Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Modes de génération d'une suite : cours de Première spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite est une liste de nombres repérés par leur rang $n$ : $u_0, u_1, u_2, \dots$ On peut la générer de plusieurs façons.¹
Formule explicite : $u_n = f(n)$ . On calcule directement n'importe quel terme en remplaçant $n$ par son rang.¹
Relation de récurrence : on donne le premier terme et une règle qui fournit $u_{n+1}$ à partir de $u_n$ . Il faut calculer les termes un à un.¹
Les suites modélisent des évolutions à temps discret : capital, population… Quand le même pourcentage s'applique à chaque étape, on obtient une suite géométrique.¹
On passe d'un registre à l'autre : formule, tableau de valeurs, nuage de points (points isolés, jamais une courbe continue).¹

Pourquoi étudier des suites ?

Un capital placé à la banque, une population qui augmente chaque année, le nombre de lignes d'un tableau qu'on remplit jour après jour : dans chacun de ces cas, une grandeur change par étapes, une étape après l'autre. Le programme de Première présente les suites comme des modélisations d'évolutions à temps discret, par exemple l'évolution ou l'actualisation d'un capital, ou l'évolution d'une population.¹

Ta première question, dans ce chapitre, est donc : comment décrire proprement une telle liste de nombres, de façon à pouvoir calculer n'importe quel terme ? La réponse est qu'il existe plusieurs modes de génération. Le programme invite l'élève à rencontrer différents modes de génération de suites.¹ Dans ce cours, tu vas voir les deux plus importants : la formule explicite et la relation de récurrence.

Le plan du cours :

ce qu'est une suite et comment on la note ;
la définition par une formule explicite ;
la définition par une relation de récurrence ;
comment choisir entre les deux, et comment passer de l'un à l'autre ;
la modélisation d'une situation concrète ;
les représentations d'une suite (tableau, nuage de points, programme) ;
les erreurs à éviter.

Ce qu'est une suite et comment on la note

Le mot « générer » signifie : donner une règle qui permet de fabriquer tous les termes. Une suite n'existe pour nous que si cette règle est donnée. Le programme cite plusieurs modes de génération, parmi lesquels la forme explicite $u_n = f(n)$ et la définition par une relation de récurrence.¹³ Ce cours se concentre sur ces deux modes, qui font l'objet des deux sections suivantes.

Premier mode : la formule explicite

L'avantage est immédiat : pour obtenir un terme, on remplace $n$ par sa valeur dans la formule. On n'a pas besoin de connaître les termes précédents. C'est comme une machine à calculer qu'on alimente avec un rang et qui renvoie le terme correspondant.

Second mode : la relation de récurrence

L'idée est celle d'un escalier : connaissant la première marche, la règle te dit comment passer à la suivante, puis à la suivante, etc. Sans le premier terme, la règle seule ne fabrique rien. Sans la règle, le premier terme seul ne suffit pas non plus. Il faut les deux.

ExempleUne suite récurrente affine

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n \geq 0$ , $u_{n+1} = 3u_n - 1$ .

Rang $n$	Calcul	Valeur
0	donné	$u_0 = 2$
1	$3 \times 2 - 1$	$u_1 = 5$
2	$3 \times 5 - 1$	$u_2 = 14$
3	$3 \times 14 - 1$	$u_3 = 41$
4	$3 \times 41 - 1$	$u_4 = 122$

Pour connaître $u_4$ , nous avons dû passer par $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .

Comparer les deux modes et passer de l'un à l'autre

Aucun mode n'est « meilleur » en soi. Chacun a ses forces. Le tableau suivant les résume.

Formule explicite et relation de récurrence
Critère	Formule explicite	Relation de récurrence
Ce qu'on donne	$u_n = f(n)$	Premier terme et règle $u_{n+1} = g(u_n)$
Calcul de $u_{100}$	Un seul calcul	Cent calculs successifs
Idéal pour	Obtenir un terme lointain	Décrire un passage d'une étape à la suivante
Risque	Oublier les parenthèses pour $u_{n+1}$	Oublier le premier terme, décaler les rangs

Formule explicite et relation de récurrence · Les deux modes de génération côte à côte.

Modéliser une situation par une suite

Les suites permettent de mettre en équation une évolution. Le programme demande de proposer, de modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres.¹ Il relie aussi les évolutions dont le pourcentage reste le même d'une étape à l'autre aux suites géométriques, que tu étudieras bientôt.¹

ExempleUn capital placé à intérêts composés

Une somme de $1\,000$ € est placée à $2\,\%$ par an ; chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital. On note $c_n$ le capital après $n$ années.

Rang 0 : $c_0 = 1000$ .
Augmenter de $2\,\%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{2}{100} = 1{,}02$ . Donc $c_{n+1} = 1{,}02\, c_n$ .
Termes : $c_1 = 1020$ ; $c_2 = 1040{,}4$ ; $c_3 = 1061{,}208$ .
Formule explicite : $c_n = 1000 \times 1{,}02^n$ . Ainsi $c_5 = 1000 \times 1{,}02^5 \approx 1104{,}08$ €.

Le pourcentage est le même chaque année : la suite est géométrique, comme le programme l'indique pour ce type d'évolution.¹

Représenter une suite : tableau, nuage de points, programme

Le programme insiste sur la capacité à changer de registre : on passe du registre algébrique (les formules) au registre graphique (les dessins), et inversement.¹ Pour une suite, trois représentations sont courantes.

Pour une suite définie par récurrence, la représentation demande plus de soin, car chaque point dépend du précédent. C'est pourquoi on utilise volontiers un outil de calcul. Il est conseillé de varier les approches et les outils.⁴

MéthodeCalculer des termes avec un programme

Voici comment calculer les termes de la suite $u_0 = 2$ , $u_{n+1} = 3u_n - 1$ avec une boucle en Python :

u = 2
for n in range(5):
    print(n, u)
    u = 3 * u - 1

À chaque tour de boucle, la variable u reçoit la valeur du terme suivant. On affiche d'abord le terme courant, puis on le remplace. Le programme affiche $2, 5, 14, 41, 122$ pour les rangs $0$ à $4$ .

Pour la suite explicite $u_n = 3n - 2$ , la boucle n'est pas nécessaire : une seule ligne calcule le terme voulu.

Bilan et suite du chapitre

Les prochains chapitres étudient deux familles particulières de suites, les suites arithmétiques et les suites géométriques, avec leur définition et le calcul de leur terme général.¹ Tu y réutiliseras sans cesse les deux modes de génération vus ici. Tu étudieras aussi le sens de variation d'une suite, c'est-à-dire le fait qu'elle monte ou qu'elle descend lorsque le rang augmente.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer avec une formule explicite

★☆☆Environ 6 min

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geq 0$ par $u_n = n^2 - 3n + 1$ .

Calcule $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .
Calcule $u_6$ .
Exprime $u_{n+1}$ en fonction de $n$ , sous forme développée.

Indice 1

Remplace $n$ par le rang demandé, en n'oubliant pas les parenthèses pour le carré.

Indice 2

Pour $u_{n+1}$ , remplace $n$ par $(n+1)$ partout et développe $(n+1)^2$ .

Voir la correction pas à pas

On remplace $n$ par $0$ : $u_0 = 0 - 0 + 1 = 1$ .
On remplace $n$ par $1$ : $u_1 = 1 - 3 + 1 = -1$ .
Pour $n = 2$ : $u_2 = 4 - 6 + 1 = -1$ . Pour $n = 3$ : $u_3 = 9 - 9 + 1 = 1$ .
Pour $n = 6$ : $u_6 = 36 - 18 + 1 = 19$ .
On écrit $u_{n+1} = (n+1)^2 - 3(n+1) + 1$ .
On développe : $n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 + 1 = n^2 - n - 1$ . Donc $u_{n+1} = n^2 - n - 1$ .

On a $u_0 = 1$ , $u_1 = -1$ , $u_2 = -1$ , $u_3 = 1$ et $u_6 = 19$ . On remarque que la suite redescend puis remonte, et que $u_{n+1} = n^2 - n - 1$ .

Exercice 2 Premiers termes d'une suite récurrente

★☆☆Environ 8 min

On définit la suite $(v_n)$ par $v_0 = 5$ et, pour tout entier $n \geq 0$ , $v_{n+1} = 2v_n - 3$ .

Calcule $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ puis $v_4$ .
Pourquoi a-t-on dû calculer les termes dans l'ordre ?

Indice 1

Pour obtenir $v_1$ , remplace $v_n$ par $v_0 = 5$ dans la règle.

Indice 2

Garde le résultat de chaque ligne pour la ligne suivante.

Voir la correction pas à pas

On applique la règle avec $n = 0$ : $v_1 = 2 \times 5 - 3 = 7$ .
On applique la règle avec $n = 1$ : $v_2 = 2 \times 7 - 3 = 11$ .
On applique la règle avec $n = 2$ : $v_3 = 2 \times 11 - 3 = 19$ .
On applique la règle avec $n = 3$ : $v_4 = 2 \times 19 - 3 = 35$ .
Pour répondre à la question 2 : chaque terme se calcule à partir du précédent, donc il faut connaître $v_3$ pour obtenir $v_4$ .

On obtient $v_1 = 7$ , $v_2 = 11$ , $v_3 = 19$ et $v_4 = 35$ . La relation de récurrence impose de calculer dans l'ordre, un terme après l'autre.

Exercice 3 Du récurrent à l'explicite

★★☆Environ 10 min

Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0 = 3$ et $a_{n+1} = a_n + 4$ pour tout $n \geq 0$ .

Calcule $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ et $a_4$ .
Conjecture une formule explicite pour $a_n$ .
Utilise-la pour calculer $a_{20}$ .
Vérifie que ta formule respecte la relation de récurrence.

Indice 1

Observe ce qu'on ajoute à chaque étape et combien de fois on l'a ajouté pour atteindre le rang $n$ .

Indice 2

Pour vérifier, calcule $a_{n+1}$ avec ta formule et compare à $a_n + 4$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule : $a_1 = 7$ , $a_2 = 11$ , $a_3 = 15$ , $a_4 = 19$ .
On remarque qu'on ajoute $4$ à chaque rang : au rang $n$ , on a ajouté $4$ exactement $n$ fois au premier terme.
On conjecture donc $a_n = 3 + 4n$ .
On calcule : $a_{20} = 3 + 4 \times 20 = 83$ .
On vérifie : avec la formule, $a_{n+1} = 3 + 4(n+1) = 3 + 4n + 4 = a_n + 4$ , et $a_0 = 3 + 0 = 3$ . Les deux conditions sont respectées.

La suite a pour formule explicite $a_n = 4n + 3$ , et $a_{20} = 83$ . On passe ici facilement de la récurrence à l'explicite, car on ajoute toujours le même nombre.

Exercice 4 Modéliser l'évolution d'une population

★★☆Environ 12 min

Une ville compte $8\,000$ habitants. On suppose que sa population augmente de $3\,\%$ chaque année. On note $p_n$ la population après $n$ années, avec $p_0 = 8000$ .

Exprime $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ .
Donne une formule explicite pour $p_n$ .
Calcule la population au bout de $3$ ans, arrondie à l'unité près.

Indice 1

Une hausse de $3\,\%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{3}{100}$ .

Indice 2

Chaque année on multiplie par le même coefficient : combien de fois l'a-t-on fait au bout de $n$ ans ?

Voir la correction pas à pas

Une hausse de $3\,\%$ se traduit par un coefficient multiplicateur $1 + 0{,}03 = 1{,}03$ .
On en déduit la relation de récurrence : $p_{n+1} = 1{,}03\,p_n$ , avec $p_0 = 8000$ .
Au bout de $n$ années, on a multiplié $n$ fois par $1{,}03$ : $p_n = 8000 \times 1{,}03^n$ .
On calcule pour $n = 3$ : $1{,}03^3 = 1{,}092727$ .
Donc $p_3 = 8000 \times 1{,}092727 = 8741{,}816$ , soit environ $8\,742$ habitants.

Au bout de $3$ ans, la ville compte environ $8\,742$ habitants. Le pourcentage est le même chaque année : la suite est géométrique, et la formule explicite évite de calculer chaque année une par une.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre u_n, u_{n+1} et u_n + 1 ?

$u_n$ est le terme de rang $n$ . $u_{n+1}$ est le terme de rang $n+1$ , donc le terme suivant. $u_n + 1$ est le nombre obtenu en ajoutant $1$ à $u_n$ . Ce sont trois objets différents. Par exemple, avec $u_n = 2n$ : $u_{n+1} = 2n + 2$ , alors que $u_n + 1 = 2n + 1$ .

Comment savoir si je dois utiliser la formule explicite ou la relation de récurrence ?

Regarde ce que l'énoncé donne. Si on te fournit $u_n = f(n)$ , calcule directement. Si on te donne un premier terme et une règle pour passer d'un terme au suivant, procède pas à pas. Pour obtenir un terme très éloigné, cherche à passer à une formule explicite. Le programme présente d'ailleurs les deux comme des modes de génération à connaître.¹

À quoi servent les suites dans la vie réelle ?

Elles servent à modéliser des évolutions qui se font par étapes : un capital qui rapporte des intérêts chaque année, une population qui change d'année en année. Le programme cite l'évolution ou l'actualisation d'un capital et l'évolution d'une population comme exemples de ces situations.¹

Pourquoi ne relie-t-on pas les points d'une suite ?

Parce qu'une suite n'est définie que pour des rangs entiers : il n'existe pas de terme de rang $2{,}5$ . Le nuage de points reflète cette réalité. Relier les points suggérerait qu'on peut lire des valeurs entre deux rangs, ce qui n'a pas de sens pour une suite.

Une suite peut-elle commencer au rang 1 plutôt qu'au rang 0 ?

Oui. L'énoncé précise toujours le premier rang. Si une suite commence à $u_1$ , la relation de récurrence s'applique à partir de $n = 1$ et le premier calcul produit $u_2$ . C'est une source d'erreur de décalage : relis l'énoncé avant de commencer.

Sources

Programme de mathématiques de première générale (complet), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques — voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Projet d'aménagement du programme de mathématiques de première générale — spécialité, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Progressions verticales : la récurrence, de l'approche au raisonnement, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.
Génération.s, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Modes de génération d'une suite : cours de Première spécialité

L'essentiel

Pourquoi étudier des suites ?

Ce qu'est une suite et comment on la note

Premier mode : la formule explicite

Second mode : la relation de récurrence

Comparer les deux modes et passer de l'un à l'autre

Modéliser une situation par une suite

Représenter une suite : tableau, nuage de points, programme

Bilan et suite du chapitre

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer avec une formule explicite

Exercice 2 Premiers termes d'une suite récurrente

Exercice 3 Du récurrent à l'explicite

Exercice 4 Modéliser l'évolution d'une population

Quiz

Les questions qu'on se pose

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