'un triangle est rectangle

Les questions qu'on se pose

Sources

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