Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques
Formule des probabilités totales : fiche de révision de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Le programme de première prévoit la partition de l'univers (système complet d'événements) et la formule des probabilités totales 1.
- Une partition : des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est tout l'univers.
- Pour une partition : .
- Sur un arbre, on multiplie le long de chaque chemin menant à , puis on additionne ces chemins.
- Piège : les probabilités des branches issues d'un même nœud doivent avoir pour somme 1.
Ce qu'il faut savoir
La formule des probabilités totales fait partie des notions de probabilités du programme de première générale. Elle s'appuie sur la partition de l'univers, aussi appelée système complet d'événements 1. Le programme demande de savoir l'utiliser dans des cas simples pour calculer une probabilité 1. Elle prolonge directement les probabilités conditionnelles que tu connais déjà.
La formule
Démonstration · Pourquoi ça marche
Comme les recouvrent tout l'univers sans se chevaucher, l'événement se découpe en morceaux , deux à deux incompatibles. La probabilité d'une réunion d'événements incompatibles est la somme de leurs probabilités, d'où . Il reste à écrire chaque terme avec , qui est la définition de la probabilité conditionnelle sous forme de produit.
Méthode et lecture de l'arbre
- PartitionRepérer les cas incompatibles qui couvrent tout
- ArbrePlacer les P(Ai) puis les probabilités conditionnelles
- MultiplierProduit le long de chaque chemin vers B
- AdditionnerSomme des chemins qui mènent à B
Pièges et rappels
Questions flash
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Chaque cas de la partition apporte , et ces morceaux incompatibles s'additionnent. La somme des oublie la pondération par et peut dépasser 1. Le produit des termes est faux : on additionne des chemins distincts, on ne les enchaîne pas.
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et sont incompatibles et leur réunion est tout l'univers : c'est la partition la plus simple. Penser que la partition demande au moins trois événements est l'erreur tentante.
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. Faire la moyenne simple de 2 % et 5 % donnerait 3,5 %, faux car les deux machines ne produisent pas autant.
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Une branche de deuxième niveau porte une probabilité conditionnelle, donc le chemin vaut . L'addition sert ensuite à regrouper des chemins différents, pas à parcourir un même chemin.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser la formule des probabilités totales ?
Cherche une situation en deux temps : d'abord un cas parmi plusieurs possibles (machine, urne, groupe), puis un événement dont tu connais la probabilité dans chaque cas. Si on te demande la probabilité globale de cet événement sans te dire dans quel cas on se trouve, c'est cette formule.
Quelle différence avec la formule des probabilités conditionnelles ?
La probabilité conditionnelle donne : elle part de la probabilité globale pour regarder dans un cas. La formule des probabilités totales fait le chemin inverse : elle reconstruit la probabilité globale à partir des probabilités dans chaque cas.
Sources
- Programme de mathématiques de première générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
- Ressources d'accompagnement du programme de spécialité mathématiques, Éduscol - Ministère de l'Éducation. Consulté le 6 novembre 2026.
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