Discriminant et racines : cours de Première spécialité
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le discriminant du trinôme ax2+bx+c est Δ=b2−4ac ; son signe donne le nombre de racines réelles.3
Si Δ>0 : deux racines 2a−b−Δ et 2a−b+Δ ; si Δ=0 : une racine double −2ab ; si Δ<0 : aucune racine réelle.
Un trinôme possède 0, 1 ou 2 racines, jamais davantage.3
Si les racines existent, leur somme vaut −ab et leur produit ac : c'est un excellent contrôle.
Quand Δ≥0, on factorise : ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Introduction : pourquoi un discriminant ?
Tu sais déjà écrire un trinôme sous forme canonique. C'est une très bonne méthode, mais elle demande de refaire le même travail à chaque équation : factoriser par a, compléter le carré, réduire au même dénominateur. Le discriminant est le résultat de ce travail fait une fois pour toutes : un seul nombre, calculé à partir des coefficients, qui te dit tout de suite si l'équation ax2+bx+c=0 a des solutions réelles et combien.5
Dans ce cours, tu vas apprendre à calculer ce nombre, à lire son signe, à obtenir les racines par une formule, puis à les contrôler. Tu vas aussi voir d'où vient la formule, parce que la comprendre évite de la mélanger avec une autre et te permet de la retrouver si tu l'oublies.
Rappels : trinôme, racine, équation
Graphiquement, une racine est l'abscisse d'un point où la courbe de f rencontre l'axe des abscisses. Un trinôme peut avoir 0, 1 ou 2 racines.3 La question du cours est donc : comment savoir, sans tracer la courbe, dans lequel de ces trois cas on se trouve ?
Le discriminant : définition et signification
Les trois cas selon le signe de $\Delta$
Les trois cas du discriminant
Signe de Δ
Nombre de racines
Racines
Δ > 0
2
(−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a)
Δ = 0
1 (double)
−b/(2a)
Δ < 0
0
Aucune racine réelle
Les trois cas du discriminant · Résumé du théorème.
Démonstration : d'où viennent les formules
Cette partie utilise la forme canonique. Elle montre que le discriminant n'est pas sorti de nulle part : il apparaît naturellement quand on transforme le trinôme.
Démonstration · Établir les formules des racines
Soit a=0. On factorise a puis on fait apparaître un carré :
ax2+bx+c=a(x2+abx+ac)=a[(x+2ab)2−4a2b2+ac].
En réduisant au même dénominateur 4a2 :
−4a2b2+ac=4a2−b2+4ac=−4a2Δ.
On obtient donc
ax2+bx+c=a[(x+2ab)2−4a2Δ].
Comme a=0, résoudre ax2+bx+c=0 revient à résoudre
(x+2ab)2=4a2Δ.
Si Δ<0 : le membre de gauche est un carré, donc positif ou nul, alors que celui de droite est strictement négatif. Il n'y a aucune solution.
Si Δ=0 : on a (x+2ab)2=0, donc x=−2ab.
Si Δ>0 : x+2ab=±2∣a∣Δ. Que a soit positif ou négatif, on obtient les deux valeurs x=2a−b±Δ.
Méthode : résoudre une équation du second degré
Mettre en formeTout passer d'un côté, repérer a, b, c avec leur signe
Calculer ΔΔ = b² − 4ac, avec des parenthèses
Étudier le signeΔ > 0, Δ = 0 ou Δ < 0 : choisir le cas
Conclure et contrôlerCalculer les racines, vérifier somme et produit
Résoudre ax² + bx + c = 0
Davantage d'exemples : coefficient $a$ négatif, fractions, ordre des racines
Les exemples précédents avaient presque tous a>0. La méthode est la même quand a est négatif ou quand les racines sont des fractions, mais les erreurs de signe se multiplient. Voici trois cas à travailler lentement.
Le cas Δ=0 se traite de la même façon avec x1=x2=−2ab.
Factoriser un trinôme
Cette factorisation prépare le chapitre suivant : elle permet d'étudier le signe d'un trinôme et de résoudre des inéquations du second degré.
Paramètres et problèmes : le discriminant au service d'un raisonnement
À l'examen, on ne te demande pas seulement de résoudre une équation donnée. On te demande aussi de choisir un paramètre pour obtenir un certain nombre de solutions, ou de mettre un problème en équation. Dans les deux cas, le discriminant est l'outil : on écrit une condition sur son signe, ou on résout l'équation obtenue.
Erreurs fréquentes et lien avec la parabole
Le lien avec le graphique est direct. La courbe de f est une parabole. Si Δ>0, elle coupe l'axe des abscisses en deux points ; si Δ=0, elle le touche en un seul point ; si Δ<0, elle ne le rencontre pas. Les racines sont donc les abscisses de ces points d'intersection ; le sommet de la parabole se précisera dans le chapitre suivant.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer un discriminant et résoudre
★☆☆Environ 8 min
On considère l'équation 3x2−x−2=0.
Calcule le discriminant Δ.
Détermine le nombre de racines, puis calcule-les.
Donne la plus grande racine.
Indice 1
Repère bien a=3, b=−1, c=−2 avec leur signe.
Indice 2
25=5.
Voir la correction pas à pas
On lit a=3, b=−1, c=−2.
Δ=(−1)2−4×3×(−2)=1+24=25.
Δ>0 : l'équation a deux racines réelles distinctes.
x1=61−5=−32 et x2=61+5=1.
La plus grande racine est 1. Contrôle : somme =31=−ab ✓ ; produit =−32=ac ✓.
Le discriminant vaut 25, il y a deux racines : −32 et 1.
Exercice 2 Trouver un paramètre pour une racine double
★★☆Environ 10 min
Pour quelle valeur du réel m l'équation x2+6x+m=0 admet-elle une unique solution ? Donne cette valeur de m.
Indice 1
Une unique solution signifie Δ=0.
Indice 2
Exprime Δ en fonction de m.
Voir la correction pas à pas
Ici a=1, b=6, c=m, donc Δ=36−4m.
L'équation a une seule solution si et seulement si Δ=0.
36−4m=0 donne m=9.
Vérification : x2+6x+9=(x+3)2, de racine double −3.
Pour m=9, l'équation a une racine double, −3.
Exercice 3 Utiliser la somme et le produit
★★☆Environ 8 min
Le nombre 3 est racine de x2−8x+c=0.
Calcule la seconde racine sans utiliser Δ.
En déduire la valeur de c.
Indice 1
La somme des racines vaut −ab.
Indice 2
Le produit des racines vaut ac.
Voir la correction pas à pas
Ici a=1, b=−8 : la somme des racines vaut 8.
La seconde racine est donc 8−3=5.
Le produit vaut c=3×5=15.
Contrôle : Δ=64−60=4>0, racines 28±2=3 et 5 ✓.
La seconde racine est 5 et c=15.
Exercice 4 Un champ rectangulaire
★★★Environ 12 min
Un jardin rectangulaire a pour périmètre 26 m et pour aire 40 m². On note x la longueur du plus grand côté.
Exprime l'autre côté en fonction de x.
Écris une équation du second degré vérifiée par x et résous-la.
Donne la longueur du plus grand côté.
Indice 1
Le demi-périmètre vaut 13.
Indice 2
L'aire est le produit des deux côtés : x(13−x)=40.
Voir la correction pas à pas
Le demi-périmètre vaut 26÷2=13, donc l'autre côté mesure 13−x.
L'aire donne x(13−x)=40, soit x2−13x+40=0.
Δ=169−160=9>0, donc deux racines : 213−3=5 et 213+3=8.
Les deux racines décrivent le même rectangle, de côtés 5 m et 8 m ; le plus grand côté mesure 8 m.
Contrôle : périmètre 2×(5+8)=26 et aire 5×8=40 ✓.
Le jardin mesure 8 m sur 5 m ; son plus grand côté fait 8 m.
Quiz
9 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Δ=(−4)2−4×1×3=16−12=4. L'erreur tentante est de prendre −16 pour b2 : mais (−4)2=16.
Le discriminant est Δ=b2−4ac.3 Les autres variantes mélangent les signes ou le coefficient 4, ce qui donne des résultats faux.
Vrai : le carré (x+2ab)2 ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif. On ne peut donc pas prendre la racine carrée de Δ.
Δ=4−4=0, donc une racine double −22=−1. On reconnaît (x+1)2. Attention à ne pas répondre 1 : le signe de −2ab compte.
La somme vaut −ab=5 (les racines sont 2 et 3). L'erreur fréquente est de répondre −5 en oubliant le signe moins de la formule.
Si Δ≥0 il y a au moins une racine. Quand a et c sont de signes contraires, −4ac>0 donc Δ>0. Seul Δ<0 n'en donne aucune.
Un trinôme peut avoir 0, 1 ou 2 racines.3 Répondre « exactement 2 » oublie les cas Δ=0 et Δ<0.
Δ=16−20=−4<0 : aucune racine réelle. Un résultat négatif est possible pour Δ, contrairement à un carré.
Δ=4−4m>0 équivaut à m<1. Répondre m>1 vient d'une inversion du sens de l'inégalité ; m=1 donne une racine double, pas deux solutions distinctes.
Les questions qu'on se pose
À quoi sert le discriminant ?
Il permet de décider, par un seul calcul, si une équation du second degré a des solutions réelles et combien.5 Il donne aussi les racines par une formule et prépare l'étude du signe d'un trinôme.
Comment savoir quand utiliser le discriminant ?
Dès que tu as une équation ax2+bx+c=0 qui ne se factorise pas à vue. Si tu repères une identité remarquable ou un facteur commun (comme dans x2−3x=0), c'est plus rapide. Dans le doute, le discriminant marche toujours.
Que faire si $\Delta$ n'est pas un carré parfait ?
Si Δ>0, les racines existent encore : elles contiennent une racine carrée, comme 1±2. Tu laisses la forme exacte, après avoir simplifié la racine carrée quand c'est possible.
Que signifie « racine double » ?
C'est le cas Δ=0 : les deux racines se confondent. Le discriminant est nul exactement quand le polynôme a une racine multiple.5 La parabole touche alors l'axe des abscisses en un seul point.
Que faire quand $\Delta<0$ ?
Tu conclus qu'il n'y a pas de solution réelle et tu t'arrêtes : tu n'écris jamais Δ. À l'examen, cette conclusion est une réponse complète, pourvu que le calcul de Δ soit montré.
Peut-on utiliser le discriminant si le coefficient $b$ ou $c$ vaut $0$ ?
Oui, la formule reste valable : un coefficient nul s'écrit simplement 0 dans b2−4ac. Mais d'autres méthodes vont souvent plus vite. Pour x2−9=0, on factorise (x−3)(x+3) ; pour x2−3x=0, on met x en facteur.