Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Discriminant et racines : exercices corrigés de 1re spé

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ ³.
$\Delta>0$ : deux racines distinctes ; $\Delta=0$ : une racine double ; $\Delta<0$ : aucune racine réelle.
Les racines, quand elles existent, valent $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Un problème à paramètre se règle en écrivant la condition sur $\Delta$ , puis en résolvant l'inéquation obtenue.
Dans un problème concret, on garde seulement les racines qui ont un sens (longueur, durée positives).

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du calcul direct à des problèmes où il faut réfléchir. Cherche chacun sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta rédaction avec la correction, étape par étape. Si tu bloques, ouvre un seul indice à la fois : le premier relance la méthode, le second oriente le calcul.

PropriétéNombre de racines selon le signe de Δ

Un trinôme du second degré possède 0, 1 ou 2 racines ³. Le signe de $\Delta$ dit lequel de ces trois cas se produit :

Signe de $\Delta$	Racines réelles	Expression
$\Delta>0$	deux, distinctes	$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta=0$	une seule, dite double	$x_0=\dfrac{-b}{2a}$
$\Delta<0$	aucune	l'équation n'a pas de solution réelle

Le cas $\Delta=0$ correspond exactement à une racine multiple ⁵.

Démonstration · D'où viennent ces formules ?

On part de la forme canonique, que tu connais déjà. Pour $a\neq0$ :

$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].$

Résoudre $ax^2+bx+c=0$ revient donc à résoudre $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$ .

Si $\Delta<0$ , le second membre est strictement négatif alors qu'un carré est positif ou nul : aucune solution réelle.
Si $\Delta=0$ , il reste $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0$ , d'où l'unique solution $x=-\frac{b}{2a}$ .
Si $\Delta>0$ , on obtient $x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ , d'où les deux solutions du tableau.

Rappel : lecture graphique des racines

Les exercices

Exercice 1 Premier calcul de discriminant

★☆☆Environ 4 min

On considère le trinôme $f(x)=2x^2-3x-5$ .

Identifie $a$ , $b$ et $c$ .
Calcule le discriminant $\Delta$ .
Combien de racines réelles $f$ possède-t-il ?

Indice 1

Repère bien le signe de chaque coefficient : $b=-3$ et $c=-5$ .

Indice 2

$-4ac$ s'écrit $-4\times2\times(-5)$ : le résultat est positif.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=2$ , $b=-3$ , $c=-5$ .
On applique la formule : $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times2\times(-5)$ .
On calcule : $\Delta=9+40=49$ .
Comme $\Delta>0$ , le trinôme possède deux racines réelles distinctes.

Le discriminant vaut $49$ , qui est un carré parfait : les deux racines seront des nombres simples. Quand $c$ et $a$ sont de signes opposés, $\Delta$ est toujours strictement positif, car $b^2\ge0$ et $-4ac>0$ .

Exercice 2 Existe-t-il des racines ?

★☆☆Environ 4 min

Soit $g(x)=x^2+x+3$ . Calcule son discriminant et indique si l'équation $g(x)=0$ admet des solutions réelles.

Indice 1

Ici $a=1$ , $b=1$ et $c=3$ .

Indice 2

Un discriminant négatif ne donne aucune solution réelle.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=1$ , $c=3$ .
On calcule $\Delta=1^2-4\times1\times3=1-12=-11$ .
Comme $\Delta<0$ , l'équation $x^2+x+3=0$ n'a aucune solution réelle.

Le discriminant est $-11$ . La parabole de $g$ est tournée vers le haut ( $a>0$ ) et ne coupe jamais l'axe des abscisses : elle reste au-dessus. Ne cherche pas à « forcer » une racine carrée de $-11$ dans $\mathbb{R}$ .

Exercice 3 Résoudre une équation complète

★☆☆Environ 6 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2-5x+6=0$ . Donne la plus grande des solutions.

Indice 1

Calcule d'abord $\Delta$ avec $b=-5$ : attention à $(-5)^2$ .

Indice 2

Utilise ensuite $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=-5$ , $c=6$ .
On calcule $\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1$ .
Comme $\Delta>0$ , il y a deux solutions : $x_1=\dfrac{5-\sqrt1}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt1}{2}=3$ .
Vérification : $3^2-5\times3+6=9-15+6=0$ .

L'ensemble des solutions est $\{2\,;\,3\}$ et la plus grande vaut $3$ . La vérification finale ne coûte qu'une ligne et protège des erreurs de signe.

Exercice 4 Une racine double

★★☆Environ 6 min

Soit $h(x)=3x^2-12x+12$ .

Calcule $\Delta$ .
Détermine la racine de $h$ et précise sa nature.

Indice 1

Si $\Delta=0$ , une seule formule suffit : $x_0=\dfrac{-b}{2a}$ .

Indice 2

Tu peux aussi factoriser par 3 pour reconnaître une identité remarquable.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=3$ , $b=-12$ , $c=12$ .
On calcule $\Delta=(-12)^2-4\times3\times12=144-144=0$ .
Comme $\Delta=0$ , il existe une racine double : $x_0=\dfrac{-(-12)}{2\times3}=\dfrac{12}{6}=2$ .
Contrôle : $h(x)=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$ , qui s'annule bien en $2$ seulement.

La racine double est $2$ . Une racine double signifie que la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point, son sommet, sans le traverser. C'est le cas $\Delta=0$ , associé à une racine multiple ⁵.

Exercice 5 Équation avec racine rationnelle

★★☆Environ 7 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2+x-1=0$ et donne la solution positive.

Indice 1

Ici $b=1$ : $b^2=1$ et $-4ac=-4\times2\times(-1)$ .

Indice 2

Les deux solutions sont de signes opposés ; garde la positive.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=2$ , $b=1$ , $c=-1$ .
On calcule $\Delta=1^2-4\times2\times(-1)=1+8=9$ , donc $\sqrt\Delta=3$ .
On obtient $x_1=\dfrac{-1-3}{4}=-1$ et $x_2=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac12$ .
Vérification pour $\frac12$ : $2\times\frac14+\frac12-1=0$ .

Les solutions sont $-1$ et $\frac12$ ; la solution positive est $0{,}5$ . Remarque : la racine $\frac12$ n'est pas entière, mais $\Delta$ est un carré parfait, ce qui garantit des racines rationnelles quand les coefficients sont entiers.

Exercice 6 Mettre l'équation sous forme standard

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2+4=6x-5$ . Donne la plus petite solution.

Indice 1

Regroupe tous les termes dans un seul membre avant de lire $a$ , $b$ , $c$ .

Indice 2

Après regroupement, tu dois trouver $x^2-6x+9=0$ .

Voir la correction pas à pas

On passe tout à gauche : $x^2-6x+4+5=0$ , soit $x^2-6x+9=0$ .
On lit $a=1$ , $b=-6$ , $c=9$ et on calcule $\Delta=36-36=0$ .
L'unique solution est $x_0=\dfrac{6}{2}=3$ .
Contrôle : $x^2-6x+9=(x-3)^2$ .

L'équation admet une seule solution, $3$ , qui est donc aussi la plus petite. Lire $a$ , $b$ , $c$ sur l'équation de départ, sans la mettre sous forme standard, aurait donné de fausses valeurs.

Exercice 7 Problème à paramètre : racine double

★★★Environ 10 min

Pour quelle valeur positive du réel $m$ l'équation $x^2+mx+9=0$ admet-elle une racine double ? Calcule ensuite cette racine.

Indice 1

Une racine double correspond à $\Delta=0$ . Exprime $\Delta$ en fonction de $m$ .

Indice 2

Tu obtiens une équation en $m$ du type $m^2=36$ ; ne garde que la valeur positive.

Voir la correction pas à pas

Ici $a=1$ , $b=m$ , $c=9$ , donc $\Delta=m^2-4\times1\times9=m^2-36$ .
On veut $\Delta=0$ , soit $m^2=36$ , d'où $m=6$ ou $m=-6$ .
L'énoncé impose $m>0$ : on retient $m=6$ .
L'équation devient $x^2+6x+9=(x+3)^2=0$ : la racine double est $-3$ .

La valeur cherchée est $m=6$ et la racine double est $-3$ . Pour $m=-6$ , on aurait trouvé la racine double $3$ . Dans un problème à paramètre, on traduit la condition en une condition sur $\Delta$ , puis on résout.

Exercice 8 Un rectangle de périmètre et d'aire donnés

★★★Environ 12 min

Un rectangle a un périmètre de $20$ cm et une aire de $24$ cm $^2$ . On note $x$ sa longueur, en cm.

Montre que $x$ est solution de $x^2-10x+24=0$ .
Résous cette équation et donne les dimensions du rectangle. Donne la longueur la plus grande.

Indice 1

Si la longueur vaut $x$ , la largeur vaut $10-x$ , car le demi-périmètre est $10$ cm.

Indice 2

L'aire vaut $x(10-x)=24$ : développe puis regroupe.

Voir la correction pas à pas

Le demi-périmètre vaut $20\div2=10$ cm, donc la largeur est $10-x$ .
L'aire donne $x(10-x)=24$ , soit $10x-x^2=24$ , donc $x^2-10x+24=0$ .
On calcule $\Delta=(-10)^2-4\times1\times24=100-96=4$ , donc $\sqrt\Delta=2$ .
On obtient $x=\dfrac{10-2}{2}=4$ ou $x=\dfrac{10+2}{2}=6$ .
Si $x=6$ , la largeur est $4$ ; si $x=4$ , la largeur est $6$ . Dans les deux cas le rectangle mesure $6$ cm sur $4$ cm.
Contrôle : $6\times4=24$ et $2\times(6+4)=20$ .

Le rectangle mesure $6$ cm sur $4$ cm. Les deux racines correspondent aux deux côtés du même rectangle : ici, aucune racine n'est à éliminer, mais il faut toujours vérifier qu'une longueur est positive.

Les questions qu'on se pose

Que faire si le discriminant est négatif ?

Si $\Delta<0$ , l'équation n'a pas de solution réelle : on conclut que l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est vide. Au programme de la classe de Première on s'arrête là. Les nombres complexes, vus plus tard, donnent des solutions à ce type d'équation ², mais ce n'est pas ce qu'on attend de toi ici.

Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Si l'équation est du type $ax^2+c=0$ ou si tu reconnais une identité remarquable, une factorisation est plus rapide. En revanche, le discriminant fonctionne toujours pour un trinôme du second degré : en cas de doute, c'est la méthode sûre.

Comment vérifier rapidement mes racines ?

Remplace chaque racine dans l'équation de départ et vérifie que tu obtiens $0$ . Contrôle aussi la cohérence : le signe de $\Delta$ doit correspondre au nombre de racines trouvées (deux racines pour $\Delta>0$ , une pour $\Delta=0$ , aucune pour $\Delta<0$ ). Si les deux ne concordent pas, reprends le calcul de $\Delta$ , source d'erreur la plus fréquente.

Sources

Ressources Éduscol - Polynômes et discriminant, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Équations du second degré et racines complexes, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
Chapitre 1 - Second Degré : Cours Premières Spécialité, CNRS (Centre national de la recherche scientifique). Consulté le 6 novembre 2026.
Révision Second Degré - Premières Spécialité, CNRS (Centre national de la recherche scientifique). Consulté le 6 novembre 2026.
Discriminant, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Relations entre coefficients et racines, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Comment utiliser ces exercices

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Exercice 1 Premier calcul de discriminant

Exercice 2 Existe-t-il des racines ?

Exercice 3 Résoudre une équation complète

Exercice 4 Une racine double

Exercice 5 Équation avec racine rationnelle

Exercice 6 Mettre l'équation sous forme standard

Exercice 7 Problème à paramètre : racine double

Exercice 8 Un rectangle de périmètre et d'aire donnés

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur