Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Formule des probabilités totales : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une partition de l'univers est une famille d'événements incompatibles dont la réunion est tout l'univers ; la formule des probabilités totales s'appuie dessus ¹.
Avec une partition $A_1, \dots, A_n$ : $P(B)=\sum P(A_i)\times P_{A_i}(B)$ , c'est la somme des produits le long des branches de l'arbre qui mènent à $B$ .
Vérifie toujours que les probabilités sortant d'un même nœud ont pour somme 1.
Pour retrouver une probabilité inconnue, écris la formule avec l'inconnue et résous l'équation.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font travailler la formule des probabilités totales. Le programme de première demande de savoir partitionner l'univers, représenter une situation par un arbre et, dans des cas simples, calculer une probabilité à l'aide de cette formule ¹. Cherche chaque énoncé seul, au brouillon, avant d'ouvrir les indices puis la correction.

Pense à l'arbre pondéré

La représentation par un arbre fait partie des savoir-faire visés avec la formule des probabilités totales ¹. Chaque chemin de l'arbre correspond à une intersection d'événements, dont la probabilité est le produit des nombres portés par ses branches. Pour obtenir $P(B)$ , tu additionnes les produits des chemins qui finissent sur $B$ .

Les exercices

Exercice 1 Deux machines dans une usine

★☆☆Environ 6 min

Dans une usine, la machine A fabrique $70\,\%$ des pièces et la machine B les $30\,\%$ restantes. Parmi les pièces de A, $2\,\%$ sont défectueuses ; parmi celles de B, $5\,\%$ le sont. On choisit une pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Indice 1

Les événements « venir de A » et « venir de B » forment une partition.

Indice 2

Dessine un arbre à deux niveaux : machine, puis état de la pièce.

Voir la correction pas à pas

On note $A$ : « la pièce vient de A », $B$ : « la pièce vient de B », $D$ : « la pièce est défectueuse ». Les données donnent $P(A)=0{,}7$ , $P(B)=0{,}3$ , $P_A(D)=0{,}02$ et $P_B(D)=0{,}05$ .
$A$ et $B$ sont incompatibles et leur réunion est tout l'univers : ils forment une partition.
Formule des probabilités totales : $P(D)=P(A)\times P_A(D)+P(B)\times P_B(D)$ .
Calcul : $P(D)=0{,}7\times0{,}02+0{,}3\times0{,}05=0{,}014+0{,}015=0{,}029$ .

La probabilité de tirer une pièce défectueuse est $0{,}029$ , soit $2{,}9\,\%$ . Elle est comprise entre $2\,\%$ et $5\,\%$ , ce qui est cohérent : c'est une moyenne pondérée des deux taux de défaut.

Exercice 2 Retard de bus selon la météo

★☆☆Environ 6 min

Un jour donné, il pleut avec la probabilité $0{,}3$ . S'il pleut, le bus de Léa a du retard avec la probabilité $0{,}4$ ; s'il ne pleut pas, avec la probabilité $0{,}1$ . Quelle est la probabilité que le bus ait du retard ce jour-là ?

Indice 1

L'événement « il pleut » et son contraire forment une partition.

Indice 2

Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?

Voir la correction pas à pas

On note $P$ : « il pleut » et $R$ : « le bus a du retard ». Alors $P(P)=0{,}3$ donc $P(\overline{P})=0{,}7$ .
Les probabilités conditionnelles sont $P_P(R)=0{,}4$ et $P_{\overline{P}}(R)=0{,}1$ .
Formule : $P(R)=P(P)\times P_P(R)+P(\overline{P})\times P_{\overline{P}}(R)$ .
Calcul : $P(R)=0{,}3\times0{,}4+0{,}7\times0{,}1=0{,}12+0{,}07=0{,}19$ .

Le bus a du retard avec la probabilité $0{,}19$ . Même si la pluie est moins probable que le beau temps, elle pèse beaucoup car le retard y est quatre fois plus probable.

Exercice 3 Trois ateliers

★★☆Environ 8 min

Une entreprise a trois ateliers. L'atelier $A_1$ produit la moitié des objets, $A_2$ en produit $30\,\%$ et $A_3$ le reste. Les taux d'objets défectueux sont respectivement $1\,\%$ , $2\,\%$ et $5\,\%$ . On prend un objet au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?

Indice 1

Commence par calculer la part de l'atelier $A_3$ .

Indice 2

Trois branches mènent à « défectueux » : additionne trois produits.

Voir la correction pas à pas

Part de $A_3$ : $1-0{,}5-0{,}3=0{,}2$ . Donc $P(A_1)=0{,}5$ , $P(A_2)=0{,}3$ , $P(A_3)=0{,}2$ : somme égale à 1, c'est bien une partition.
On note $D$ : « l'objet est défectueux ». On a $P_{A_1}(D)=0{,}01$ , $P_{A_2}(D)=0{,}02$ , $P_{A_3}(D)=0{,}05$ .
Formule : $P(D)=\sum_{i=1}^{3}P(A_i)\times P_{A_i}(D)$ .
Calcul : $0{,}5\times0{,}01+0{,}3\times0{,}02+0{,}2\times0{,}05=0{,}005+0{,}006+0{,}010=0{,}021$ .

La probabilité cherchée est $0{,}021$ . L'atelier $A_3$ , pourtant le plus petit, fournit à lui seul près de la moitié des objets défectueux : $0{,}010$ sur $0{,}021$ .

Exercice 4 Retrouver une probabilité conditionnelle

★★☆Environ 9 min

Dans une population, on étudie deux événements : $A$ avec $P(A)=0{,}4$ , et $B$ avec $P(B)=0{,}46$ . On sait que $P_A(B)=0{,}7$ . Détermine $P_{\overline{A}}(B)$ .

Indice 1

Écris la formule des probabilités totales avec la partition $A$ , $\overline{A}$ .

Indice 2

Pose $x=P_{\overline{A}}(B)$ et résous une équation du premier degré.

Voir la correction pas à pas

$A$ et $\overline{A}$ forment une partition, avec $P(\overline{A})=1-0{,}4=0{,}6$ .
Formule : $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$ .
On pose $x=P_{\overline{A}}(B)$ : $0{,}46=0{,}4\times0{,}7+0{,}6\,x=0{,}28+0{,}6\,x$ .
On isole $x$ : $0{,}6\,x=0{,}18$ , donc $x=0{,}18\div0{,}6=0{,}3$ .

$P_{\overline{A}}(B)=0{,}3$ . Contrôle : $0{,}4\times0{,}7+0{,}6\times0{,}3=0{,}28+0{,}18=0{,}46$ . La valeur trouvée redonne bien $P(B)$ .

Exercice 5 Deux urnes et un transfert de boule

★★★Environ 12 min

L'urne $U$ contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. L'urne $V$ contient 4 boules rouges et 1 boule bleue. On tire au hasard une boule de $U$ et on la place dans $V$ . On tire ensuite au hasard une boule dans $V$ (qui contient alors 6 boules). Quelle est la probabilité que cette seconde boule soit rouge ?

Indice 1

Le premier tirage fournit la partition : boule rouge ou boule bleue.

Indice 2

Selon la couleur transférée, la composition de $V$ change : écris-la dans chaque cas.

Voir la correction pas à pas

On note $R_1$ : « la boule tirée dans $U$ est rouge », $B_1$ son contraire, et $R_2$ : « la boule tirée dans $V$ est rouge ». On a $P(R_1)=\frac{3}{5}$ et $P(B_1)=\frac{2}{5}$ .
Si $R_1$ est réalisé, $V$ contient 5 rouges sur 6 boules : $P_{R_1}(R_2)=\frac{5}{6}$ .
Si $B_1$ est réalisé, $V$ contient 4 rouges sur 6 boules : $P_{B_1}(R_2)=\frac{4}{6}$ .
Formule : $P(R_2)=\frac{3}{5}\times\frac{5}{6}+\frac{2}{5}\times\frac{4}{6}=\frac{15}{30}+\frac{8}{30}=\frac{23}{30}$ .
Valeur décimale : $\frac{23}{30}\approx0{,}7667$ .

La probabilité que la seconde boule soit rouge est $\frac{23}{30}$ , soit environ $0{,}767$ . Compare-la à la proportion initiale de rouges dans $V$ , qui vaut $0{,}8$ : elle est un peu plus basse, car la boule ajoutée est rouge avec la probabilité $0{,}6$ seulement, moins que la proportion de rouges déjà présente dans $V$ .

Exercice 6 Un test de dépistage

★★★Environ 12 min

Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test est positif pour $90\,\%$ des personnes malades et, à tort, pour $5\,\%$ des personnes non malades. On choisit une personne au hasard dans la population et on lui fait passer le test. Quelle est la probabilité que le test soit positif ?

Indice 1

Les événements « malade » et « non malade » forment une partition.

Indice 2

Ne confonds pas $P_M(T)$ (test positif si malade) avec $P_T(M)$ (malade si test positif).

Voir la correction pas à pas

On note $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « le test est positif ». Alors $P(M)=0{,}02$ et $P(\overline{M})=0{,}98$ .
Les données de l'énoncé se traduisent par $P_M(T)=0{,}9$ et $P_{\overline{M}}(T)=0{,}05$ .
Formule : $P(T)=P(M)\times P_M(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)$ .
Calcul : $P(T)=0{,}02\times0{,}9+0{,}98\times0{,}05=0{,}018+0{,}049=0{,}067$ .

Le test est positif avec la probabilité $0{,}067$ . Remarque : sur ces $0{,}067$ , seuls $0{,}018$ viennent de personnes malades. Les faux positifs pèsent plus lourd que les vrais positifs, car la maladie est rare. Ce constat prépare le calcul de $P_T(M)$ , qui se fait avec les probabilités conditionnelles.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser la formule des probabilités totales ?

Utilise-la quand tu connais la probabilité d'un événement en fonction de plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités (une partition), et que tu cherches la probabilité globale. Les mots-clés fréquents : « un élément choisi au hasard », « parmi les pièces de chaque machine », « selon la météo ». La partition fait partie des notions du programme de première avec cette formule ¹.

Quelle différence entre l'arbre et la formule ?

L'arbre est la représentation de la situation ; la formule est le calcul qui en découle. Chaque chemin menant à l'événement donne un produit, et la formule des probabilités totales additionne ces produits. Les deux outils sont associés dans le programme ¹. Si tu sais lire l'arbre, tu sais écrire la formule.

Sources

Programme de mathématiques de première générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement du programme de spécialité mathématiques, Éduscol - Ministère de l'Éducation. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Exercice 2 Retard de bus selon la météo

Exercice 3 Trois ateliers

Exercice 4 Retrouver une probabilité conditionnelle

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Exercice 6 Un test de dépistage

Les questions qu'on se pose

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