Inéquations du second degré : exercices corrigés de 1re

On résout $x^2-3x+2=0$ : $\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=1$, donc $x_1=\frac{3-1}{2}=1$ et $x_2=\frac{3+1}{2}=2$.

On factorise : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

On dresse le tableau de signes : $x-1$ est positif pour $x>1$ ; $x-2$ est positif pour $x>2$. Le produit est positif sur $]-\infty;1[$, négatif sur $]1;2[$, positif sur $]2;+\infty[$.

On veut un produit strictement négatif : l'ensemble des solutions est $]1;2[$, avec des crochets ouverts car l'inégalité est stricte.

Contrôle : pour $x=1{,}5$, on obtient $2{,}25-4{,}5+2=-0{,}25<0$. C'est cohérent.

On factorise avec l'identité remarquable : $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Les racines sont $-3$ et $3$.

On dresse le tableau de signes : le produit est positif sur $]-\infty;-3[$, négatif sur $]-3;3[$, positif sur $]3;+\infty[$, et nul en $-3$ et en $3$.

L'inégalité est large : les racines sont incluses. Ensemble des solutions : $]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$.

Entiers de $-5$ à $5$ appartenant à cet ensemble : $-5$, $-4$, $-3$, $3$, $4$, $5$. Les entiers $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ ne conviennent pas.

On compte : 6 entiers.

On calcule $\Delta=2^2-4\times1\times(-8)=4+32=36$, qui est strictement positif : il y a deux racines.

Les racines sont $x_1=\frac{-2-6}{2}=-4$ et $x_2=\frac{-2+6}{2}=2$.

On factorise : $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$.

Tableau de signes : $x+4$ est positif pour $x>-4$ ; $x-2$ est positif pour $x>2$. Le produit est positif sur $]-\infty;-4[$, négatif sur $]-4;2[$, positif sur $]2;+\infty[$.

L'inégalité est stricte et on cherche un signe positif : $S=]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$.

Contrôle avec $x=0$ : $-8>0$ est faux, et $0$ est bien dans l'intervalle écarté $]-4;2[$.

On calcule $\Delta=4^2-4\times(-1)\times(-3)=16-12=4$.

Les racines sont $x_1=\frac{-4-2}{-2}=3$ et $x_2=\frac{-4+2}{-2}=1$.

On factorise avec $a=-1$ : $-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)$.

Tableau de signes : $(x-1)(x-3)$ est négatif entre 1 et 3 et positif à l'extérieur. Le facteur $-1$ inverse les signes : le trinôme est positif entre 1 et 3, négatif à l'extérieur.

L'inégalité est large : $S=[1;3]$.

La longueur de l'intervalle est $3-1=2$.

On calcule $\Delta=1^2-4\times1\times1=-3$, qui est strictement négatif : l'équation $x^2+x+1=0$ n'a pas de solution réelle.

On utilise la forme canonique : $x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34$.

Un carré est toujours positif ou nul, donc $\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\geq\frac34>0$ pour tout réel $x$.

Le trinôme est donc strictement positif pour tous les réels : $S=\mathbb{R}$.

Contrôle : en $x=0$, on obtient $1>0$, ce qui est bien vrai.

On calcule $\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=144-144=0$ : il y a une racine double.

On reconnaît une identité remarquable : $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$.

Un carré est toujours positif ou nul. L'inégalité $(2x-3)^2\leq0$ n'est donc vraie que si $(2x-3)^2=0$.

On résout $2x-3=0$ : $x=\frac32=1{,}5$.

L'ensemble des solutions est $S=\left\{\frac32\right\}$, un seul nombre.

On soustrait $2x+2$ aux deux membres : $x^2-2x-3-2x-2\leq0$, soit $x^2-4x-5\leq0$.

On calcule $\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-5)=16+20=36$.

Les racines sont $x_1=\frac{4-6}{2}=-1$ et $x_2=\frac{4+6}{2}=5$, d'où $x^2-4x-5=(x+1)(x-5)$.

Comme $a=1>0$, le trinôme est négatif entre les racines. Avec une inégalité large : $S=[-1;5]$.

Les entiers de $-1$ à $5$ sont $-1,0,1,2,3,4,5$ : 7 entiers.

Contrôle en $x=0$ : $-3\leq2$ est vrai.

Le demi-périmètre vaut $10$ m : l'autre côté mesure $10-x$. Les deux longueurs sont strictement positives, donc $0<x<10$.

L'aire vaut $x(10-x)=-x^2+10x$. On veut $-x^2+10x\geq21$, soit $-x^2+10x-21\geq0$, ou encore $x^2-10x+21\leq0$.

On calcule $\Delta=(-10)^2-4\times1\times21=100-84=16$. Les racines sont $x_1=\frac{10-4}{2}=3$ et $x_2=\frac{10+4}{2}=7$.

Le trinôme $x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$ est négatif entre ses racines (car $a=1>0$) : $x\in[3;7]$.

Cet intervalle est bien inclus dans $]0;10[$, donc toutes ses valeurs sont possibles.

La longueur de l'intervalle est $7-3=4$ m.

Comme $a=1>0$, le trinôme est strictement positif pour tout $x$ exactement lorsqu'il n'a aucune racine réelle, c'est-à-dire lorsque $\Delta<0$.

On calcule $\Delta=m^2-4\times1\times4=m^2-16$.

On résout $m^2-16<0$ : $(m-4)(m+4)<0$, donc $m$ est entre les racines $-4$ et $4$ : $m\in]-4;4[$.

Contrôle du cas limite $m=4$ : $x^2+4x+4=(x+2)^2$ s'annule en $x=-2$, donc l'inégalité stricte est fausse en ce point. La valeur 4 est bien exclue.

Les entiers de $]-4;4[$ sont $-3,-2,-1,0,1,2,3$ : 7 entiers.