Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Modes de génération d'une suite : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite se génère par une formule explicite $u_n = f(n)$ ou par une relation de récurrence qui donne chaque terme à partir du précédent ¹.
Avec une formule explicite, on calcule $u_n$ directement en remplaçant $n$ ; avec une récurrence, on avance terme après terme à partir du premier terme donné.
Une récurrence sans terme initial ne définit rien : il faut toujours $u_0$ (ou le premier indice).
Ne confonds pas $u_{n+1}$ (le terme suivant) avec $u_n+1$ (le terme $u_n$ augmenté de 1).

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices portent sur la façon dont une suite est donnée : par une formule qui permet de calculer directement un terme, ou par une relation qui fabrique chaque terme à partir du précédent. Le programme de première générale cite ces deux modes de génération parmi ceux que l'élève rencontre ¹³. Il rattache aussi les suites à la modélisation d'évolutions à temps discret, comme l'évolution d'un capital ou d'une population ¹. Tu retrouveras ces deux aspects ici : du calcul pur d'abord, puis de la modélisation.

Les exercices sont classés par difficulté croissante. Cherche d'abord seul, avec une feuille. Ouvre un indice seulement si tu bloques plus de quelques minutes, puis compare ta rédaction à la correction.

Les exercices

Exercice 1 Calculer un terme avec une formule explicite

★☆☆Environ 5 min

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 3n+2$ .

Calcule $u_0$ , $u_1$ puis $u_5$ .

Indice 1

Remplace simplement $n$ par la valeur demandée.

Indice 2

Pour $u_5$ , calcule d'abord la multiplication, puis ajoute 2.

Voir la correction pas à pas

On remplace $n$ par 0 : $u_0 = 3×0+2 = 2$ .
On remplace $n$ par 1 : $u_1 = 3×1+2 = 5$ .
On remplace $n$ par 5 : $u_5 = 3×5+2 = 15+2 = 17$ .

On a $u_0=2$ , $u_1=5$ et $u_5=17$ . Avec une formule explicite, chaque terme se calcule sans connaître les précédents.

Exercice 2 Reconnaître le mode de génération

★☆☆Environ 5 min

Pour chaque suite, dis si elle est donnée par une formule explicite ou par une relation de récurrence, et justifie.

$a_n = n^2 - 4n$ pour tout $n$ .
$b_0 = 4$ et $b_{n+1} = 2b_n - 3$ pour tout $n$ .
$c_n = 5 - \dfrac{1}{n+1}$ pour tout $n$ .

Indice 1

Cherche si le terme d'indice $n+1$ apparaît dans la définition.

Indice 2

Une récurrence s'accompagne toujours d'un terme de départ.

Voir la correction pas à pas

Pour $a_n$ : la formule ne contient que $n$ , on peut calculer $a_{10}$ directement. C'est une formule explicite.
Pour $b_n$ : la définition donne $b_0$ puis exprime $b_{n+1}$ à partir de $b_n$ . C'est une relation de récurrence.
Pour $c_n$ : seule la variable $n$ intervient, sans terme précédent. C'est une formule explicite.

Les suites $(a_n)$ et $(c_n)$ sont explicites, la suite $(b_n)$ est définie par récurrence. Le critère décisif : la présence d'un terme initial et d'un lien entre $b_{n+1}$ et $b_n$ .

Exercice 3 Calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence

★☆☆Environ 8 min

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 3u_n - 1$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ puis $u_3$ .

Indice 1

Pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$ , multiplie par 3 puis retranche 1.

Indice 2

Utilise chaque résultat comme point de départ du calcul suivant.

Voir la correction pas à pas

On applique la règle avec $n=0$ : $u_1 = 3u_0 - 1 = 3×2-1 = 5$ .
On applique la règle avec $n=1$ : $u_2 = 3u_1 - 1 = 3×5-1 = 14$ .
On applique la règle avec $n=2$ : $u_3 = 3u_2 - 1 = 3×14-1 = 41$ .

On obtient $u_1=5$ , $u_2=14$ et $u_3=41$ . Ici, impossible de sauter directement à $u_3$ : il faut passer par les termes intermédiaires.

Exercice 4 Résoudre une condition sur une formule explicite

★★☆Environ 10 min

La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = 2n - 15$ pour tout entier naturel $n$ .

Détermine le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 0$ .

Indice 1

Écris l'inéquation $2n-15>0$ et résous-la comme une inéquation du premier degré.

Indice 2

$n$ est un entier : arrondis la solution dans le bon sens.

Voir la correction pas à pas

On écrit la condition : $2n - 15 > 0$ .
On isole $n$ : $2n > 15$ , donc $n > 7{,}5$ .
Le plus petit entier strictement supérieur à $7{,}5$ est 8.
On vérifie : $u_7 = 14-15 = -1 < 0$ et $u_8 = 16-15 = 1 > 0$ .

Le plus petit entier cherché est $n=8$ . La vérification sur $u_7$ et $u_8$ évite l'erreur d'arrondi dans le mauvais sens.

Exercice 5 Deux modes pour une même suite

★★☆Environ 10 min

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n+1$ et la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = v_n + 2$ .

Calcule les quatre premiers termes de chaque suite.
Que constates-tu ?
Donne la valeur de $v_{10}$ sans calculer les termes intermédiaires.

Indice 1

Pour $(v_n)$ , ajoute 2 à chaque étape.

Indice 2

Si les deux suites semblent identiques, utilise la formule explicite pour atteindre $v_{10}$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $(u_n)$ : $u_0=1$ , $u_1=3$ , $u_2=5$ , $u_3=7$ .
Pour $(v_n)$ : $v_0=1$ , $v_1=1+2=3$ , $v_2=3+2=5$ , $v_3=5+2=7$ .
Les quatre premiers termes sont les mêmes : on conjecture que $v_n = u_n$ pour tout $n$ (une conjecture n'est pas une preuve).
En admettant cette égalité, $v_{10} = u_{10} = 2×10+1 = 21$ .

On obtient $v_{10}=21$ grâce à la formule explicite. Une même suite peut s'écrire de deux façons ; passer de la récurrence à l'explicite fait gagner du temps pour les grands indices.

Exercice 6 Modéliser l'évolution d'un capital

★★☆Environ 12 min

Camille place 1 000 euros sur un compte. Chaque année, la somme placée augmente de 5 %. On note $C_n$ le capital après $n$ années, avec $C_0 = 1000$ .

Exprime $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$ .
Calcule $C_3$ en euros.

Indice 1

Augmenter de 5 % revient à multiplier par $1+\dfrac{5}{100}$ .

Indice 2

Applique la relation trois fois de suite à partir de $C_0$ .

Voir la correction pas à pas

Une hausse de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1{,}05$ . Donc $C_{n+1} = 1{,}05C_n$ .
On calcule $C_1 = 1{,}05×1000 = 1050$ .
On calcule $C_2 = 1{,}05×1050 = 1102{,}5$ .
On calcule $C_3 = 1{,}05×1102{,}5 = 1157{,}625$ .

Après trois ans, le capital vaut $1157{,}625$ euros, soit environ $1157{,}63$ euros. L'évolution d'un capital est un exemple de situation que le programme associe aux suites ¹.

Exercice 7 Passer d'une récurrence à une formule explicite

★★★Environ 15 min

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , $u_4$ et $u_5$ .
Conjecture une formule explicite pour $u_n$ .
Vérifie ta conjecture pour $u_5$ et donne cette valeur.

Indice 1

Écris les termes dans un tableau avec la ligne de $n$ et la ligne de $u_n$ .

Indice 2

Compare chaque $u_n$ au carré de $n$ .

Indice 3

Attention : dans $u_{n+1}=u_n+2n+1$ , c'est la valeur de $n$ (et non celle de $n+1$ ) qui sert à calculer l'ajout.

Voir la correction pas à pas

$u_1 = u_0 + 2×0+1 = 1+1 = 2$ .
$u_2 = u_1 + 2×1+1 = 2+3 = 5$ .
$u_3 = u_2 + 2×2+1 = 5+5 = 10$ .
$u_4 = u_3 + 2×3+1 = 10+7 = 17$ .
$u_5 = u_4 + 2×4+1 = 17+9 = 26$ .
On compare avec les carrés : $0,1,4,9,16,25$ . Chaque terme dépasse le carré de $n$ de 1. On conjecture $u_n = n^2+1$ .
Test sur $u_5$ : $5^2+1 = 26$ , ce qui correspond au calcul par récurrence.

La conjecture $u_n = n^2+1$ est cohérente avec tous les termes calculés, et $u_5 = 26$ . Elle n'est pas démontrée pour autant : seul un raisonnement en plus (hors de cette page) permettrait de l'affirmer pour tout $n$ .

Exercice 8 Une récurrence qui se stabilise

★★★Environ 15 min

Une suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .
Un élève affirme : « la suite dépasse 6 à partir d'un certain rang ». Calcule $u_4$ , $u_5$ puis explique ce que suggèrent les valeurs obtenues.

Indice 1

Pour chaque terme, divise le précédent par 2 puis ajoute 3.

Indice 2

Observe de combien chaque terme s'éloigne de 6.

Voir la correction pas à pas

$u_1 = \dfrac{1}{2}×2+3 = 4$ .
$u_2 = \dfrac{1}{2}×4+3 = 5$ .
$u_3 = \dfrac{1}{2}×5+3 = 5{,}5$ .
$u_4 = \dfrac{1}{2}×5{,}5+3 = 5{,}75$ .
$u_5 = \dfrac{1}{2}×5{,}75+3 = 5{,}875$ .
L'écart à 6 est successivement 4, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125 : il est divisé par 2 à chaque étape. Les valeurs se rapprochent de 6 sans le dépasser.

Les calculs contredisent l'affirmation de l'élève : les termes calculés restent inférieurs à 6 et s'en rapprochent. Le troisième terme vaut $u_3=5{,}5$ . Tester quelques termes aide à repérer un comportement, mais ne le démontre pas.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut utiliser la formule explicite ou la récurrence ?

C'est l'énoncé qui décide du mode de génération. Si la suite est donnée par $u_n = f(n)$ , tu calcules directement le terme voulu ¹. Si elle est donnée par un premier terme et une relation liant $u_{n+1}$ à $u_n$ , tu avances de proche en proche. Quand tu connais la forme explicite d'une suite définie par récurrence, elle te fait gagner du temps pour les grands indices.

Pourquoi une suite définie par récurrence a-t-elle besoin d'un premier terme ?

La relation ne dit que comment passer d'un terme au suivant. Sans point de départ, comme $u_0$ , tu n'as aucun terme à partir duquel appliquer la règle : deux départs différents donnent deux suites différentes avec la même relation. Dans l'exercice sur $u_{n+1}=3u_n-1$ , partir de $u_0=2$ donne 5 pour $u_1$ , partir de $u_0=1$ donnerait 2.

Quelle est la différence entre $u_{n+1}$ et $u_n+1$ ?

Le terme $u_{n+1}$ est le terme d'indice $n+1$ , c'est-à-dire le suivant dans la suite. L'expression $u_n+1$ est le nombre $u_n$ auquel on ajoute 1. Pour $u_n = n^2$ , on a $u_{n+1} = (n+1)^2$ alors que $u_n+1 = n^2+1$ : ces deux valeurs sont différentes dès que $n \geq 1$ .

Sources

Programme de mathématiques de première générale (complet), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques — voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Projet d'aménagement du programme de mathématiques de première générale — spécialité, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Progressions verticales : la récurrence, de l'approche au raisonnement, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.
Génération.s, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Calculer un terme avec une formule explicite

Exercice 2 Reconnaître le mode de génération

Exercice 3 Calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence

Exercice 4 Résoudre une condition sur une formule explicite

Exercice 5 Deux modes pour une même suite

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