Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Inéquations du second degré : cours de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une inéquation du second degré se ramène à $ax^2+bx+c<0$ (ou $>$ , $\leqslant$ , $\geqslant$ ) avec $a\neq 0$ : il faut étudier le signe du trinôme.²
On cherche d'abord les racines réelles de $ax^2+bx+c=0$ ; leur nombre (deux, une, aucune) dépend du discriminant.²
Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles ; sans racine, il garde partout le signe de $a$ .
Pour conclure, on lit les intervalles dans un tableau de signes ou sur la parabole, et on regarde si les bornes sont incluses ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ) ou exclues ( $<$ , $>$ ).²
Avant de résoudre, on passe tout dans le même membre pour comparer à $0$ ; on ne simplifie jamais par une expression dont le signe dépend de $x$ .

Introduction : à quoi sert une inéquation du second degré ?

Tu sais déjà résoudre une équation du second degré : tu cherches les valeurs de $x$ pour lesquelles une expression vaut exactement $0$ . Beaucoup de problèmes posent une question un peu différente : pour quelles valeurs de $x$ une quantité est-elle positive, négative, plus grande qu'un seuil ? Une aire doit dépasser un minimum, un bénéfice doit rester positif, une distance doit rester sous une limite. Ces questions donnent des inéquations.

Le programme de Première souligne que des problèmes très divers, souvent d'origine géométrique, conduisent soit à résoudre une équation du second degré, soit à étudier une fonction de ce type.¹ Ces fonctions servent aussi à modéliser des situations de physique, comme la chute libre.³

Dans ce cours, tu vas apprendre une méthode unique, qui marche à chaque fois : transformer l'inéquation pour comparer à $0$ , trouver les racines, puis lire le signe du trinôme. Tu t'appuies sur trois notions vues juste avant : la forme canonique, le discriminant avec les racines, et la factorisation avec le signe d'un trinôme.

Ce qu'est une inéquation du second degré

Les trois outils à avoir en main

Pour étudier le signe d'une fonction du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ , tu disposes de plusieurs écritures de la même expression. Une même fonction peut s'écrire de bien des façons, mais trois d'entre elles reviennent sans cesse et méritent d'être connues.³ Voici ce qu'elles t'apportent pour les inéquations.

Le signe d'un trinôme selon le discriminant

Pour résoudre une inéquation, il faut commencer par déterminer les racines réelles du trinôme, puis on distingue trois cas de figure.² Ces trois cas correspondent au signe du discriminant $\Delta=b^2-4ac$ que tu connais déjà. Dans chaque cas, on peut donner le signe de $ax^2+bx+c$ pour tous les réels $x$ .

Le signe du trinôme selon le discriminant
Discriminant	Racines réelles	Signe de ax²+bx+c
Δ > 0	Deux racines x₁ < x₂	Signe de a à l'extérieur, signe contraire entre x₁ et x₂
Δ = 0	Une racine double x₀	Signe de a pour x ≠ x₀, nul en x₀
Δ < 0	Aucune	Signe de a pour tout réel x

Le signe du trinôme selon le discriminant · Le signe de a commande tout : il fixe le signe à l'extérieur des racines.

Démonstration · Pourquoi ces signes ?

Cas $\Delta>0$ . Le trinôme se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Pour $x<x_1$ , les deux facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ sont négatifs, leur produit est positif, donc le trinôme a le signe de $a$ . Pour $x_1<x<x_2$ , $x-x_1$ est positif et $x-x_2$ est négatif, leur produit est négatif, donc le trinôme a le signe contraire de $a$ . Pour $x>x_2$ , les deux facteurs sont positifs, leur produit est positif, donc le trinôme a le signe de $a$ .

Cas $\Delta=0$ . Le trinôme s'écrit $a(x-x_0)^2$ . Un carré est positif ou nul, et il ne s'annule qu'en $x_0$ : le signe est celui de $a$ partout ailleurs.

Cas $\Delta<0$ . La forme canonique donne $ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ . Comme $\Delta<0$ , le nombre $-\dfrac{\Delta}{4a^2}$ est strictement positif. Le crochet est donc la somme d'un carré et d'un nombre strictement positif : il est strictement positif pour tout $x$ , et le trinôme a le signe de $a$ .

La méthode de résolution pas à pas

MéthodeRésoudre une inéquation du second degré

Mettre sous forme standard : passer tout à gauche pour comparer à $0$ , développer, réduire. On obtient $ax^2+bx+c \;\square\; 0$ avec $\square$ l'un des symboles $<$ , $>$ , $\leqslant$ , $\geqslant$ .
Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et déterminer les racines réelles s'il y en a.²
Étudier le signe du trinôme : factorisation puis tableau de signes, ou schéma de la parabole.²
Lire les solutions : repérer les intervalles où le signe demandé est obtenu.
Gérer les bornes : les racines sont incluses si l'inégalité est large ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ), exclues si elle est stricte ( $<$ , $>$ ).
Écrire l'ensemble solution avec des intervalles et le symbole $\cup$ si besoin.

Parabole de x² − x − 2 · Les abscisses des points sous l'axe donnent les solutions de x² − x − 2 < 0.

Exemples rédigés

ExempleExemple 1 : deux racines, a > 0

On résout $x^2-x-2<0$ .

Étape 1. L'inéquation est déjà sous forme standard : $a=1$ , $b=-1$ , $c=-2$ .

Étape 2. $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times(-2)=1+8=9>0$ . Les racines sont $x_1=\dfrac{1-3}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{1+3}{2}=2$ .

Étape 3. Comme $a=1>0$ , le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles :

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
signe de $x^2-x-2$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Étape 4 et 5. On veut le signe strictement négatif : les bornes sont exclues.

Conclusion. $S=]-1\,;\,2[$ .

Quand le trinôme est déjà factorisé ou presque

Il arrive que l'énoncé donne directement une forme factorisée, par exemple $(x-1)(x+3)>0$ . Dans ce cas, inutile de développer pour recalculer un discriminant : les racines se lisent, et un tableau de signes devient possible.³ Cette situation est même la plus confortable.

ExempleUn produit de facteurs du premier degré

On résout $(x-1)(x+3)>0$ .

Les deux facteurs s'annulent en $1$ et en $-3$ . On construit le tableau de signes, ligne par ligne :

$x$		$-3$		$1$
$x-1$	$-$		$-$	$0$	$+$
$x+3$	$-$	$0$	$+$		$+$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Le produit est strictement positif quand les deux facteurs ont le même signe strict.

Conclusion. $S=]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$ .

Résoudre un problème avec une inéquation

Le programme attend que tu saches mobiliser le second degré dans des problèmes variés, notamment d'origine géométrique.¹ La démarche est toujours la même : choisir une inconnue, traduire la condition par une inégalité, résoudre, puis revenir au contexte pour vérifier que les solutions ont un sens.

ExempleUn enclos rectangulaire

On dispose de $30$ m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire. On veut que son aire soit strictement supérieure à $54$ m². Quelles largeurs $x$ conviennent ?

Le demi-périmètre est de $15$ m : si la largeur est $x$ , la longueur est $15-x$ . Les deux dimensions sont positives, donc $0<x<15$ .

L'aire est $x(15-x)$ . La condition s'écrit $x(15-x)>54$ , soit $-x^2+15x-54>0$ .

$\Delta=225-4\times(-1)\times(-54)=225-216=9$ . Les racines sont $x_1=\dfrac{-15-3}{-2}=9$ et $x_2=\dfrac{-15+3}{-2}=6$ , soit $6$ et $9$ .

Comme $a=-1<0$ , le trinôme est positif entre les racines : $6<x<9$ . Cet intervalle est bien inclus dans $]0\,;\,15[$ .

Conclusion. L'aire dépasse $54$ m² exactement lorsque la largeur est strictement comprise entre $6$ m et $9$ m.

Les pièges à éviter et ce qu'il faut retenir

Exercices corrigés

Exercice 1 Un trinôme à deux racines

★☆☆Environ 6 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2-5x+6\leqslant 0$ , puis donne la longueur de l'intervalle solution.

Indice 1

Calcule le discriminant, puis les deux racines.

Indice 2

Le coefficient de $x^2$ est positif : où le trinôme est-il négatif ?

Voir la correction pas à pas

L'inéquation est déjà sous forme standard : $a=1$ , $b=-5$ , $c=6$ .
$\Delta=25-24=1>0$ , donc deux racines : $x_1=\dfrac{5-1}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{5+1}{2}=3$ .
Comme $a=1>0$ , le trinôme est négatif entre les racines et nul en elles.
L'inégalité est large : les bornes sont incluses. $S=[2\,;\,3]$ .
La longueur de l'intervalle est $3-2=1$ .

L'ensemble solution est $[2\,;\,3]$ , de longueur $1$ . Ici, les deux racines sont entières, ce qui permet de vérifier : $x=2{,}5$ donne $6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25\leqslant 0$ .

Exercice 2 Inégalité stricte avec a positif

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^2-3x-2>0$ .

Indice 1

Calcule $\Delta$ avec $a=2$ , $b=-3$ , $c=-2$ .

Indice 2

Pense aux bornes : l'inégalité est stricte.

Voir la correction pas à pas

Identifie $a=2$ , $b=-3$ , $c=-2$ .
$\Delta=9-4\times 2\times(-2)=9+16=25$ , donc deux racines.
$x_1=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+5}{4}=2$ .
Comme $a=2>0$ , le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines.
Les bornes sont exclues : $S=\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$ .

On trouve deux intervalles séparés, reliés par $\cup$ . Test : $x=0$ donne $-2$ , qui n'est pas strictement positif, et $0$ n'est effectivement pas dans $S$ .

Exercice 3 Un enclos et une aire minimale

★★☆Environ 10 min

Un rectangle a un périmètre de $20$ m. On note $x$ sa largeur en mètres. Son aire doit être supérieure ou égale à $21$ m². Détermine les valeurs possibles de $x$ et donne la plus grande de ces valeurs.

Indice 1

Exprime la longueur à l'aide de $x$ en utilisant le demi-périmètre.

Indice 2

Écris l'aire, puis la condition sous la forme $ax^2+bx+c\leqslant 0$ ou $\geqslant 0$ .

Voir la correction pas à pas

Le demi-périmètre est $10$ m, donc la longueur est $10-x$ , avec $0<x<10$ .
La condition s'écrit $x(10-x)\geqslant 21$ , soit $-x^2+10x-21\geqslant 0$ .
$\Delta=100-84=16$ , donc les racines sont $x_1=\dfrac{-10-4}{-2}=7$ et $x_2=\dfrac{-10+4}{-2}=3$ .
Comme $a=-1<0$ , le trinôme est positif entre les racines, bornes incluses : $x\in[3\,;\,7]$ .
Cet intervalle est inclus dans $]0\,;\,10[$ . La plus grande valeur est $7$ .

La largeur doit être comprise entre $3$ m et $7$ m. Aux deux extrémités, le rectangle mesure $3\times 7$ , d'aire exactement $21$ m² : les bornes conviennent bien.

Exercice 4 Aucune racine réelle

★★★Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ les inéquations (a) $-x^2+4x-5<0$ et (b) $-x^2+4x-5\geqslant 0$ .

Indice 1

Calcule $\Delta$ : existe-t-il des racines ?

Indice 2

Quel est le signe de $a$ , et que dit-il du signe du trinôme sans racine ?

Voir la correction pas à pas

Ici $a=-1$ , $b=4$ , $c=-5$ .
$\Delta=16-4\times(-1)\times(-5)=16-20=-4<0$ : aucune racine réelle.
Le trinôme a donc le signe de $a$ pour tout réel : il est strictement négatif pour tout $x$ .
(a) Le trinôme est toujours strictement négatif : $S=\mathbb{R}$ .
(b) Il n'est jamais positif ou nul : $S=\varnothing$ .

Quand $\Delta<0$ , aucun intervalle à chercher : la réponse est $\mathbb{R}$ ou $\varnothing$ . Vérification rapide avec $x=2$ : $-4+8-5=-1<0$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois prendre l'intérieur ou l'extérieur des racines ?

Regarde le signe de $a$ et ce qu'on te demande. Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Si $a>0$ et que tu cherches « $>0$ » ou « $\geqslant 0$ », tu prends l'extérieur ; si tu cherches « $<0$ » ou « $\leqslant 0$ », tu prends l'intérieur. Si $a<0$ , c'est l'inverse. Un petit schéma de parabole évite l'hésitation.

Pourquoi faut-il tout passer d'un seul côté ?

Parce que le signe se lit par rapport à $0$ : un trinôme ne change de signe qu'en s'annulant, donc ses racines sont les seuls points de changement.² Comparer à un autre nombre, comme $5$ , ne permet pas cette lecture directe. Quand tu as $x^2-4x<5$ , tu passes à $x^2-4x-5<0$ .

Que faire quand le discriminant est négatif ?

Il n'y a aucune racine réelle, donc le signe ne change jamais : le trinôme a le signe de $a$ pour tous les réels. La solution est alors $\mathbb{R}$ si ce signe correspond à ce que demande l'inéquation, et $\varnothing$ sinon. Pas besoin de tableau compliqué.

Quand est-ce que les bornes sont incluses dans l'ensemble solution ?

Elles sont incluses si l'inégalité est large ( $\leqslant$ ou $\geqslant$ ), car le trinôme s'annule en ses racines et la condition « égal à $0$ » est alors acceptée. Elles sont exclues si l'inégalité est stricte ( $<$ ou $>$ ). Tu le vois dans les crochets : fermés pour une inégalité large, ouverts pour une inégalité stricte.

Peut-on utiliser la calculatrice pour résoudre une inéquation ?

Elle aide à contrôler un résultat, par exemple en traçant la parabole pour repérer les points de l'axe des abscisses. Mais en classe et à l'examen, on attend une démarche rédigée : forme standard, discriminant, racines, signe, conclusion. Utilise la calculatrice pour vérifier, pas pour remplacer la rédaction.

À quoi servent les inéquations du second degré dans la vie réelle ?

Elles apparaissent dans les problèmes où une grandeur dépend du carré d'une autre : une aire qui doit dépasser un seuil, un bénéfice qui doit rester positif, une trajectoire qui doit passer au-dessus d'un obstacle. Les fonctions du second degré servent par exemple à étudier théoriquement une chute libre en physique.³

Sources

Programme visé : Programme de Mathématiques Première générale (enseignement de spécialité) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de Mathématiques Première générale (enseignement de spécialité), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Inéquation du second degré, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction du second degré, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Le signe d'un trinôme selon le discriminant

La méthode de résolution pas à pas

Exemples rédigés

Quand le trinôme est déjà factorisé ou presque

Résoudre un problème avec une inéquation

Les pièges à éviter et ce qu'il faut retenir

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Exercice 1 Un trinôme à deux racines

Exercice 2 Inégalité stricte avec a positif

Exercice 3 Un enclos et une aire minimale

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