Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Formule des probabilités totales : cours de 1re spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une partition de l'univers est une famille d'événements de probabilité non nulle, deux à deux incompatibles, dont la réunion est l'univers entier.
Pour une partition $A_1,\dots,A_n$ : $P(B)=P(A_1)\,P_{A_1}(B)+\dots+P(A_n)\,P_{A_n}(B)$ .
Sur un arbre pondéré, $P(B)$ est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à $B$ ; chaque chemin se calcule par un produit.
Cas le plus fréquent : la partition $\{A,\overline{A}\}$ , d'où $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$ .
Piège classique : additionner les probabilités conditionnelles sans les multiplier par les poids $P(A_i)$ .

Pourquoi cette formule ?

Tu connais déjà les probabilités conditionnelles : $P_A(B)$ mesure la chance que $B$ se réalise quand on sait que $A$ est réalisé. Mais dans beaucoup de situations, on te pose la question inverse de celle qui est facile : on connaît la probabilité de $B$ dans chacun des cas possibles, et on te demande la probabilité de $B$ tout court, sans savoir dans quel cas on se trouve.

Exemple concret : une usine possède trois machines. Tu connais la part de production de chaque machine et la proportion de pièces défectueuses de chacune. Quelle est la proportion de pièces défectueuses de l'usine entière ? Tu ne peux pas répondre en regardant une seule machine : il faut les combiner, en tenant compte du poids de chacune. C'est exactement ce que fait la formule des probabilités totales.

Cette notion figure au programme de mathématiques de première générale : le programme cite la partition de l'univers (les systèmes complets d'événements), la formule des probabilités, la succession de deux épreuves indépendantes et la représentation par un arbre ¹. Les ressources d'accompagnement du programme de spécialité reprennent les mêmes notions ². Le programme demande aussi de savoir, dans des cas simples, calculer une probabilité à l'aide de cette formule ¹². Dans ce cours, nous allons donc construire les outils dans cet ordre : la partition, la formule, l'arbre pondéré, puis la méthode de calcul.

Partition de l'univers

Autrement dit, chaque issue de l'expérience appartient à un et un seul des événements $A_i$ . On n'oublie aucune issue (la réunion est complète) et on n'en compte aucune deux fois (les événements sont incompatibles).

Conséquence immédiate : comme les événements sont incompatibles et recouvrent tout l'univers, la somme de leurs probabilités vaut 1 :

$P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)=1.$

La formule des probabilités totales

Démonstration · Démonstration

Les $A_i$ recouvrent tout l'univers, donc l'événement $B$ se décompose en morceaux :

$B=B\cap\Omega=(B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup\dots\cup(B\cap A_n).$

Les $A_i$ étant deux à deux incompatibles, les morceaux $B\cap A_i$ le sont aussi : aucune issue ne peut appartenir à deux d'entre eux. Pour des événements incompatibles, la probabilité de la réunion est la somme des probabilités, donc

$P(B)=P(B\cap A_1)+\dots+P(B\cap A_n).$

Or, par définition de la probabilité conditionnelle, comme $P(A_i)>0$ :

$P_{A_i}(B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(A_i)}\quad\text{donc}\quad P(A_i\cap B)=P(A_i)\,P_{A_i}(B).$

En remplaçant chaque terme, on obtient la seconde écriture de la formule. $\square$

Lis la formule comme une moyenne pondérée. Les nombres $P_{A_i}(B)$ sont les probabilités de $B$ dans chaque cas ; les poids $P(A_i)$ disent à quel point chaque cas est fréquent ; et comme la somme des poids vaut 1, le résultat est toujours compris entre la plus petite et la plus grande des probabilités conditionnelles. C'est un excellent moyen de vérifier un résultat : si tes trois taux de défaut sont 2 %, 3 % et 5 %, la proportion globale de défauts ne peut pas valoir 7 %.

L'arbre pondéré

Le programme mentionne la représentation d'une situation par un arbre ¹². Un arbre pondéré est le meilleur support pour appliquer la formule sans se tromper.

On construit l'arbre en deux niveaux :

au premier niveau, une branche par événement $A_i$ de la partition, portant la probabilité $P(A_i)$ ;
au second niveau, à partir de chaque $A_i$ , des branches vers $B$ et vers $\overline{B}$ , portant $P_{A_i}(B)$ et $P_{A_i}(\overline{B})$ .

Méthode : calculer une probabilité totale

MéthodeLes étapes à suivre

Nommer les événements avec des lettres claires (par exemple $M_1$ : « la pièce vient de la machine 1 », $D$ : « la pièce est défectueuse »).
Repérer la partition : quels sont les cas qui s'excluent et recouvrent tout ? Vérifier que la somme des $P(A_i)$ vaut 1.
Traduire l'énoncé en probabilités : les pourcentages « parmi », « dans », « chez » sont des probabilités conditionnelles ; les parts globales sont des $P(A_i)$ .
Dessiner l'arbre et compléter les branches manquantes par complément à 1.
Appliquer la formule : multiplier le long de chaque chemin menant à l'événement cherché, puis additionner.
Contrôler : le résultat est entre le minimum et le maximum des $P_{A_i}(B)$ et entre 0 et 1.

ExempleExemple rédigé : deux urnes

On choisit au hasard l'une des deux urnes avec ces probabilités : urne $U_1$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$ , urne $U_2$ avec la probabilité $\frac{3}{4}$ . L'urne $U_1$ contient 2 boules noires sur 8 ; l'urne $U_2$ contient 5 boules noires sur 10. On tire une boule dans l'urne choisie. Quelle est la probabilité $P(N)$ d'obtenir une boule noire ?

Étape 1 et 2. $U_1$ et $U_2$ forment une partition ; $\frac14+\frac34=1$ .

Étape 3. $P_{U_1}(N)=\frac{2}{8}=\frac14$ et $P_{U_2}(N)=\frac{5}{10}=\frac12$ .

Étape 5. $P(N)=\frac14\times\frac14+\frac34\times\frac12=\frac1{16}+\frac38=\frac1{16}+\frac6{16}=\frac7{16}.$

Étape 6. $\frac{7}{16}=0{,}4375$ est bien compris entre $0{,}25$ et $0{,}5$ .

Trois cas ou plus, et inconnues à déterminer

La formule marche de la même façon avec trois, quatre événements ou davantage : l'arbre a simplement plus de branches au premier niveau. Le travail est identique, seul le nombre de produits augmente.

Erreurs fréquentes et vérifications

Tu rencontreras ensuite l'indépendance, puis les variables aléatoires réelles, l'espérance, la variance et l'écart type. La formule des probabilités totales y servira de base : calculer la loi d'une variable aléatoire revient souvent à découper en cas et à pondérer, exactement comme ici.

Exercices corrigés

Exercice 1 Les trois machines de l'atelier

★☆☆Environ 8 min

Dans un atelier, trois machines $A$ , $B$ et $C$ fabriquent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des pièces. Les proportions de pièces défectueuses sont 2 % pour $A$ , 3 % pour $B$ et 5 % pour $C$ . On prend une pièce au hasard dans la production. Calcule la probabilité que la pièce soit défectueuse.

Indice 1

Vérifie d'abord que $A$ , $B$ , $C$ forment une partition.

Indice 2

Chaque chemin de l'arbre qui finit en « défectueuse » est un produit.

Voir la correction pas à pas

On note $D$ : « la pièce est défectueuse ». Les événements $A$ , $B$ , $C$ sont incompatibles et $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$ : ils forment une partition.
On lit les données : $P_A(D)=0{,}02$ , $P_B(D)=0{,}03$ , $P_C(D)=0{,}05$ .
On applique la formule : $P(D)=0{,}5\times0{,}02+0{,}3\times0{,}03+0{,}2\times0{,}05$ .
On calcule : $0{,}010+0{,}009+0{,}010=0{,}029$ .
Contrôle : $0{,}029$ est compris entre $0{,}02$ et $0{,}05$ .

La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est $P(D)=0{,}029$ , soit 2,9 %.

Exercice 2 Choix d'une urne puis tirage

★★☆Environ 10 min

On choisit l'urne $U_1$ avec la probabilité $\frac13$ et l'urne $U_2$ avec la probabilité $\frac23$ . L'urne $U_1$ contient 3 boules rouges sur 5 boules ; l'urne $U_2$ contient 1 boule rouge sur 4 boules. On tire une boule dans l'urne choisie. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ? Donne la valeur décimale arrondie à $10^{-5}$ près.

Indice 1

Traduis « 3 rouges sur 5 » en probabilité conditionnelle.

Indice 2

Réduis les fractions au même dénominateur pour additionner.

Voir la correction pas à pas

On note $R$ : « la boule est rouge ». $U_1$ et $U_2$ forment une partition car $\frac13+\frac23=1$ .
On a $P_{U_1}(R)=\frac35$ et $P_{U_2}(R)=\frac14$ .
Formule : $P(R)=\frac13\times\frac35+\frac23\times\frac14$ .
On simplifie : $\frac15+\frac16=\frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{11}{30}$ .
Valeur décimale : $\frac{11}{30}\approx0{,}36667$ .

La probabilité d'obtenir une boule rouge est $\frac{11}{30}\approx0{,}36667$ .

Exercice 3 Retrouver une probabilité conditionnelle

★★★Environ 10 min

Pour deux événements $A$ et $B$ , on sait que $P(A)=0{,}6$ , $P_{\overline{A}}(B)=0{,}1$ et $P(B)=0{,}4$ . Détermine $P_A(B)$ .

Indice 1

Pose $x=P_A(B)$ et écris la formule des probabilités totales avec la partition $\{A,\overline{A}\}$ .

Indice 2

N'oublie pas que $P(\overline{A})=1-P(A)$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $x=P_A(B)$ . On a $P(\overline{A})=1-0{,}6=0{,}4$ .
Formule : $P(B)=P(A)\,x+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$ , soit $0{,}4=0{,}6x+0{,}4\times0{,}1$ .
On isole : $0{,}6x=0{,}4-0{,}04=0{,}36$ .
On divise : $x=\frac{0{,}36}{0{,}6}=0{,}6$ .
Contrôle : $0{,}6\times0{,}6+0{,}4\times0{,}1=0{,}36+0{,}04=0{,}40$ .

On obtient $P_A(B)=0{,}6$ .

Les questions qu'on se pose

Quand faut-il penser à la formule des probabilités totales ?

Dès que l'énoncé donne la probabilité de l'événement cherché dans chacun des cas d'une situation, ainsi que la fréquence de chaque cas, et que l'on te demande la probabilité globale. Les mots « parmi », « dans l'urne choisie », « pour chaque machine » sont des indices.

Quelle différence entre $P(A\cap B)$ et $P_A(B)$ ?

$P(A\cap B)$ est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent sur l'ensemble de l'univers. $P_A(B)$ est la probabilité de $B$ en se limitant aux cas où $A$ est réalisé. Elles sont liées par $P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)$ : c'est ce produit que tu calcules sur chaque chemin de l'arbre.

Faut-il toujours dessiner un arbre ?

Non, mais c'est vivement conseillé : il évite d'oublier un chemin et rend visible l'erreur « branches qui ne somment pas à 1 ». Sur une copie, un arbre bien rempli est aussi une justification claire de la démarche.

Que faire si la partition n'est pas donnée par l'énoncé ?

Choisis un événement $A$ naturel et prends $\{A,\overline{A}\}$ , à condition que $0<P(A)<1$ . Si l'énoncé décrit trois ou quatre cas exclusifs (machines, urnes, catégories), ce sont eux qui forment la partition.

Que faire quand on connaît $P(B)$ et qu'on cherche une autre donnée ?

Écris la formule en laissant la donnée inconnue sous la forme d'une lettre $x$ , puis résous l'équation. Contrôle ensuite en remplaçant $x$ par sa valeur : tu dois retrouver $P(B)$ .

Sources

Programme de mathématiques de première générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement du programme de spécialité mathématiques, Éduscol - Ministère de l'Éducation. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi cette formule ?

Partition de l'univers

La formule des probabilités totales

L'arbre pondéré

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Trois cas ou plus, et inconnues à déterminer

Erreurs fréquentes et vérifications

Exercices corrigés

Exercice 1 Les trois machines de l'atelier

Exercice 2 Choix d'une urne puis tirage

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